搭建适切支架 优化通性通法 培养批判性思维

［摘 要］文章以一道“平面向量数量积”习题为例，具体阐述如何通过搭建适切的问题支架、工具支架和活动支架等来优化通性通法，从而培养学生的批判性思维。

［关键词］适切支架；通性通法；批判性思维

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2024）35-0010-06

罗增儒教授认为“数学思维问题是数学教育的核心问题”[1]。斯托利亚尔在其著作《数学教育学》中指出：数学教学是数学（思维）活动的教学。他在列举数学教育目的时，把发展学生的数学思维放在第一位[2]。波利亚指出：“中学数学教学首要的任务就是加强解题训练。”他还有一句名言：“掌握数学就是意味着善于解题。”[3]解题教学不仅是运用知识与方法的有效途径，更是培养学生理性思维，尤其是批判性思维的重要平台。本文以一道“平面向量数量积”习题为例，聚焦条件的转化和方法的优化，具体阐述如何通过搭建适切的支架来优化通性通法，以有效培养学生的批判性思维。

一、通性通法分析

苏教版高中数学教材必修第二册给出了平面向量数量积的定义，即[a∙b=a bcosθ]，这也是求平面向量数量积的第一种方法——定义法。求平面向量数量积的第二种方法为坐标法，即[a∙b=x1x2+y1y2]。由教材介绍的投影向量的概念，推导出[a∙b]=[OA1∙b=OA1 bcosθ]（其中[θ等于0或π]），这是求平面向量数量积的第三种方法——投影向量法。最后，根据平面向量基本定理，将未知的向量用已知的基底表示，再通过定义求解平面向量数量积，不妨称这种方法为第四种方法——基底法。

二、课堂教学过程

（一）引入习题

［例题］如图1，在平面四边形[ABCD]中，已知[AB=3，DC=2]，[E]，[F]分别是边[AD]，[BC]上的中点。若向量[AB]与[DC]的夹角为[60°]，则[AB·EF]的值为              。（改编自苏教版高中数学教材必修第二册第19页第7题）

设计意图：引导学生在复杂情境下运用定义法、基底法、投影向量法（针对特殊数据）、坐标法等多种方法并优化方法求平面向量数量积。

（二）开展教学

由于本题直接运用定义法不便捷，故主要采用基底法、坐标法、投影向量法和极限法求解。通过对各种方法的反复比较和深入分析，加深学生对平面向量数量积概念的理解，并优化他们对相关方法的运用。

1.优化通性通法

（1）优化基底法——善用比例点，从四边形走向三角形

生1：将[EF]转化为[AB，DC]。[AB·EF=AB·（ED+DC+CF）=AB·12（AD+CB）+DC）=AB·12AB+12DC=12AB2+12AB·DC=6]。

师：这个方法实际上是将未知向量转化为基底向量[AB]与[DC]。也有一些同学连接[EB]，[EC]，利用平面向量基本定理得[EF=12EB+12EC=12（EA+AB）+12（ED+DC）]，这样处理就方便多了。

师：在上述转化中最关键的结论是什么呢？

生齐：应该是[EF=12（AB+DC）]。

师：其实这是课本上的一个结论。（转向生2）你觉得上述解法如何？

生2：我想不到这个结论，但我肯定会尝试往这两个向量的方向去思考。

师：嗯，好的。那这道题还有没有其他解法呢？（稍作停顿）注意[E]，[F]的位置。

生3：连接[BD]，取[BD]的中点[G]，连接[GE]，[GF]，如图2所示。这样，[AB·EF=AB·12AB+12DC=12AB2+AB·12DC=6]。

师：你是怎么想到的？

生3：[E]，[F]是中点让我想起了初中学过的平面几何，这样构造中位线就可以了。

师：这个想法怎么样？（学生纷纷点头赞许）

师：借助中位线，我们可以将[AB，DC]平移到三角形[EFG]中，这样处理更快，且比第一种方法更直观、更易理解。

（2）优化坐标法——善用特殊角，从一般点转向特殊点

师：如果先利用“向量[AB]与[DC]的夹角为[60°]”这个条件，大家有没有什么联想？

（随机提问一名学生）

生4：这个夹角比较特殊，让我想到了建立坐标系，但是我没能成功构建出来。

师：那你觉得难在哪里？

生4：难在图中这个夹角并没有明显体现出来。

师：[60°]夹角在图中没有明显体现，那我们该如何处理呢？

（有学生提到可以延长线段，教师顺势在原图上延长[BA]，[CD]，使其交于一点）

师：请各小组讨论，看能否通过建立坐标系进行处理？

（2分钟后，课堂逐渐安静下来，各小组开始分别展示）

生5：为了便于计算，我将[BA]，[CD]延长线的交点设为坐标系的原点，并将[AB]置于[x]轴的正半轴上，建立如图3所示的坐标系。这样，[D，C]就在定直线y=[3]x上。设[A（a，0）]，则[Ba+3，0]，[AB=（3，0）]，设[D（m，3m）]，则[C（m+1，3（m+1））]，由[AD=2AE]，[BC=2BF]，分别求得[Em+a2，32m]，[Fm+a+42，32（m+1）]，[EF=2，32]，所以[AB·EF=3×2+0×32=6]。

师：大家觉得生5的思路怎么样？

（大部分学生投来赞许的目光）

师：看看，结果与[m]、[a]有关系吗？能否对生5的思路进行优化？

生6：其实不用那么麻烦。我们不妨令[A（1，0）]，[B（4，0）]，[AB=（3，0）]，[D，C]在直线[y=3x]上，令[D（1，3）]，由[DC=2]，可设[C（2，23）]，由[AD=2AE⇒E1，32]，[BC=2AF⇒F（3，3）]，所以[EF=2，32]，所以[AB·EF=3×2+0×32=6]。

（教室内掌声响起）

师：你怎么会想到这样的建系方式呢？很特别，点[A]的坐标也太特殊了。

生6：我在分析过程中发现，图3中点[A]，[D]的位置并不明晰。为便于计算，我先假定点[A]的位置，记为[A（1，0）]，这样点[B]的位置也就自然确定了。[D，C]在定直线y=[3]x上运动，结果仍然相同。基于这样的想法，我尝试把点[D]也放到特殊的位置上，于是就有了上述做法。

师：哪位同学愿意分享自己的学习体会？

生7：在建系的基础上对图形的位置进行特殊化处理，可以让运算变得更加简单。

师：很好，你的发现很有价值。这样，我们就可以把定性问题转化为定量问题，或者将一般的定量问题转化为更为精准的定量问题。

（3）优化投影向量法——善用化归路径，从常规图转向直观图

师：还有其他破题角度吗？

（学生感到很惊讶，原本以为对这道题的研究已经结束了，但教师的提醒又让他们的思绪回到了问题上）

师：我们已经读完了所有的条件，看来只能在题目要求的[AB·EF]上找突破口了。

（教师再次提醒大家）

师：刚才我们已经分别用基底法和坐标法求[AB·EF]，大家还记得另一种方法叫什么吗？

生齐：投影向量法。

师：这个方法平时用得不多，因此不太容易成为我们的第一选择。今天，我们就来投投影，找找投影向量，看看能否有新的突破。

（教师开始巡视，观察学生的反应和解题进展）

师：我发现不少同学在原图上直接作投影，但似乎进行得不太顺利。确实，直接在原图上找投影向量不太直观。那么，你最习惯用什么样的方法来作投影向量呢？别忘了之前提到的“突破”常规哦。

生7（走到讲台前，在黑板上画了一个新的图形，标记为图4）：为了更直观地展示，我把其中较长的线段[AB]画平，然后根据平面向量数量积的几何意义来求解。我分别过点[E，D，C，F]向[AB]边作投影，垂足分别为点[M，P，Q，N]，则[EF]在[AB]上的投影为[EFcosθ=MN]，[MN=MP+PQ+QN]，[PQ=DCcos60°=1]。又由相似比可得[AMMP=AEED=BNNQ=BFCF=1]，所以[MP+NQ=12（AP+BQ）=12（AB-PQ）=12×（3-1）=1]，所以[MN=1+1=2]，所以[AB·EF=3×2=6]。

（教室里响起一阵掌声）

师：哪位同学愿意谈谈对这个解法的思考？

生8：有点意外，但又合乎情理。

师：此话怎讲？

生8：说意外，是因为我们平时不太习惯直接运用平面向量数量积的几何意义来解题，但从刚才的解题过程可以看出，这种方法确实很方便，也很合乎情理。因为平面向量数量积的几何意义正是其定义的重要组成部分，也是我们处理平面向量问题的一种重要手段，我们确实应该多往这个方向去思考。

生3（突然插话）：如果是这样的话，我刚才的做法还可以再优化一下。因为在图2的[△EGF]中[∠EGF=120°]，[EG=32]，[GF=1]，所以[AB·EF=2EG∙EF]，只要用投影向量法就能立即得到答案[AB·EF=2EG∙EF=2×32×（EG+GF·cos60°）=2×32×32+1×12=6]。

师：看来大家收获不断呢！生3已经能够灵活运用生7的方法去优化自己的解法，非常难得。

师：其实，我在批阅作业时也发现有同学有这样的想法。可能是受到原题中图形形状的影响，导致直观性得不到体现，解题过程受阻。因此，将图形转换到合适的状态，能更直观地分析问题。大家要重视这一现象，学会灵活运用不同的方法去解决问题。

（4）巧用极限法——善用影响度，从常规图转向极限图

师：还有没有其他思路？请大家再次突破自己认识的局限，仔细揣摩图3的作图细节，看看能否有新的发现。别忘了，这只是一道填空题（边说边将目光投向图3，并用手势张合来辅助说明）。

生9：我发现在图3中，[AD]的长短对计算结果影响不大。

师：你有什么具体的想法吗？

生9：我索性取[AD]为0（即让[A，D，E]重合），得到图5。大家一起来试算一下，看看结果会怎么样。此时[AB·EF=AB·AF=AB·12AB+12AC=12×9+12×3×2×12=6]。

师：这用的是什么方法？

生齐：极限法。

师：极限法我们之前提到过，它看似简洁，但并不是所有的问题都能用这种方法解决。

师：同学们，刚才大家从多个角度对这道向量题进行了深入剖析，让它焕发出了新的光彩，展现出了独特的魅力。同时我们也从中体会到了深入分析和合作交流的重要性。

师（反问）：如果将例题中的[F点]由[BC]上的中点改为靠近点[B]的三分之一点（如图6），其他条件不变，能求出[AB·EF]的值吗？

（学生纷纷开始讨论）

生10（兴奋地）：我用极限法做出了，答案是7。（下面有不少学生附和）

生11（平静地）：我是用生1提到的基底法做的，但只化到[AB·EF=AB·（ED+DC+CF）=AB·12AD+DC+23CB=AB·12（AD+DC+CB）+12DC+16CB=AB·12AB+12DC+16CB=12AB·AB+12AB·DC+16AB·CB=6+16AB·CB]，就再也算不下去了。