基于小波变换的双光梳高精度绝对距离测量方法

摘要：双飞秒激光频率梳测量方法通过结合干射测量与飞行时间原理能够实现大范围、高精度、高效率绝对距离测量，在精密测量领域具有广泛的应用前景。此次实验采用飞行时间法来实现绝对距离测量，为了从测量光与参考光中精确地提取时间间隔，通常需要从干涉信号中有效地解析出包络信息。目前，应用于双光梳测量干涉信号包络提取算法主要有希尔伯特变换算法和傅里叶变换算法。然而，在实际应用过程中由于激光器相位噪声、光强波动以及实验环境等因素影响，导致提取的包络峰值波动很大，且出现多个谱峰，严重影响测量适应性与测距精度。实验将基于Morlet小波基的小波变换算法应用于双光梳测量方法中，通过选择合适的尺度参数与位置参数实现包络提取。由于小波算法的多分辨率、多尺度分析特性，能够有效地抑制噪声的干扰，提取的包络更加精确，可有效地提高噪声干扰下测量的稳定性和测量精度。理论分析与实验结果证明了本方法的可行性。

关键词：双飞秒激光;绝对距离测量;小波变换;Morlet小波;包络提取

中图分类号：TP311      文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2022）20-0122-04

1 引言

长度测量始终伴随着人类社会的进步和发展，是诸多重要科学研究的先导和基础，直接影响装备制造、精密加工、国防科技和航空航天技术等各个方面[1]。国际计量大会通过光速来定义长度米，因此长度的测量也与时间与频率紧密地联系在一起。而飞秒激光频率梳因其具有极高的频率精度，不仅可以当作是一把“频率尺”，亦可以作为一把“空间尺”用于长度测量。近年来，利用飞秒激光频率梳进行高精度绝对距离测量成为国际研究热点。而随着激光器光源和测距方法的不断进步发展，测距精度也在不断突破，从微米至纳米级别，可测得的距离也可达到数千米[3]。

实验中为了降低实验系统的复杂性，载波包络偏移频率是自由运行的，所以本文采取基于飞行时间法（Time-of-flight，TOF）来实现绝对距离测量[4]，首先需要提取干涉信号（载波） 的包络线，然后对包络线进行高斯拟合，根据拟合之后的包络线峰值点计算测量距离。通常采用希尔伯特（Hilbert）变换算法提取信号的包络线。2009年，美国国家标准技术研究院（NIST）的Coddington.I等人[5]使用两台相位锁定的飞秒光梳，通过希尔伯特（Hilbert）变换算法得到载波信号的包络线，计算包络峰值点得到距离的粗测值，然后采用干涉测量法获得更高精度的距离值。2014年，清华大学吴冠豪课题组[7]通过模拟仿真以及实验研究了重复频率、重复频率差以及载波包络偏移频率对测距精度的影响，实验中利用希尔伯特（Hilbert）变换算法与傅里叶变换（FFT）算法对载波提取包络线，在通过对包络线进行高斯拟合减小误差，找到拟合之后包络线的峰值点并计算距离。希尔伯特变换算法在对干扰小，噪声小的较为平稳的信号包络提取方面效果显著，但由于在双光梳测距系统中的测距信号容易受噪声影响，从而影响测距精度。2015年天津大学梁飞、师浩森[8]等人研究了量子噪声对双光梳测距结果以及测量精度的影响，通过理论分析以及实验证明了激光器量子噪声、重复频率的稳定性以及数据采集与处理都会影响测距精度。在使用希尔伯特变换算法对双光梳测距信号进行包络提取时，由于实验过程中激光器的相位噪声、光强波动、重复频率的稳定性以及实验环境都会对干涉条纹产生影响，所得到的包络毛刺较多，包络不够平滑，影响最终的测距精度[10]。

而有着“数学显微镜”之称的小波变换算法[11]具有多尺度分析的特点，应用的领域也十分广泛，经常用来进行信号分析。小波变换突破了传统傅里叶变换（FFT）的时频局限性，通过选取不同的小波基函数可以有效在不同分辨率下对信号进行分层分析，可以有效地抑制噪声对包络提取的影响，得到更加理想的包络线。1997年张绪省[12]分别讨论了希尔伯特变换与小波变换在信号包络提取方面的应用，并进行了分析与对比，说明了小波变换在提取非稳定信号包络方面更优于希尔伯特变换。

2 双光梳测距原理

双光梳的绝对距离测量实验原理如图1所示。实验采用两台重复频率异步锁定的本振光梳（LO）与信号光梳（Signal），LO的频率为[fr1]，Signal的频率[fr2]，两台激光器的重复频率差为[Δfr]。信号光经过分束镜分成两份，分别在参考镜（Reference）与目标镜（Target）发生反射返回光脉冲信号，两束光返回的时间延迟[Δτ]对应着距离信息如公式（3）。两束返回光分别与LO互相干涉，产生两个干涉图（一个由Reference的反射光与LO产生，另一个是Target与LO产生）。为了从干涉图中提取距离信息，可以利用具有[Δfr]的重频差的LO激光器对Signal信号激光器通过参考镜与目标镜反射回来的光脉冲进行线性光学采样，然后通过包络提取算法找到干涉图的包络线，在对包络线进行高斯拟合并得到包络线的峰值点位置。

基于非线性强度互相关的异步光学采样信号如图2所示，经参考镜与测量镜反射回来的信号与本振脉冲发生干涉，会生成周期性的干涉信号，周期如下式：

[ΔT=1/Δfr]                   （1）

式中：本振信号分别与参考信号以及测量信号干涉产生固定周期[ΔT]的干涉信号，时间延迟[Δτ]经异步光学采样后被放大为干涉信号包络峰值间隔[Δt]：

[Δt=fr1/Δfr×Δτ]               （2）

与目标镜和参考镜的之间的距离差D成正比。

[D=c⋅Δτ2⋅ng=c⋅Δt2⋅ng⋅Δfrfr1]        （3）

相对于飞行时间法，双光梳测距法将时间间隔放大了[fr1/Δfr]倍，将纳秒量级[Δτ]放大到微秒量级[Δt]进行计算，从而提升测量的精度。

飞秒锁模激光器所发射的光脉冲要考虑重复频率[fr]的锁定以及载波包络偏移频率[fceo] 的变化情况。当脉冲在介质中传播时，由于色散的作用，导致相速度和群速度不一样，使光脉冲在谐振腔内往返一周后脉冲包络相位与其载波相位之间会产生相位差[Δφ]，在时域上表现为载波与包络的峰值不重合如图3。而实验中未对[fceo]进行锁定，所以在基于飞行时间法的双光梳绝对距离测量计算过程需要对载波信号进行包络提取，找到包络的峰值点并计算距离。

3 包络解调方法

3.1 希尔伯特变换包络解调算法

一个实信号[ft]通过希尔伯特变换后（Hilbert）定义为：

[ft∧=1πt∗ft=1π-∞+∞fΔtt-ΔtdΔt]    （4）

式中[∗]表示卷积运算。

则[ft]解析信号[st]为：

[st=ft+ift∧]         （5）

所以[st]的幅值：

[Gt=f2t+f2t∧]        （6）

解析信号[st]的振幅[Gt]便是原信号[ft]的包络线，解析信号[st]的相位就是原信号的相位。

对（6） 式进行傅里叶变换：

[Gω=-∞+∞Gtexp（-jωt）=fω+fωsgnω] （7）

其中[fω]是原信号[ft]的傅里叶变换，[sgnω]为符号函 数。可以看出解析信号[st]实际是滤除了原信号在频域部分的负频成分，只保留了正频部分，且幅值增大为原来的两倍，所以Hilbert变换算法提取非平稳信号的包络时，容易受噪声影响，毛刺很多，而且包络线不够光滑，存在大量高频部分，影响包络提取的精度。

3.2 小波变换包络解调算法

3.2.1 小波变换理论

小波变换继承和发展了短时傅里叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，可以在不同分辨率对信号进行分层分析。所谓小波变换就是通过对母小波函数[ψt]进行一系列伸缩与平移变换后得到的不同尺度的小波系数。设尺度（伸缩）因子a，平移（位置）因子b，则其伸缩平移后得到的函数形式：

[ψa，b（t）=1aψt-ba]        （8）

这里的母小波[ψt]满足[-∞+∞Ψ（t）dt=0]，通过对母小波伸缩来实现动态分辨，当a减小时，频率变高，时域分辨率变高，频域分辨率降低。反之，增大a，频率降低，时域分辨率降低，频域分辨率升高，所以小波变换被誉为“数学显微镜”。

对于信号[ft]，其小波变换的定义为：

[Wfa，b=1a-∞+∞f（t）×Ψ（t-ba）dt]    （9）

由公式（9）可知基函数会在某种尺度下与信号相乘得到一个最大值，因为此时两种信号有一种重合关系，那么就可以得到该信号所包含的频率成分。因此便于我们分析非稳定信号。

3.2.2 Morlet小波包络解调算法

因为复Morlet小波[13]在表达式上与双光梳干涉信号相似，二者都是具有高斯包络的调制信号，所以选择复Morlet小波作为小波变换的小波基函数。该小波基函数表达式如下式：

[Ψ（t）=1π⋅fbexp（j2πfct）exp-t2/fb]

[=1π·fbexp（-t2/fb）cos（2πfct）+jsin（2πfct）]  （10）

其中[fc]是小波中心频率，[fb]小波带宽参数。

复Morlet小波是一种常用的复数小波，是由法国J.Morlet等人提出，是一种复余弦调制的Gaussian小波。对Morlet小波实部与虚部分别做傅里叶变换：

[ΨRe（t）=π[exp-fb/2ω+ω0+exp-fb/2ω-ω0]  （11）

[ΨIm（t）=π[exp-fb/2ω+ω0-exp-fb/2ω-ω0]  （12）

由公式（11） 、（12） 可以看出复Morlet小波实部与虚部具有相同的频率成分，两者相位差90°，两者具有正交关系。根据信号解调理论，如果两个信号幅值相同，相位相差90°，可以通过解调的方法找到其中的幅值分量。根据公式（9） 对双光梳测距信号[f（t）]进行复Morlet小波变换得到：

[Wfa，b=WfRe（a，b）+jWfIm（a，b）]    （13）

所以信号的包络线为：

[Wfa，b=WfRe2a，b+WfIm2a，b]      （14）

其中[WfRe]为经过小波变换后小波系数的实部，[WfIm]为小波系数的虚部，二者具有正交关系。随着尺度参数与位置参数的不断变化，当小波函数的频率与信号的某个局部位置的频率接近时，此时两者的相关程度最高，从而求得信号的包络线。

4 实验与结果分析

此次实验采用两台互相独立的掺铒光纤激光器，重复频率为150MHz，两台激光器的重频差约为3kHz，使用光电探测器（Photo Detector，PD）接收采样信号，示波器的采样率为250MHz，在50ms的采样时间内，对150组数据进行结果分析。

实验过程中，首先需要对采样信号进行降噪处理。本次实验中采用小波降噪算法，小波降噪的主要思想为对小波分解后的各层小波系数中模值大于或者小于某阈值的系数进行量化，然后对量化后的小波系数进行重构，重构后的信号就是去噪之后的信号。实验中选择合适的小波基函数、分解层数、阈值以及阈值函数对降噪的效果都极为重要。