数形结合话三角

摘 要：新的《课程标准》将平面几何改为“图形与几何”，拓宽了几何的内容，用多种方式来处理几何，强调空间推理，删除烦琐的几何证明的技巧，突出对证明的必要性、证明的意义的理解。注重使学生经历观察、操作、推理、想象等过程，倡导自主探索、合作交流与实践创新的学习方式，以真正实现图形与几何的教育价值。

关键词：初中数学； 三角函数； 数形结合

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2012）10-057-002

在新的《课程标准》理念下，有关相似三角形、圆的部分知识已移作高中选修内容，而在初中阶段，主要以直线型的全等、圆中的有关位置关系的判定及线段与角的计算，作为中考试题的主要知识点。

在淡化“欧式”公理化体系的逻辑证明，强调代数与几何双重并举培养逻辑推理能力的背景之下，“锐角三角函数”作为由相似三角形推导而得的“衍生品”，成为"数形结合"思想的最佳载体，在中考试题中展示着它的优美风采。本文从2012年中考试题中，选取几类问题作一分析：

一、用三角函数证边（角）之等、和、差关系

例1.（2012年重庆24）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2。

（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证AM=DF+ME。

解析：（1）在菱形ABCD中由∠1=∠ACD=∠2得CM=DM，

又ME⊥CD得 BC=CD=2CE=2；

（2）记菱形ABCD的边长为a，由（1）可得DF=■a，ME=■DE=■a，从而DF+ME=■a，又在Rt△ADM中，AM=■=■a，故AM=DF+ME。

点评：在平面几何的证明中，最使学生感到困惑的是如何添作辅助线，本题欲证线段AM之长等于另两线段DF与ME之和，通常采用“截长补短”法，因题中条件有“F是边BC中点”，故通过“中点倍长”法，即可通过延长DF交AB的延长线于点G证明之，此法具有一定的解题技巧，但如果利用“锐角的三角函数”，用参数表示图形中的各条线段，从而确定线段之间的关系，准确简洁。

二、用三角函数求边之比值

例2.（2012年南京6）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’F⊥CD时，■的值为（ ）

解析：如图，设CF=x，DF=y

则在Rt△AGF中，CG=■=2x，GF=CF=tan60°=■x，在△BD'G中，BC=DC=x+y，BG=y-x，

因∠BD'G=120°，∠BGD'=∠CGF=30°，故D'G=■（y-x），又D'F=DF=y，

故■（y-x）+■x=y，解之得■=■，故选A。

点评：有关平面图形的折叠问题，首先寻找折叠前后的不变量，由此确定等量关系，其主要数学思想是方程思想。本题利用了下列结论：（1）含30°角的直角三角形中，三边之比为1：■：2，（2）在顶角为120°的等腰三角形中，三边之比为1：1：■。

三、用三角函数求图形面积

例3.（2012年德阳11）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合），以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP BE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD=■AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（）

解析：连接EP，可证E、F、P三点共线，

由条件设AB=EP=4a，BD=EF=a，则PF=3a，过点A、P分别作AM⊥BC，PN⊥BC，垂足M、N记∠ABC=∠PFC=？琢，则AM=4asin？琢，PN=3asin？琢，从而△PBC的面积与△ABC面积之比为■=■，故选D。

点评：在初中阶段，有关三角形的面积问题，主要有两类，其一是相似三角形的面积比等于相似比的平方，其二是同底（或等高）的三角形面积比等于高（或底）之比。本题所求问题是同底的两三角形面积之比，关键是计算它们的高之比，而用什么数量表示其高呢，这是一个难点。本题证得E、F、P三点共线后，发现AB与FP之间不仅存在着位置关系，而且存在着数量关系，从而选择三角函数表示。

四、用三角函数求点之坐标

例4.（2012苏州10）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上。若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（ ）解析：由条件可得D1E1=C1D1=sin30°=■，B2C2=■=■，依次类推可得A3B3=■，故点A3到x轴的距离为A3B3sin30°+B3E4=■，故选D。

点评：图形与坐标是新课程标准中“图形与几何”的三大模块之一，它的实质将几何图形放置于平面直角坐标系中，用坐标表示图形中的各个点，再去研究图形的相关性质，它是高中数学中解析几何的基础。本题等价于求点的坐标，其方法是“求坐标，作垂线”，再利用直角三角形的边角关系，即三角函数计算长度。

综上所述，“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。数是数量关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解。即将数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答。而初中数学中的“三角函数”正是在Rt△ABC中定义锐角的三角函数，再结合勾股定理，解决三角形中的相关问题，因此，它是“数形结合”思想的完美体现，但由于研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，所以，学生在解决此类问题时，习惯于利用相似三角形的知识而忽视了用三角函数求解，从而使解题过程显得罗嗦臃肿，故笔者谨以上述例题奉献于读者，期待着对平面几何问题有一个迅速、准确、简洁的解法。