模型建构、解释及预测系列（5）：云层及雨滴问题分析

不是所有问题都能从书上或网上找到答案，但是掌握了建模方法后，我们可以像科学家一样思考，对感兴趣的某些问题进行简化、建模，通过分析得出很多有意思的结论，解决面对的问题。

在日常生活中，我们也许有机会坐看云起，注意到云层变幻莫测；也可能注意到毛毛细雨与暴雨的速度明显不同。这些现象，是否可以通过适当建模进行分析？

一、气压及大气质量

我们经常能看暴雨成灾，可能会产生疑问：雨从天上来，天上怎么有这么多水？要理解这一问题，可以先考虑大气的压力，并估计大气的质量。

1.不同天气的气压

水烧开时，会产生大量的水蒸气，而水蒸气是向上升的，这表明水蒸气的密度比空气小。因此，可以有一个简单的结论：空气中水汽越多（潮湿），空气的密度就小；空气中水汽越少（干燥），空气的密度就大。

可能有人会有疑问：如果水汽密度比空气密度小，那么水汽应该都“跑”到高空去了，地面附近怎么还有水汽呢？这可以从两个角度来说：①宏观上密度大在下方，密度小在上方（静态角度）；但是微观上，分子不断运动，少量分子由于随机运动会出现在不同的位置（动态角度），因此，我们可以看到不同颜色液体之间的扩散现象（如图1）。②虽然总体上水汽会上升到高空，但是地面（包括沙漠）、海洋时刻都在蒸发来补充水汽，因此地面附近总有一定量的水汽。

根据上述观点，可以得出一个很有意思的推论：在不同地区，空气的潮湿程度会影响云层的高度。例如，北京（比较干燥）的云层就很高（如图2左），而沿海地区（比较潮湿）的云层就很低（如图2右）。

不考虑空气流动时，空气对地面的压强可以理解为单位面积上受到的空气重量。空气越干燥密度越大，所以晴天气压高，阴天气压低。这是基于简单事实（空气分子量大于水的分子量）理解后的分析结果。

2.大气质量估计

如何估算全球大气的质量，涉及处理问题的不同方法。

（1）考虑气体的体积与密度关系

我们容易想到，空气质量等于空气的密度乘以空气的体积。

[m=ρV]           （1）

对于小范围的气体，这一方法可行，但是在计算地球周围空气的总质量时，这种方法就不行了，一方面地球表面大气层的空气稀薄程度是不同的，海拔高度越高，大气越稀薄，空气的密度就越小；另一方面大气的总体积也是难以估算的。也就是说：式（1）中空气的密度和体积都难以获得或难以处理，从而难以用该公式求出大气的质量。

（2）考虑面积与气体压强的关系

另一种思路，考虑大气压强是由大气的重量产生的，根据压强公式有

[P=mgA]，[m=PAg] （2）

其中地球表面积[A=4πR2]，因此有

[m=4πR2Pg]   （3）

前面分析中介绍了大气压强各地不同，阴天、晴天都有变化，但是在宏观层面，可以用平均结果来表示。大气平均压强[P]约为1.0×105 Pa（1 Pa=1 N/m2），地球半径为[R]=6378 km=6.378×106 m，[g]=10 m/s2，代入式（3），得到大气总质量约为5.1í1018 kg。

如果大气中有0.1%的水分，就会有5.1í1015 kg的水分。所以，天上有远超出我们想象的水分。实际上科学家估计大气中水分的比例还要高一些，约为0.25%，因此有时天降暴雨，就可以理解了。

（3）考虑把空气转化为水柱

还有一种思路，把大气压转化为水柱的压强。通常我们都知道1个大气压相当于10 m高水柱。这样一来，大气的总质量等于以10 m厚度包裹地球的水圈质量。该水圈体积计算可以有两种方法

[V=43π（R+h）3-43πR3]  （4）

另外，由于水圈厚度[h]相对地球半径[R]很小，也可以认为水圈体积是球体半径发生微小变化时（[ΔR]）体积的增量（[ΔV]）。注意[ΔR=h]，对球的体积求差分（类似求导数）得到水圈的体积（如图3），再算水圈的质量，有

[ΔV=4πR2h] （5）

可以看出，[h]相对[R]很小时，式（5）与式（4）是等价的。

二、云层的相关问题

大气中的水汽以气态的形态存在时，肉眼看不见，而当大气中的水汽冷却凝结成小水滴时，就能反射阳光，成为能被看见的云或雾了。

可能有人会注意到下雨时云很低，诗人用“黑云压城”来描述；而秋天时感觉云很高，有“秋高气爽”的成语。这背后有什么道理吗？

前面介绍了空气密度大于水汽的密度，因此水汽上升，另一方面大气密度随着高度增加而减少（如图4，某地区的数据），因此水汽上升到某一高度后，与大气密度接近，就停留在这一高度，考虑分子自由运动与扩散效果，这一高度应该是一个范围。如果此处温度低，水汽就冷凝成为水珠，就会变为云朵。由于风和扩散的影响，云朵的形状或有变化。

从图4可以发现：在地面附近，冬天空气密度大、夏天空气密度小。这其实可以解释：冬天天气干燥（北方冬天容易产生静电），空气中的水汽少，密度大（氮气和氧气分子量大于水分子量）；夏天空气潮湿，密度小。当然这里面也有热胀冷缩的影响。

以图4为基础，可以估计云的高度。在标准条件下（0 ℃，1个标准大气压），空气密度约为1.29 kg/m3，而水汽的密度约为0.6 kg/m3，且在水汽上升过程中遇冷体积会收缩，密度会增加一些，粗略估计该地区水汽密度在0.6～1.0 kg/m3，对应的云层高度粗略估计在1～7 km（如图5）。

这一估计是否有道理呢？网上查阅云层的相关资料，可以了解到：云层高度分为高云族、中云族、低云族、直展云族，积云云底高度在湿度大的地区一般在600～1200 m，在干燥的地区为3000 m。碎积云云底高度一般约在400～l000 m，在潮湿地区出现的高度通常比在干燥地区低近一半；冬季寒冷地区约4500 m，夏季温暖地区约18000 m；积雨云云顶很高，可达对流层顶8000～12000 m（注意，这是一般的结论，与图5某地的结论有差别）。

三、雨滴速度问题

大家可能注意到下雨时毛毛细雨与暴雨有一个明显区别：毛毛细雨是“飘”下来的（速度很小），而暴雨是“砸”下来的（速度很大）。如何建构模型简要地解释这一现象呢？

1.雨滴的受力及运动模型

以一滴雨水为研究对象，建立坐标系，以雨滴开始下落的位置为坐标原点，分析雨滴的运动和受力，画出雨滴的受力图（如图6）。

其中[m]是雨滴的质量，[g]是雨滴受到的重力加速度（不考虑高度变化的影响），[F]是雨滴受到的空气阻力，[v]是雨滴的速度。

根据一般的经验，物体在空气中阻力为

[F=12CDSρav2]     （6）

其中[CD]为空气阻力系数（通常是常数，一般在1～2），[S]为物体横截面积，[ρa]为空气密度。

假设雨滴是球形（实际雨滴形状复杂，简化为球体，说明模型是对系统的简化），半径为[r]，水的密度为[ρw]，则雨滴的质量为

[m=43πr3ρw]      （7）

2.雨滴的特征速度

根据雨滴的受力特点，雨滴下降，势能转化为动能，因此雨滴的速度越来越大，而速度逐渐增加导致阻力增加。当雨滴受到的阻力等于雨滴的重力时

[F=mg]，[12CDSρav2=43πr3ρwg]     （8）

此后雨滴竖直方向受力为[0]，保持匀速运动（严格说是趋近于匀速运动）。由式（8）获得雨滴的极限速度（特征速度）为

[8ρwg3CDSρar=kr]     （9）

其中[k]是常数。式（9）表明雨滴的最终速度与其半径有关，该速度也被称为特征速度（[C]）。以上分析的结果就解释了暴雨速度大，毛毛细雨速度小的现象。

在雨滴实际下落过程中，其速度很快就接近特征速度[C]。在归一化处理后（通常把几个参数进行乘除运算，得到一个无量纲的量），相对时间（[gt/C]）增加时，相对速度（[v/C]）快速接近1（如图7）。这表明，雨滴从不同高度的云层中落下时，如果半径相同，落地时速度并没有明显差别。

3.迁移：伞兵落地的速度估计

以上建模及分析方法可以迁移到其他方面，如估算降落伞的特征速度。

类似前面分析，对于降落伞，有如下公式

[12CDSρav2=mg]，[v=2mgCDSρa]     （10）

其中[CD]为空气阻力系数，[S]为降落伞的横截面积，[ρa]为空气密度，[m]是伞兵及其装备的质量，[g]是重力加速度。

伞兵跳伞时很快达到其极限速度，正常降落伞张开后面积很大，假设降落伞的直径是5 m（如图8，参考人的尺寸），可以得出较小的特征速度。利用式（10）可以大概估算伞兵落地的速度（这也是模型的特点：可以利用理论结果进行估算）。

设[CD≈1.5]，[m≈80] kg，[g=10] m/s2，[ρa≈1.29] k/m3，[S=3.14×2.52] m2[≈]20 m2

代入式（10）计算后，发现落地速度约为是6.5 m/s。这是什么概念呢？根据自由落地时势能与动能的转化关系，有

[12mv2=mgh]，[h=v22g]        （11）

把落地速度6.5 m/s代入式（11），得到高度约为2.1 m。即正常情况下伞兵落地的冲击，相当于普通人从2.1 m高度跳下时效果，这一高度应该说还是比较安全的，特别是伞兵都经过了很多训练。但是如果降落伞出故障没有打开，这时人的身体截面积相当于[S]（身体横过来截面积最大也不到0.8 m2），由公式（10）算出的结果大于32 m/s，大于100 km/h，相当于高速公路上的汽车速度，此时伞兵就会有生命危险。

总结

系统与模型是重要的跨学科概念，可以应用于不同的学科领域。一般科研都要对系统进行简化，获得模型后，再进行深入研究。从以上案例中可以得出几点结论或启示。

实际雨滴并不是圆球，且下落时会吸附周围的水分，雨滴的质量和半径都在变化。模型没有考虑这些更复杂的细节，但是得出的结论基本符合实际情况，这表明了在跨学科概念“系统与模型”中，模型可以有较大的简化处理范围，因此师生可以尝试利用建模的方法，对自己感兴趣的问题进行简化分析。

对于云层高度问题，通过网上查找到的大气密度曲线（曲线是实际大气密度的模型），可以对云层的高度进行粗略的估计。虽然图中大气密度曲线是某地的，由此得出的结论也只适合当地，但这是处理问题的一般方法，容易推广到其他地区。所以推出的结论与实际情况还是接近的。

分析中运用了近似估计的方法，得出了大气的质量，是一种基于证据和逻辑的方法，也是批判性思维的具体体现。

如何根据系统的特点简化建模，是探究实践中的重要能力。目前教学中比较缺少建模的训练。因此，在科学教学中少量介绍一些建模的方法，让学生自行对一些有趣的现象进行简化分析，将使他们受益终身。

（作者：清华大学航天航空学院教授，义务教育科学课程标准修订组成员，“天宫课堂”策划人）