教学顺序的逻辑优化及其在力学类课程中的应用

［摘 要］为适应新工科建设人才培养要求，高等学校工科专业增加了学科前沿和学科交叉类课程，但专业基础课面临着学时压缩的现实。如何解决学时压缩与提高教学质量之间的矛盾，是众多高校教师需要认真思考的问题。文章在分析知识点逻辑关系的基础上，提出了由一般到特殊的教学顺序设计方法，总结了采用由一般到特殊的教学顺序的条件，并以经典力学课程中的知识点为例具体阐述了教学顺序的优化方案。优化后的教学顺序能够保证在学时压缩的基础上，促进学生对课程理论的全方位理解，提高教学质量，并有效激发学生的学习动力。

［关键词］教学顺序；逻辑关系；教学优化；力学课程

［中图分类号］ G642 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 2095-3437（2023）07-0085-04

新工科背景下，高等学校工科专业的培养方案和教学体系发生了一系列的改变[1-3] 。 为了提高学生的创新能力和工程素养，我国高等院校在保证中国高等教育特色的基础上，积极借鉴国外学科建设的经验[4]，逐步增加一些学科前沿和学科交叉类课程。但课程数量的增加必然会挤占专业基础课程的教学课时。对于如何在学时减少的情况下完成教学任务并提高学生的科学素养和工程能力，学者们进行了多方面的探索。在教学模式上，李荣青等[5]对嵌入式系统设计课程的项目驱动教学模式进行了探究。常利武等[6]将“以赛促教”模式在工程力学课程教学中进行了实践。陈立群[7]对欧美理论力学教材中的运动学授课内容进行了梳理，为编著适合我国工科教育的优秀教材提供了参考。徐锋等[8]对新工科背景下地方高校材料力学“金课”建设路径进行了探索。这些研究和探索为教学改革提供了思路，但教师在具体教学中仍需要对核心教学内容进行梳理和规划，以保证教学内容的完整性并提高教学效率[9]。本文总结了笔者所在教学团队的教学改革成果，在分析知识点之间逻辑关系的基础上，提出教学顺序的逻辑优化方法，并在教学过程中进行了实践。

一、教学顺序的逻辑优化方法

为了优化课程教学，任课教师在进行授课设计之前需要分解课程的知识点，并梳理课程知识点之间的逻辑关系。知识点之间的基本逻辑关系可以分为递进关系、平行关系和覆盖关系三类，如图1所示。图1（a）所示的递进关系知识点之间要求有严格的先后关系，需要按照知识点之间的内在逻辑顺序进行讲授。图1（b）所示的平行关系知识点之间没有直接关联，可以灵活选择授课顺序。如图1（c）所示，如果一个知识点的变量包含了另一个知识点的所有变量，就形成了知识点之间的覆盖关系。在覆盖关系中，如果授课顺序为知识点1、知识点2、知识点3，则为由特殊到一般的教学顺序；如果授课顺序为知识点3、知识点2、知识点1，则为由一般到特殊的教学顺序。

在以往的教学过程中，一般采用由特殊到一般的教学顺序。这种教学方法的优点是起点低，有利于学生逐步理解教学内容，但也存在比较明显的缺点：首先，教学过程较为冗长，不符合目前新工科建设快速准确的教学要求；其次，低起点的简化知识点往往不能与最终知识点完全对应，反而增加学生的理解负担；最后，对知识点进行全面讲述，不利于锻炼学生的深度思考能力。

高年级工科大学生的理解能力和自学能力已经得到了较好的锻炼，具备直接理解和接受专业课中难度较高的知识点的基础。目前广泛采用的线上线下相结合的教学模式也有利于知识点教学的灵活安排，例如可以将简单的知识点安排至线上预习或课后拓展。综上所述，对于工科类的专业课或专业基础课，采用一般到特殊的教学顺序是可行和必要的。

知识点之间存在覆盖关系是采用由一般到特殊的逻辑化教学顺序的基础，但并非所有具有覆盖关系的知识点都适用这种授课模式。如果知识点之间存在从静态到动态、从线性到非线性的难度跳跃，简化知识点与复杂知识点之间存在较大的难度差别，则不适合采用从复杂到简化的教学顺序。

结合教学实践，从教学要求、知识点之间的关系和学术掌握程度等方面进行分析，确定可以采用由一般到特殊的教学顺序的条件为：

（1）相关知识点之间存在覆盖关系；

（2）复杂知识点为学生必须掌握的内容；

（3）学生已有的知识储备满足理解复杂知识点的需要。

在实际应用中应根据以上条件进行教学调整。如在图1（c）所示的知识点中，如果知识点满足以上所有条件，教学顺序可以为知识点3、知识点2、知识点1；如果知识点2为必须掌握的知识点而知识点3为一般了解的内容，或者学生的知识基础只能理解知识点2，则可以考虑教学顺序为知识点2、知识点1、知识点3。

基于逻辑关系的教学顺序优化不仅能够节约课时，还有利于学生全面掌握知识点，并通过简化模型加深理解，从而锻炼学生的逻辑思维能力。针对一些关联性强且具有覆盖关系的知识点，采用由一般到特殊的教学顺序是合适的。优化后的教学顺序为先讲授复杂知识点，然后讲授简化知识点，这样能达到优化教学内容、增强学生能力的目标。

二、力学类课程的教学顺序优化实例

经典力学类课程中一个完整的力学知识点包括维度、位移类和应力类的三种变量。

（1）维度：包括三维（空间问题）、二维（平面、可简化为2个坐标变量的曲面问题）、一维（直线、可简化为1个坐标变量的曲线问题）；

（2）位移类：包括位移、速度（速率）、应变、应变率等；

（3）应力类：包括力（集中力和线分布力）、应力（表面力和内应力）、体积力等。

其中位移类和应力类参数还可以细分出多种变量，例如应变包括正应变和剪应变、应力包括正应力和切应力等。复杂知识点的变量可能包括三维空间的所有分量。简化知识点则可能涉及降维或减少部分变量，如三维空间问题降为二维平面问题、忽略切应力的问题。采用一般到特殊的教学顺序则是根据教学条件，从合适的复杂知识点开始讲授。下面以经典力学类课程的具体知识点为例，讨论由复杂到简化的教学模式的实施。

（一）理论力学

理论力学是一门理论性较强的技术基础课，主要研究刚体在力系作用下的平衡规律和运动状态的变化规律。无论是作用在物体上的力系还是物体运动状态的改变，都存在着二维平面问题和三维空间问题，因此理论力学的教学内容中有许多平面问题和空间问题存在覆盖关系的知识点。

以静力学中的平面力系、空间力系为例，一般教材中的章节设计如图2所示。平面力系中讲授的知识点，在空间力学中重现，只是知识点的维数从二维平面问题升级到了三维空间问题。根据空间力系与平面力系的对应知识点的覆盖逻辑关系，在授课过程中可以采用从三维复杂模型到二维简化模型的优化教学顺序。在讲授完静力学公理和受力分析后，可直接讲授空间力系，详细讲解空间力的投影、空间力对点之矩、空间力对轴之矩的概念，空间任意力系的简化和力系的平衡等内容，让学生全面理解和掌握空间力学，然后直接将三维问题简化为二维问题。这种由一般到特殊的覆盖式授课模式，直观地建立了工程实际的空间力系平衡和平面力系平衡之间的联系，培养了学生的工程思维，减少了静力学部分的授课学时，增强了后续知识点的教学灵活度。

（二）弹性力学

弹性力学是连续介质力学中固体力学的重要分支，研究弹性物体在边界条件作用下产生的变形和内力及其相互关系。弹性力学课程一般先从平面应力问题、平面应变问题开始讲授，然后讲授三维问题的弹性力学规律。平面问题是三维弹性力学问题的简化形式，构成如图3所示的覆盖关系。如果采用从一般到特殊的教学方式，在授课时教师就先从三维问题开始讲授弹性力学知识，然后具体讲授二维平面问题。实际上，真实物理模型都是三维的，平面问题只是三维问题的不完整简化，这也是平面问题分为平面应力问题和平面应变问题的原因。从一般到特殊的教学方式不仅能让学生深刻理解弹性力学的真实规律，还能从根本上使学生理解平面应力问题的三维特性，即平面应力问题的应变和平面应变问题的应力均为三维参数。

（三）流体力学

流体力学是研究流体的平衡与运动规律以及流体与周围物体之间相互作用的一门学科。对于流体力学课程中的动力学部分，一般先讲授理想流体的欧拉运动微分方程，再讲授实际流体的运动微分方程（Navier-Stokes方程，即N-S微分方程）。与欧拉运动微分方程相比，N-S微分方程考虑了流体黏性引起的切应力。采用覆盖式教学模式，先讲授N-S微分方程，忽略流体的黏性，即在N-S微分方程中删除因黏性引起的切应力就得到欧拉运动微分方程。在流体力学中采用覆盖式教学模式能够使学生准确把握流体黏性的作用、区别理想流体和黏性流体的动力学特征。

同样基于由一般到特殊的覆盖式授课模式原则，在讲授积分形式的连续性方程（质量守恒方程）、伯努利方程（能量守恒方程）、动量方程和动量矩方程时，考虑到如图4所示的4个基本方程与雷诺输运方程的逻辑关系，应先详细讲授雷诺输运方程，然后通过直接简化条件得到连续性方程（质量流）、伯努利方程（能量流）、动量方程（动量流）和动量矩方程（动量矩流）。

（四）计算力学（有限元方法）

计算力学（有限元方法）是一种现代设计方法，主要应用于连续介质力学的分析，具有重要的经济意义和巨大应用潜力。在讲授结构力学的有限元方法时，往往从杆件结构讲起，然后讲梁和框架结构。结构单元从平面二力杆到考虑弯曲切应力的三维空间普通梁单元（Timoshenko梁），其坐标、位移和应变变量均有增加。采用由简单到复杂的教学方法虽然在开始时容易理解，但对学生全面深入理解知识帮助不大；而且由于增加的变量较多，这种循序渐进的方式容易引起学生的思维疲劳。结构力学的有线元方法只是课程中的基础部分，在课程改革中需要压缩学时，因此应采用由一般到特殊的覆盖式授课方法。综合考虑知识点的难度（包括坐标变换、复杂应力状态等），确定如图5所示的教学顺序。先分析基本梁单元，即考虑二维空间中梁的拉压、扭转、弯曲引起的位移，且不忽略弯曲产生的剪应力。然后由基本梁单元通过坐标变换得到空间梁的通用矩阵。最后对分析参数进行简化，得到各种简化结构模型。

三、结论

根据教学实践，总结采用从一般到特殊的覆盖式教学模式具有以下优点：

（1）在保证授课要求的前提下节约课时。由浅入深、循序渐进的教学模式势必存在一些重复的推导过程，而由深到浅的覆盖式教学模式包含了全部授课内容，同时可以避免重复推导、可以节约课时。采用覆盖式教学模式后知识点的授课学时可减少40%。

（2）加深学生对知识点的全面理解，提高学生的逻辑思维能力。从一般到特殊的覆盖式教学模式能够使学生全面理解知识体系，准确把握复杂问题和简化问题之间的关系。在实际教学过程中，可以结合具体问题开展简化问题学习，提高学生处理工程问题的能力。

（3）平衡教学难度，避免思维疲劳。从一般到特殊的覆盖式教学模式有利于激发学生的学习动力，避免起点过低引起心理松懈，以及类似理论的重复推导引起的思维疲劳问题。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 龚发云，王德发，吕栋，等. 新工科背景下地方工科高校教学模式改革探索[J]. 高教学刊， 2021（6）：156-159.

[2] 马宏伟， 张伟伟. 新工科力学课程体系的几点思考[J]. 高等工程教育研究， 2018（3）：6-12.

[3] 李贞玉，杨国程，王鑫.新工科背景下地方高校化工类人才培养改革研究与实践[J].高教学刊，2021（10）：164-167.

[4] 向美来，詹云峰，易伟松. 世界一流工程学科建设经验与启示：以佐治亚理工学院为例[J]. 宁波大学学报（教育科学版）， 2021，43（4）：102-108.

[5] 李荣青， 夏峥嵘，沈晓波. “嵌入式系统设计”课程的项目驱动教学模式探究[J]. 江苏科技信息， 2021， 38（5）：62-65.

[6] 常利武，杜亚志.“以赛促教”模式在工程力学课程教学中的应用[J]. 力学与实践， 2020， 42（4）：495-498.

[7] 陈立群.欧美理论力学教材中的运动学[J]. 力学与实践， 2020， 42（6）：771-777.

[8] 徐锋，范剑，许晨光. 新工科背景下地方高校材料力学金课建设路径与探索[J]. 力学与实践， 2020， 42（2）： 226-231.

[9] 赵增辉， 李龙飞，付彦坤，等. 基础力学系列课程教研组建设初探[J]. 大学教育，2018（10）： 11-13.

［责任编辑：钟 岚］