极坐标与参数方程在圆锥曲线问题中的应用研究

［摘 要］圆锥曲线问题是高考数学的重难点，利用极坐标与参数方程解答此类问题，能有效避免繁杂计算，减小计算量，优化解题过程。文章结合几道例题具体阐述直线的参数方程、圆的参数方程、椭圆的参数方程、抛物线的参数方程和极坐标在圆锥曲线问题中的应用。

［关键词］极坐标；参数方程；圆锥曲线问题；高考

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）26-0001-04

自教育部实施“强基计划”以来，高考数学试题发生了显著变化，变得更灵活、更开放，对学生的能力要求也更高，这一变化旨在更好地发挥数学在高考中的选拔功能。在新高考备考中，教师不仅要让学生掌握扎实的基础知识和基本的解题方法，还要让学生把握知识的本质，加强学生的思维训练，从而全面提升学生的数学学科核心素养。

圆锥曲线是高考数学的重点内容，由于其试题设法复杂、参数多、计算量大，学生难以在短时间内准确解答，因此也是高考数学的难点内容，且常在压轴题中出现。圆锥曲线试题蕴含的几何背景，以及极坐标与参数方程中的参数所具有的几何意义，为解题提供了丰富的工具和视角。在解答圆锥曲线问题时运用极坐标与参数方程，往往能简化计算过程，优化解题策略。对此，教师应加强学生对极坐标与参数方程的理解与运用，训练学生一题多解的能力，使学生养成多角度、多维度、多层次思考问题的习惯，培养学生的思维灵活性和发散性，增强学生解决难题的信心。

一、利用直线的参数方程解题

［例1］在平面直角坐标系[xOy]中，已知点[F1（-17]，0），[F2（17，0），]点[M]满足[MF1-MF2=2]，记[M]的轨迹为[C]。

（1）求[C]的方程；

（2）设点[T]在直线[x=12]上，过[T]的两条直线分别交[C]于[A，B]两点和[P，Q]两点，且[TA·TB=TP·TQ]，求直线[AB]的斜率与直线[PQ]的斜率之和。

解：（1）[C]的方程为[x2-y216=1（x≥1）] （过程略）。

（2）设点[T]的坐标为[12，y0]，由题意知，直线[AB]和直线[PQ]斜率都存在，设直线[AB]的斜率为[k1]，直线[PQ]的斜率为[k2]，则由直线与双曲线的位置关系可知[k1]，[k2∈（-∞，-4）⋃（4，+∞）]，将直线[AB]的方程设为[x=12+t，y=y0+k1t（t为参数）]，将其与[C]的方程联立，得：[（k21-16）t2+（2k1y0-16）t+y20+12=0]，则[t1t2=y20+12k21-16]，

由[TA=1+k21·t1]，[TB=1+k21·t2]，

可知[TA·TB=（1+k21）t1t2=（1+k21）·y20+12k21-16=（1+k21）·y20+12k21-16]，同理[TP·TQ=（1+k22）·y20+12k22-16]，

由[TA·TB=TP·TQ]得[（1+k21）·y20+12k21-16=（1+k22）·y20+12k22-16]，得[k21=k22]，又因[k1≠k2]，故[k1=-k2]，即[k1+k2=0]，故直线[AB]的斜率与直线[PQ]的斜率之和为0。

总结：由题意知，点[T]的纵坐标、直线[AB]的斜率、直线[PQ]的斜率都是未知的，按常规设法，本题有三个未知量，在计算过程中消去变量是最常见的手段，但因未知量多，计算相对繁杂，对学生数学运算、逻辑推理等能力要求非常高。题目有已知条件[TA·TB=TP·TQ]，而[TA·TB]和[TP·TQ]与直线的参数方程有关，因此可以考虑利用直线的参数方程求解。当题设中出现[TA·TB]或[1TA+1TB]时，可以借助直线的参数方程，利用参数的几何意义求解，从而简化计算、快速得解。

［例2］已知抛物线[E：x2=2py（p>0）]的焦点为[F]，直线[x=4]分别与[x]轴交于点[M]，与抛物线[E]交于点[Q]，且[NQ=54MQ]。

（1）求抛物线[E]的方程；

（2）设横坐标依次为[x1，x2，x3]的三个点[A，B，C]都在抛物线[E]上，且[x1>0≥x2>x3]，若[△ABC]是以[AC]为斜边的等腰直角三角形，求[AB·AC]的最小值。

解：（1）抛物线[E]的方程为[x2=4y]（过程略）。

（2）设点[B]的坐标为[（x2，y2）]，则[x22=4y2]，设直线[AB]的斜率为[k]，则[k>0]且直线[BC]的斜率为[-1k]，可将直线[AB]的方程设为[x=x2+t，y=y2+kt（t为参数）]，与[x2=4y]联立可得[t2-（4k-2x2）t=0]，则[t=0]或[t=4k-2x2>0]，则由直线的参数方程可知[AB=1+k2·t=1+k2·（4k-2x2）]，

用“[-1k]”替换“[k]”，因为[x2>x3]，所以[4·-1k-2x2<0]，且[BC=1+-1k2·4·-1k-2x2=1+k2k·4k+2x2]，由[AB=BC得1+k2·（4k-2x2）=1+k2k·4k+2x2]，可得[x2=2k3-2k2+k]，由[x2≤0]，[k>0]可得[0<k≤1]，

则[AB=1+k2·（4k-2x2）=1+k2·4（k2+1）k2+k]，

则[AB·AC=ABACcosπ4=AB2=（1+k2）·16（k2+1）2（k2+k）2=16（k2+1）3（k2+k）2]，

设函数[f（k）=16（k2+1）3（k2+k）2 ][（0<k≤1）]，则

[f（k）=][163（k2+1）2·（2k）·（k2+k）2-（k2+1）3·2（k2+k）（2k+1）（k2+k）4]

[=32（k2+1）2·（k3-1）+2k（k-1）（k2+k）3≤0]，

所以，[0<k≤1]时函数[f（k）]单调递减，故[f（k）]的最小值为[f（1）=32]，故[AB·AB]的最小值为32，此时[k=1]，[A]、[B]、[C]三点的坐标分别为[（-4，4）]，[（0，0）]，[（4，4）]。

总结：由[AB⊥BC]且[AB=BC]，可以设点[B]的坐标为[（x2，y2）]，其中[x22=4y2]，设直线[AB]的斜率为[k]，利用点斜式可得直线[AB]的方程，再与抛物线的方程联立，可以得到点[A]的坐标，再将“[k]”换成“[-1k]”，可得点[C]的坐标，但这个过程计算量非常大，一般学生很难算得准。结合题目条件[AB⊥BC]且[AB=BC]，可以考虑利用直线的参数方程，将所求的量转化为只含有一个未知数的代数式，求导可得最值。只要厘清关系，处理好绝对值，计算并不复杂。这种方法比较新颖，需要学生仔细揣摩、认真体会、反复钻研，从而融会贯通。

二、利用圆的参数方程解题

［例3］已知[A（-1，0）]，[B（3，0）]，[P]是圆[O：x2+y2=49]上的一个动点，则[sin∠APB]的最大值为              。

解：由对称性不妨设点[P]位于上半圆，利用圆的参数方程，设[P（7cosθ，7sinθ）]（[0<θ<π]），由题可知[∠APB]为锐角，当[sin∠APB]最大时，[tan∠APB]也最大，故先研究[tan∠APB]的最大值。

[kPB=7sinθ7cosθ-3]，

[kPA=7sinθ7cosθ+1]，

[故tan∠APB=kPB-kPA1+kPB·kPA=7sinθ7cosθ-3-7sinθ7cosθ+11+7sinθ7cosθ-3·7sinθ7cosθ+1=28sinθ（7cosθ-3）（7cosθ+1）+49sin2θ=28sinθ46-14cosθ=14sinθ23-7cosθ，]

设[f（θ）=14sinθ23-7cosθ ][（0<θ<π）]，

[则 f（θ）=14cosθ·（23-7cosθ）-14sinθ·7sinθ（23-7cosθ）2=14（23cosθ-7）（23-7cosθ）2，]

设锐角[θ0]满足[cosθ0=723]，[sinθ0=43023]，

则[θ∈（0，θ0）]时， [f（θ）>0 ]， [f（θ）]单调递增，

则[θ∈（θ0，π）]时， [f（θ）<0 ]， [f（θ）]单调递减，

故[f（θ）max=f（θ0）=14sinθ023-7cosθ0=14×4302323-7×723=73060]，即[tan∠APB]的最大值为[73060]，由同角三角函数的基本关系式可得[sin∠APB]的最大值为[713]。

总结：要求[sin∠APB]的最大值，一般要先将[sin∠APB]表示出来。本题的难点是如何将[sin∠APB]表示为只有一个未知量的式子。结合题目条件，发现[sin∠APB]不易表示，但[tan∠APB]可以表示。通过圆的参数方程，可将[tan∠APB]用一个未知量[θ]表示出来，将问题转化为单变量求最值问题，再通过导数即可解决。如果不求导，[tan∠APB]的最大值也可用辅助角公式求解：设[m=14sinθ23-7cosθ]，则[14sinθ+7mcosθ=23m]，由辅助角公式可得[14sinθ+7mcosθ≤74+m2]，即[23m≤74+m2]，可知[m]的最大值为[7230=73060]，即[tan∠APB]的最大值为[73060]，由同角三角函数的基本关系式可得[sin∠APB]的最大值为[713]。

三、利用椭圆的参数方程解题

［例4］平面直角坐标系[xOy]中，已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）的离心率为[32]，左、右焦点分别是[F1]，[F2]，以[F1]为圆心、3为半径的圆与以[F2]为圆心、1为半径的圆相交，且交点在椭圆[C]上。

（1）求[C]的方程；

（2）若点[P0]，[P1]，[P2]在椭圆[C]上，原点[O]为[△P0P1P2]的重心，证明：[△P0P1P2]的面积为定值。

解：（1）[C]的方程为[x24+y2=1]（过程略）。

（2）椭圆的参数方程可设为[x=2cosθ，y=sinθ]（[θ]为参数），故可设[P0，P1，P2]的坐标分别为[（2cosα，sinα）]，[（2cosβ，sinβ）]，[（2cosγ，sinγ）]，

由[OP1+OP2+OP3=0]可得：

[2cosα+2cos β+2cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，]

即[cosα+cos β+cosγ=0，sinα+sin β+sinγ=0，]

即[cosα+cos β=-cosγ，sinα+sin β=-sinγ，]

两式平方，相加再消去[γ]得[cos（β-α）=-12]，则[sin（β-α）=±32]，

不妨设[OP0]，[OP1]不共线，设[OP0]和[OP1]的夹角为[φ]，

由点[O]为[△P0P1P2]的重心知[△P0P1P2]的面积为[△OP0P1]的面积的3倍，则