高中数学教学中直观想象素养培养的路径探究

摘 要：随着新课程改革的全面推进，对教师教学和学生学习提出了多方面要求，其中核心素养就是当前各个学科需完成的重点目标。直观想象素养是数学学科核心素养之一，纵观高中生学习现状得知，多数学生依旧借助直觉学习，尤其在学习抽象性较强的几何知识时，直觉会瞬间点燃思维。直觉与想象有着紧密联系，因此，需要在数学学科教学中，进一步培养学生直观想象素养，帮助学生在进行直观认识的同时，也在解决问题中完成空间想象，提高数学学习的能力。

关键词：高中数学;直观想象素养;培养策略

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1673-8918（2022）17-0087-04

直观想象即借助结合空间想象与几何直观图对事物形态与变化进行感知，并运用图形理解解决问题，并在此过程中理解数形关系，简化问题难度。所以，高中数学教师可结合学生学情与学科特征从多方面培养学生直观想象素养，促使学生深入理解数学概念、定理与公式，提高解决问题能力，实现预期教学目标。

一、 直观想象素养概念分析

《普通高中课程标准（2017版）》指出：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用空间形式尤其是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括：利用空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形来分析、描述数学问题;建立形与数之间的联系，构建一个直观的数学问题模型，并探索解决问题的方法。从其定义分析，主要包含两方面内容：几何直观和空间想象。其中，几何直观主要是指通过感性的、直观的、图形化的方式来分析和解决问题;空间想象则是通过理性的、立体的、多维的方式来进行分析和理解。从认知过程分析，人类在学习中是从感性深入到理性，进而进入指导实践的过程。同时，借助几何直观来拓展思维，并充分调动空间想象，进而达到分析问题、解决问题的最终目标。

二、 在高中数学教育中培养学生直观想象素养策略

（一）在几何代数教学中培养学生直观想象素养

几何代数是高中数学的重难点之一，重点凸显代数运算与几何直观结合。其中向量具有显著的代数特征且附带几何意义，无疑是连接代数与几何的桥梁，对此，高中数学教师可在几何代数教学中培养学生直观想象素养。

以“平面几何中向量方法”为例，无论数量积运算或向量线性运算，其几何背景均较为鲜明。运用向量知识解决平面几何中垂直、平行、求长度夹角问题属于重要方式之一，通过数形结合使学生对向量产生深刻印象，更能在此基础上体验向量工具特有的优越性，为后续运用向量知识分析和解决空间几何问题做好铺垫。学生在学习该章节之前已系统学习平面几何与平面向量知识，同时掌握平面向量概念、平面向量加减与乘除运算、几何意义、平面向量坐标表示等。针对该章节则要求学生运用向量方法解决几何问题，充分明确向量解决几何中垂直、平行、夹角、长度等一系列问题，并在学习过程中对数形结合思想产生深层次理解，强化直观想象素养与创新能力。

教师在教学中从以下方面着手：

①复习导入：带领学生复习向量加减法与数乘运算法则、几何意义、平面向量基本定理以及向量平行垂直判定等知识。基于学生旧知识，更容易使其接受新知识。

②应用举例：其一：垂直问题

教师：证明菱形两条对角线相互垂直。随即提出问题：菱形的定义是什么？

学生：一组邻边相等的平行四边形为菱形;

教师：该如何运用向量证明该问题？

学生：证明AC与BD垂直，说明AC·BD=0即可。

证明：菱形ABCD中，|AB|=|AD|，图1所示。

图1

∵AC=AD+AB，BD=AD-AB，

∴AC·BD=（AD+AB）（AD-AB）=|AD|2-|AB|2=0，

∴AC与BD，菱形两条对角线相互垂直。

传统证明菱形对角线相互垂直则运用三角形全等，借助向量证明能更好地拓宽学生解题思路，提高学习效率。

其二：平行问题

例题如下：已知四边形ABCD为平行四边形，其中E与F为对角线AC的三等分点，证明四边形BFDE为平行四边形。

教师：该如何证明一个四边形为平行四边形？

学生：只需证明一组对边平行且相等后，再证明两组对边平行即可。

教师：该如何将上述问题转化为向量问题？

学生：证明DF=EB即可。

具体证明如下：由已知设AB=DC=a，AC=b，

∵E、F为对角线AC的三等分点，

∴AE=FC=13AC=13b，

则有DF=DC-FC=a-13b，

EB=AB-AE=a-13b，

∴DF=EB，BE与DF相等且平行。

数学教师在上述教学过程中基于问题建立向量与平面几何的联系，指导学生将几何问题转化为向量问题并在此基础上寻找相对合适的基向量，感悟运用向量方法解决问题的优势。

（二）在函数教学中培养学生直观想象素养

函数是高中数学知识的重难点，更是常见数据模型，运用函数可直接定位事物位置以及分析事物运动规律与变化情况。所以函数知识点整体较为抽象复杂，凸显运用直观想象理解学习的重要性和必要性。

1. 巧用信息技术

信息技术是当前教育领域广泛应用的方式，应用于数学函数教学更是如虎添翼。教师在指数函数图像教学中先指导学生回顾复习初中阶段所学一次、二次函数与反比例函数，并在此基础上提出以下问题：该如何作出函数图像？学生回顾回答描点法。将自变量一个x值作为横坐标，因变量y为纵坐标就能得到平面上一个点。再运用一条线平滑地连接平面上多个点就可得出函数图像。基于此运用多媒体为学生播放使用描点法作指数y=2x函数图像的过程。学生通过观察可得出，图像性状逐渐在不断增加的取点数量中慢慢凸显（如图1所示）。

图1 函数y=2x的图像的描点作图

学生观看动画后对图像产生直观印象，即点的数量越多越能作出准确图像。数学教师教学中在绘制图像时运用描点法，学生脑海则能立即浮现函数，再选取描绘图像所需点，加深对函数知识的认知，提高直观想象能力。

“兴趣是最好的老师”，也是推动学生们积极参与数学学习的最好动力。因此，在高中教学中，通过充分激励措施来激发学生兴趣，激起他们的主动探究意识，兴趣的作用远远超过直接进行言语的说教。信息技术集声音、动画、图形、文字等于一体，通过对图形补、切、移、缩、伸、旋等多角度变换图形为学生提供形象化感性材料，刺激学生多从感官。对此，数学教师借助平板电脑为学生呈现相关知识图片，营造民主、和谐的学习环境;不同图片会产生不同视觉效果，学生情感也会产生不同变化，正是这种变化会激发学生潜在创新意识和学习兴趣。以“空间几何体”复习教学为例，数学教师通过平板电脑演示的方式，帮助学生直观形象地了解球、锥、柱等形成过程，之后让学生通过观察，对相关几何体的定义和性质进行归纳总结，改变以往枯燥沉闷课堂氛围。与此同时，图片的出现还能帮助学生直击重难点。例如在学习棱柱知识时，展示图2，要求学生认真观察并思考如下问题：

图2

①棱柱上下面有什么关系？②棱柱侧面是什么图形？③每相邻两个四边形的边均有什么关系？从定义明确棱柱性质：有两个面相互平行以及其余各面为平行四边形。之后教师让学生思考：棱柱的定义是否能用性质代替？如果教师空洞地讲解知识，学生无法理解该知识点。对此，教师可运用生动形象的图片从多方面为学生直观形象地展示棱柱各个面，加深学生对此知识点的印象和理解，提高学习效率。

2. 开展数形结合

数形结合是数学教学常见的思想方式，教师在解题教学中将该思想渗透其中能鼓励学生基于多角度分析和解决问题，简化问题难度。在函数教学初期需发展学生想象能力，故而需画出直观形象图形。当想象力发展至一定高度后可直接在脑海中进行想象，无须画出具体图形。例如：已知函数f（x）=|2x-2|-b有两个零点，求b取值范围。

在解答该问题之前，为更好地引导学生找到思路，可要求学生思考以下问题：（1）零点的定义是什么？（2）怎样对要求解的问题进行转化？（3）由y=2x的函数图像怎样画出函数y=|2x-2|的图像？

借助上述问题对学生进行引导，可使其认识到题目中有两个零点理解为函数y=|2x-2|与函数y=b图像有两个交点。紧接着数学教师引导学生运用数形结合方式画出上述两个函数图像。如图3所示，当b>2，两个函数图像只有一个交点，当b<0时则没有交点，所以，b取值范围为（0，2）。题目所有信息都在图像当中，简化解题难度。

图3

3. 强化思维训练

数学教师应训练学生作图能力，有利于提高学生直观想象能力。可明确告知学生在解题过程中多画图并在图像中标注题目信息，再将其转化至题目信息。例如：

函数f（x）=sinx+3|sinx|，x∈[0，2π]的图像和直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围为    。

解答该题的关键在于准确画出函数f（x）的图像。但是究竟该怎样画出这一函数的图像呢？课堂上可引导学生认真观察自变量的范围，结合绝对值的性质进行思考。在教师的启发下学生很容易想到分类讨论，最终在同一平面直角坐标系中画出函数f（x）的图像以及y=k的图像。显然当x∈[0，π]时f（x）=sinx+3|sinx|=4sinx;当x∈（π，2π]时f（x）=sinx+3|sinx|=sinx-3sinx=-2sinx。画出图像如图4所示，由图像易得k的取值范围为k∈（2，4）。

图4

上述函数、方程有着紧密联系。通常方程两边为两个不同函数，学生在解题中可先画出同一坐标系中两个函数图像，经观察对比得出某个取值范围或具体值。通过上述题目能强化思维，让学生接触与余弦函数、正弦函数有关的计算，同时充分了解正弦函数图像变换规律等，在上述教学活动中提高学生直观想象能力。

（三）在概率统计教学中培养学生直观想象素养

20世纪中期，高中课程中已存在概率知识，随着经济技术蓬勃发展，概率与统计知识为适应科学技术与社会发展实现从无到有，成为高中数学主要知识内容，所以，教师可借助概率和统计知识培养学生直观想象素养。

以“正态分布”教学为例，该章节知识在离散型随机变量知识后，为学生初步运用正态分布知识分析和解决实际问题提供重要理论依据。通过研究分析频率分布直方图、折线图以及总体密度曲线，引领学生深入理解正态密度函数概念、图像及其性质，形成系统化和完整化知识体系。统计学中常用分布即正态分布，在实际问题中很多随机现象都近似服从或服从正态分布。学生在学习该章节知识前已学习离散型随机变量和总体密度曲线、频率分布直方图，然而因时间间隔，不可避免会有所遗忘，对此，要求学生在课前自主复习。由于正态分布知识抽象性较强，学生从离散过渡至连续存有一定认知难度，所以需要教师优化课堂教学。

具体从以下方面着手：

1. 创设情境

如图5所示，该图为高尔顿板，使一个小球经上方通道进入高尔顿板后与相互平行且错开的圆柱形小木块产生层层相撞，最后沿着通道掉入下方某一球槽内，请问小球会掉落至哪个球槽？学生表示不能确定，因为小球掉落于某个球槽为随机事件。小球每次发生碰撞后会选择向左或向右，究竟掉落至哪个球槽内，属于多次与小木板随机碰撞叠加结果。紧接着教师提问：“运用所学统计学知识分析，掉落至某个球槽小球个数可看作什么？”学生回答：落入该球槽频数。随即数学教师对球槽实施编号，运用几何画板演示高尔顿板试验并要求学生根据结果绘制频率分布直方图，在此过程中思考，若不考虑球的大小因素，增加小球数量并缩小组距，观察频率分布直方图、折线图有何变化。随后数学教师运用几何画板演示小球数量增加与组距持续减少以及频率分布直方图、折线图变化。