中华优秀传统数学文化融入小学教学的策略

【编者按】将中华优秀传统数学文化引入小学数学教学，具有十分重要的教育价值。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：课程内容要关注数学学科发展前沿与数学文化，继承和弘扬中华优秀传统文化。一段时间以来，有关数学文化的研究，业内取得了一定的成果。但有关中华优秀传统数学文化进课堂，具体实施路径的设定，与课程内容的深度融合，教学设计的系统性、整体性等问题还亟待解决。本期话题围绕“关注中华优秀传统数学文化，优化小学数学教学”展开探讨。

一、用发展的眼光、整体的视角解读素材

将中华优秀传统数学文化融入小学教学首先面对的是素材问题。目前，课程教材中的中华优秀传统文化的素材大多分布在中国传统民俗（如服饰、饮食、节庆等）、中国古代数学（如数学名著、数学家、历史名题等）中，是以片段的形式呈现的，以这些素材为课程资源开展教学很难实现基于数学史的小学数学文化教学的高层次应用——数学文化与数学思维的融通。基于数学史的小学数学文化教学的高层次应用是建立在数学文化脉络上的数学学习，将数学内容赋予文化的意义，将数学文化建立于数学内容之上，既注重数学的思维，又关注数学的文化性，强调数学思维与数学文化的融通。因此，要将中华优秀传统数学文化融入小学教学，首先要将中华优秀传统文化置于数学历史发展脉络之中，将片段式的素材连续化，用发展的眼光、整体的视角审视其中的数学与文化。

比如记数系统，如果将甲骨文数码与筹算数码分开研究，研究的重点将是记数系统的记数规则，但将它们置于历史的发展脉络中进行研究，从甲骨文的十进累加法（记数是通过不同的计数单位累加实现的）到算筹的十进位值制（记数是通过基础数字与数位实现的），同样是十进制，满十要进一，但记数符号减少，表示的数却增多了，记忆负担减轻的同时，记数的便捷性提高，这些都是因为中华民族以天才的智慧引入了数位，在甲骨文记数中满十要创造一个新的记数符号，要记录更多更大的数，需要引进更多的计数单位，而在算筹记数中，满十要创造一个新的数位，记数符号的个数并未增加。从算筹到算盘，是农业、商业等的发展对算具发展的新需求，从本质上看算盘与算筹是一致的，但从计算速度上看，算盘更胜一筹。

再比如“比”，多版教材都是将比与除法建立联系来定义比的，并将比与几何比、配比建立联系，那有了除法为什么还要有比？从几何比、配比来认识比，学生感受到的是像不像、是否一样甜等，较难实现比的存在的数学刻画与比的意义的外在表现的统一。实际上，比的意义起源有四种，描述与测量的需要、物物交换的需要、合成与分配的需要、自然与美学现象。其中，描述与测量是人类的一种本能；物物交换是整体与整体的稳定关系，是商品自身价值的体现；合成与分配是一种部分与整体的不变关系，体现出的是性质的稳定与公平性；自然与美学是一种几何关系，体现出的是像不像、美不美的问题。在物物交换方面，如《九章算术》中各种谷物的兑换关系；在合成与分配方面，如《考工记》中不同的铜、锡配比冶炼成的不同合金。中国古代劳动人民在这些方面表现出了对比的认识的先进水平。这两种比的意义的起源，不仅丰富了比的意义，还实现了比的存在的数学刻画与比的意义的外在表现的统一。

相较于一般的中华优秀传统文化素材的解读，在历史发展脉络中解读中华优秀传统数学文化虽更具挑战性，但极具价值。也只有用发展的眼光、整体的视角对素材进行解读，才能触及数学内容的本质和数学背后的文化。

二、用推理、重构等方法加工素材

中华优秀传统文化的人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新等教学功能的实现要建立在相关素材转化为教学设计、教学设计转化为教学实践的基础之上。在整个过程中，高认知水平教学任务的设计是关键，这也是目前影响小学教师开发高水平案例的关键。高认知水平教学任务要求学生形成关于数学概念和思想的深层次理解或能够动手做数学，需要一定程度的认知努力，合理运用相关知识和经验。面对过程与结果相对完整的中华优秀传统数学文化素材，可以有多种方法实现课程素材到教学素材的转化。

方法一是推理还原法，通过任务设计，让学生通过推理、验证还原历史上的方法，在古今对照中理解知识的本质。在帮助学生理解算理的两位数乘两位数的拓展课中，如下图依次呈现用算筹计算56×78的过程，然后让学生猜测最后一张图中间部分的数字是多少，并推理得出这个数字是怎么来的。要解决这个问题，首先需要学生按照算筹十进位值的特点推断出这个数字是3900，然后要打破学生原有的认知结构。在进行两位数乘两位数时要将第二个乘数拆分成整十数与一位数，再用第一个乘数依次从低位乘起，促使学生进行大胆猜测，原有的拆分方式无法得出3900，要采用新的拆分方式对56进行拆分，低位算起也无法得出3900，高位算起恰好得出3900。课的最后让学生对比古今的方法，学生在对比中会发现古今方法的算理相同、算法不同，与古代方法相比，今天的算法用了最少的步骤，保留了整个计算过程。

方法二是重构法，将学生的认知发展顺序、知识的逻辑顺序与历史的发展顺序融合起来，引导学生经历知识的发生发展过程。比如中国是最早发明小数的国家，在遇到比1小的问题时，需要不断创造新的计量单位，但这种方式没有必要持续下去，此时引入间隔符号，小数就自然产生了，而且实现了整数与小数的统一。在三年级“小数的认识”的教学中，不从生活中的小数入手进行教学，而是从生活中进率为10的单位换算入手，结合数位顺序表，大的计量单位换算为小的计量单位是学生的已知，符合退一当十，小的计量单位换算为大的计量单位是学生的未知，符合满十进一。让学生将小的计量单位换算为大的计量单位，并将转化后的数值填入数位顺序表后，对个位后的数位进行推理分析。在这个任务中，学生需要创造数位，建立数位之间的关系，并建立小数部分与分数之间的联系。

方法三是问题提出法，将中华优秀传统文化素材转化为数学阅读素材，供学生阅读，提出问题，对问题进行分析后予以解决。比如，在课前呈现土圭之法的阅读材料：“冬至这一天日影长，用8尺（184.8厘米）长的圭表来测算日影，日影长是一丈三尺五寸，约合现在3.12米，夏至这一天测算日影长应该是一尺五寸，约合现在35厘米，土圭测影子的方法为后来测算24节气提供了一个比较科学的方法”。学生阅读后，进行问题提出。再通过建立分类标准将学生提出的问题划分为土圭之法的历史、工具、测量、应用等类别，并构思问题解决的方案，即以什么样的顺序、借助何种工具、以何种方式、在什么样的情境下进行问题解决。如果学生要解决土圭之法的历史问题，便可以小组合作的方式，在课下完成调查，在课上进行汇报。师生通过讨论确定解决方案后，由学生执行，最终完成项目学习。

将中华优秀传统数学文化素材转化为高认知水平的教学任务的方法还需要进一步探索，但高认知水平的教学任务需要学生的大胆猜测、深度参与、认知结构的解构与重构、推理与验证。

三、用多种课型融合素材

目前，已有一些应用中华优秀传统数学文化的尝试，但是这些尝试大多与拓展课相融合。事实上，中华优秀传统数学文化可以与多种课型相融合。

在拓展课方面，《义务教育数学课程标准（2022年版）》已为我们提供了一些经典案例，如年月日的故事、土圭之法的故事、度量衡的故事等。也可开发其他跨学科的主题活动，如“中国古代音乐与数学”，从五音不全开始，借助数学阅读引发学生对传统音乐的思考，进而聚焦于音乐背后的数学原理——三分损益法，让学生用数学的思维思考中华传统文化，从用耳定音到用数学定音，学生在音乐理论的发展中，感悟优秀传统数学文化。还可开发项目学习，比如“从天平到杆秤”，学生要成功制作天平，便要经历单位重量确定的复杂过程，学会利用不同单位重量砝码的组合确定物体的重量。在从天平演化为杆秤的过程中，学生可以探究杠杆原理，学会利用距离的远近确定物体的重量。

在复习课方面，教师可以从知识测评入手，从测评中发现教与学的不足，从而进行针对性的复习。比如让学生解释[34]÷[23]=[34]×[32]的原因，以考查学生对分数除法算理的理解，并根据测评的结果引入中国古代的经分术，帮助学生从运算一致性的角度理解分数除法的算理。

在新授课方面，将中华优秀传统数学文化与教学重点、难点相融合，帮助学生理解重点、化解难点。比如分数的发展，中国古代经历了从量到特殊的率，再到一般的分数的过程。在这个过程中，特殊的率，比如一半[12]、少半[13]、大半[23]，是分数发展的关键一环，也是分数发展从量到率的一次飞跃，在教学中，可以让学生从多类型的分物中识别出特殊的分数，并从部分与整体的关系的角度解释这些特殊的分数，从而帮助学生理解分数关系的属性，跨越从量到率的学习难点。

在练习课方面，可以从历史名题入手，进行变式，从而帮助学生更好地认识、理解、应用中国古代数学中的各种“模型”。比如，《算法统宗》中的龟鳖同池问题：“三足团鱼六眼龟，共同山下一深池。九十三足乱浮水，一百二眼将人窥。或出没，往东西，倚栏观看不能知。有人算得无差错，好酒重酌赠数杯。”将其作为练习引入，让学生识别出鸡兔同笼的模型，进而呈现其他历史名题或改编的题目供学生识别、应用、巩固模型。

需要注意的是，在中华优秀传统数学文化与多种课型融合时，前者是自变量，可以对其进行不同的加工以适合不同的课型。同时，为了凸显中华优秀传统数学文化，需要以其作为主线重构教学。

要将中华优秀传统数学文化融入小学数学教学，在实践层面，需要宽广度、深层次的融合，在用发展的眼光、整体的视角解读素材中的数学思维与数学文化的基础上，利用推理、重构等方法将素材转化为高认知水平的教学任务在各种课型中加以应用，最终实现中华优秀传统数学文化的多元教学功能。同时，还需要解决教师开发案例时的“无米之炊”问题，小学数学教育共同体要合力构建中华优秀传统数学文化的资料库。在理念层面，要突破中华优秀传统数学文化仅与民族认同等情感态度价值观目标相匹配，仅与拓展课相结合的刻板印象，需要更全面、深刻地认识其教育价值的多元性与应用课型的普遍性。教师要避免将中华优秀传统数学文化与其他民族的文化对立起来，要将其置于多元文化的情境中，才能更好地彰显中华优秀传统文化。此外，理念的更新与实践的改进是相辅相成的，用理念引领实践、在实践中更新理念，在实践、反思中更好地将中华优秀传统数学文化融入小学教学。

（作者单位：杭州师范大学经亨颐教育学院 玉溪师范学院数学与信息技术学院）

本文系云南省教育厅科学研究基金项目“HPM视角下职前教师专业发展的研究与实践（课题编号：2021J0660）”的研究成果。