高一数学中定义域的展现

摘 要：作为高一学生，第一接触的难点及高中的难点为函数。而函数又是在其定义域背景中才存在相关问题研究的可行性。定义域是函数的首要素。

关键词：数学； 定义域

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2014）11-028-001

函数是高考中的重点，也是难点，对于高一的新同学而言往往对函数是半知不解。而函数又是在其定义域背景中才存在相关问题研究的可行性。由此可见函数定义域的地位及功能。学生应该先从了解、掌握好定义域入手。下面谈谈几点初浅的看法：

首先要让学生清楚什么是定义域：最严谨的为书本函数定义中的说明。但往往定义比较难于理解，而具体让学生接触到的定义域，其实是以函数表达形态为载体来表达（传达信息），那么我们来看看函数实际题面中有哪些形态呢？

高一课本中函数的表达形态有：

①具体的x与y的等量关系式y=f（x）即解析式；

②列表展现x与y的对应即表格；

③图形中点（x，y）展现x与y的关系即图像。

（1）我们在已知解析式形式中定义域为使函数式子有意义的x的取值集合。

中体现出意义为：分式要分母不为零，偶次根式为被开数大于等于零，对数为真数大于零，正切为角的限制，0次幂为底不等于零。主要让学生注重从运算符号中不等量的提取及运算能力的培养。

值得注意的是分段函数它也是已知解析式形式，而它的定义域应该怎样求呢？因为它不止一个解析式，且每个解析式都有适用范围，但是它仍然为一个函数，所以它的定义域为各个解析式的适用范围的并集。

例如y=lg（x-1） x≥23x+1 x<2 的定义域为R。

当然对于由解析式来求解定义域的最难的还是在抽象函数中，体现为使输入量之能被法则f计算的自变量x的取值集合：

抽象函数是高中阶段一般学生最为头痛的一个点，很多学生无从下手去理解函数的定义域，其实作为同学一定要先从定义中把握住定义域——解析式中x的取值范围（单指x而言），其次再从f（x）结构上理解对应，f为对应法则，而（）的整个内部为法则的计算部分，称为计算量，计算量中的x称为自变量，当学生把这三个量关系理清了，问题也就解决了。

例如：1.已知f（x）的定义域为[2，3]，则f（x2+1）的定义域。

2.已知f（2x-1）的定义域为[2，3]，求f（2x+1）的定义域。

在第一题中f（x2+1）与f（x）的联系为相同的法则f，所以两个输入量x2+1和x的范围一致，所以1≤x2+1≤2，从而解出自变量x的定义域为[-1，1]，第二题中的纽带仍为相同的法则、相同的输入量计算范围，所以2x-1与2x+1的范围相同，又因为f（2x-1）的定义域为[2，3]，所以自变量x满足2≤x≤3，可得3≤2x-1≤5，即3≤2x+1≤5，可得f（2x+1）的定义域为[1，2]。那我们可以看到在解决好抽象函数定义域时，同学们要把握好2点：一是抓住前后抽象函数输入量范围一致的纽带，二是抓住定义域——解析式中x的取值范围（单指x而言）。

（2）在列表中，展现为自变量x的取值的集合，直观性比较强。

它通过表格中的x与y的对应关系来展现函数关系，其中所有的自变量x的取值的集合。

例如：

主要培养学生对于量与量的对应关系的展现。

（3）函数图像中，主要体现为所有点的横坐标的取值集合。

例如：1、图像对应函数定义域为[-2，3]

数形结合是高中的一个重要的数学思想，也始终是一部分同学的弱点，在于他对于函数的三要素在图像中的对应没有理解，那么如何对应呢？首先整个图像的整体对应于函数y=f（x），其次所有点的横坐标的取值集合为定义域，实际可通过把每个点向横坐标引垂线，所以垂足的分布为定义域，值域类似，它主要培养学生的数形结合能力及自变量在图像中的表示形态。

其次怎样让学生认识定义域的作用？在整个函数领域中所有的研究从表象看并没有明显的定义域问题形态展现，其实不然。在函数性质研究中，处处可见定义域的身影，如函数值域，单调性，奇偶性等问题中。

（1）值域的求解中如果你的定义域没有考虑，那么值域将出错，所以求值域必先研究定义域

对于这题单调区间的求解，学生容易犯的错误就是忘记函数定义域的存在，题目一拿到手就冒冒然利用复合函数的单条性去求解单调区间，很容易会得到错误的结论：函数在区间（-∞，-1]为减函数，在区间[1，+∞）为增函数。没有考虑到定义域对单调区间的限制，正确解法如下：（x）的单调增区间为[-3，-1]，单调减区间为[-1，1]。

由此可见，对于函数单调区间的问题定义域是先决条件，如果不对定义域加以重视，则很容易做无用功。只有对定义域深刻了解了才能事半功倍。

评注：①判断单调性，千万不要忘记复合函数的定义域；

②正确应用复合函数单调性法则；

③利用数形结合思想。

（3）奇偶性的研究中必先研究定义域是否关于定义域对称，否则就没有奇偶性。

例如：已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a-1，2a]，

则a=__， b=____。

这道题目主要考察的就是定义域的理解与对称，体现了定义域对函数奇偶性的重要性。很多同学一上来会对这道题不知道该如何下手，找不到突破方向。或者很容易进入偶函数定义式的思路。利用f（x）=f（-x）只会得到ax2+bx+3a+b=ax2-bx+3a+b恒成立，但这样只可得到b=0，但对于a的求解却无从得知。

然而要是注意了定义域对奇偶性性的影响，这道题目却是很轻松的。因为是偶函数，所以定义域必关于原点对称，所以就有a-1=2a可马 应该说函数的定义域对称是奇偶性存在的一个要素，没有定义域的思考就不会有奇偶性的存在。

总而言之，定义域是函数问题的生存空间，是解决任何函数问题时我们第一要考虑的要素，没有在此条件下解得的题目很多是无效的。我们只有培养好的解题和思维习惯，才能在函数问题上立于不败之地。

参考文献：

葛晓光.学生掌握和应用函数概念情况的调查，《中学数学教学参考》，2007年7月上