融合直接经验与间接经验的数学教学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，数学教学要重视学生直接经验的形成，处理好直接经验与间接经验的关系。其中，直接经验是指学生通过亲身实践、动手操作所获得的经验，间接经验是指学生从书本或他人的经验中获得的经验，两者相辅相成，能够丰富学生学习数学的完整过程，促进他们不断思考，深入理解知识内容，进而培养他们的核心素养。

在日常的数学课堂上，笔者发现部分教师往往过于依赖教材的设计，习惯引导学生按照既定的步骤进行操作，忽略了让他们“走弯路”的重要性。这样的教学方式看似高效，却不利于帮助学生获得宝贵的直接经验，久而久之，容易使其养成惰性思维。本文中，笔者以部编版五年级上册第六单元《三角形的面积》一课为例，具体说明数学教师应如何帮助学生吸纳直接经验与间接经验。

利用间接经验，保障探究活动严谨性

学生已有的知识基础和经验积累，是他们理解和掌握新知识的重要基石。因此，笔者在教学《三角形的面积》一课前，首先带领学生回顾了之前学过的面积推导方法。例如，在探究长方形面积的过程中教授的数方格法，即将不满格的面积单位转化为满格的标准面积单位，这样，通过计算标准面积单位的数量即可算得长方形面积。又如，在推导平行四边形面积时教授的转化法（割补法），学生通过观察，最终发现可沿着三角形两边中点的连线进行分割，即可将其拼成一个平行四边形。复习已学图形的推导方法，不仅可以让他们对计算公式和其中渗透的转化思想理解得更深刻，也有利于他们后续推导三角形的面积公式。

此外，在学习《三角形的认识》一课时，学生们已对三角形的分类有了清晰的认识。他们知道，根据角的大小，将三角形分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。这些从教材中习得的间接经验，成为他们探究三角形面积公式的重要参考。基于上述经验积累，笔者鼓励学生分门别类进行研究，根据不同图形的特点选择合适的计算策略，以保障探究活动的严谨性。

利用直接经验，思考新问题的解答路径

依照思维的惯性，有部分学生立刻提出想尝试利用割补法求取三角形的面积。他们认为，这种方法可以快速规整图形，从而简化计算过程。于是，笔者引导他们进行小组讨论，共同探讨这一方法是否可行。

学生将不同类型的三角形沿高剪开，再改变它们的相对位置，将其拼接在一起。几次试验后发现，这种方法适用于等腰三角形面积的计算，但不适用于计算其他类型的三角形的面积。这让他们意识到，割补法并不是万能的，于是开始思考不同类型的三角形应采用的策略。在此过程中，有学生发现，两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，于是想到是否可以先计算平行四边形的面积，再将计算结果除以2来获得答案。

这次尝试不仅使学生进一步了解了拼合法的“由来”，还让他们体验了思考新问题的方法路径，学会了如何分析已有经验，筛选恰当的方法；如何在初步尝试后进行反思和总结，根据经验教训调整方向；如何再次进行操作验证，发现普遍规律。这一系列过程不仅锻炼了学生的数学思维能力和实践能力，也为他们未来的学习和生活奠定了坚实的基础。

允许学生“走弯路”，加深引领深度思考

美国著名教育学家拉尔夫·泰勒在其著作《课程与教学的基本原理》中提出，数学教学中存在一个普遍现象，即教师常常将学习所需的所有事实直接传授给学生，导致学生只会按模式运算。然而，当这些学生需要自己探索某些事实时，往往就会感到迷茫，不知道需要哪些事实，以及从哪里可以找到这些事实。相关实验还表明，那些曾在怎样确定所需事实以及如何获取这些事实方面接受过专门训练的学生，在解决问题时往往能有更好的表现。

在本节课中，尽管学生们对于既有方法经验的探索，并未直接帮助他们得出三角形面积的计算方法，但笔者认为，这一探究过程具有不可忽视的价值。“走弯路”的教学设计并不是在浪费课堂时间，在这个过程中，学生不单能进一步思考面积计算的本质，也可以加深对于面积公式推理与计算的认识。同时，这也能够使他们认识到，数学问题的解决往往需要经历一段曲折的探索过程。

此外，在引导学生运用割补法求解答案的同时，笔者还向他们介绍了古代数学家刘徽总结的“出入相补”法，为他们提供了新的思考角度，带来了新的启发。

为了加深学生对于本课内容的思考，笔者带领他们开展了多轮交流汇报。在第一轮交流汇报中，笔者鼓励他们思考是否所有类型的三角形都符合“两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形”的规律，随后带领他们利用手中不同类型的三角形进行第二轮探究，尝试各种不同的拼接方式，而后开展第二轮交流汇报，最终总结出三角形面积的计算方法。学生欣喜地发现，计算底和高的乘积再除以2，可以得到任何类型三角形的面积。

设计探究活动，检验掌握情况

教学成果的检验是衡量教学成效的重要手段，也是提高教育质量的关键环节。为了进一步检验学生对三角形面积计算方法的掌握情况，激发他们对数学问题的探究兴趣，笔者设计了一次小组探究活动，引导他们探究梯形面积的计算方法。

在这次活动中，笔者仅给学生提供了几张方格纸，让他们通过绘制草图、涂色、裁剪等操作进行自主探究，旨在让他们在亲身实践的过程中获得直接经验。他们在组内互相交流思路，尝试运用不同的探究方法。有的小组发现，可以将梯形图纸沿两腰中点连线剪开，再将其拼合成熟悉的平行四边形，进而求取梯形的面积；还有小组提出，可以沿着梯形的某条对角线将其剪为两个三角形，然后分别计算这两个三角形的面积并相加。

在这样的探究过程中，学生们不仅学会了如何运用既有方法求解梯形面积，还深入理解了梯形与之前所得图形之间的联系。

总而言之，数学教学需要让学生在亲身体验中转化直接经验，并在学习与讨论中汲取间接经验。作为数学教师，我们应该根据学生的实际情况和教学内容需要，精心设计教学活动，让他们在获得直接经验的同时，也能够充分领会间接经验。只有这样，才能够真正促进学生数学素养的提升，让他们在数学学习的道路上越走越稳。与此同时，我们也应不断反思并改进自己的教学方法，以适应随时代发展变化的教育需要和学生需求，为学生的全面发展提供有力的支持。