新课改下变式教学在数学课堂中的实践探索

［摘 要］随着高中新课改和高考新改革的实施，数学课堂面临“内容多、时间紧”的挑战，学生由于跟不上教师的教学进度，数学知识掌握不扎实，因此难以应对考试中的综合性题型。在此情况下，教师可采用变式教学策略。文章结合具体案例，探讨新课改下变式教学在数学课堂中的实践。

［关键词］变式教学；新课改；数学课堂

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2024）35-0028-03

一、变式教学的内涵以及实施意义

变式教学涵盖知识形成过程的多种变式形式，包括问题设计的变式、基本概念的变式、定理和公式的变式，以及例题和习题的变式（如一题多解、一法多用、一题多变、多题归一等）。

变式教学通过变式训练，能够使学生举一反三，提高学习兴趣，调动学习积极性。变式教学对学生掌握知识、提升能力和发展思维等起到极其重要的作用。它通过多层次、多向性的交互过程使教学结构发生质的变化，为课堂教学注入生机和活力。

在新课改下，将变式教学引入数学课堂，能够极大地促进学生的学习和发展。在数学变式教学中，教师应有意识地引导学生从“变”的现象中探寻“不变”的本质，通过引导学生运用类比、联想、特殊化和一般化等思维方法对基本问题进行变式处理，使学生在理解问题本质的同时能够拓展数学思维。

二、变式教学在数学课堂中的实践

（一）变条件，培养学生思维的严谨性

［例1］若[sinα=-45]，且[α]是第三象限角，求[cosα]的值。

分析：本例旨在让学生直接利用刚学习的三角函数关系解决[sinα]、cos[α]、[tanα]中“知一求二”问题。

变式1：若[sinα=-45]，求[cosα]的值。

分析：由于角[α]可能位于两个象限，因此需分类讨论，以拓宽学生思维，培养其分类讨论的能力。

变式2：若[tanα=2]，求[cosα]的值。

分析：本变式旨在让学生探索同角函数关系应用的本质，即解方程组思想的运用。通过条件的变式，帮助学生更好地理解如何应用同角三角函数的基本关系。

［例2］ [f（x）]是R上的奇函数，在区间[0，+∞]上单调递增，求[f（x+1）<f（2-x）]的解集。

分析：本例旨在训练学生对函数的奇偶性和单调性的综合运用的能力。

变式1：[f（x）]是奇函数，在[0，2]上单调递增，求[f（x+1）<f（2-x）]的解集。

分析：该变式旨在让学生认识到，函数的性质是建立在存在性的基础之上的，凸显了定义域的重要性。

变式2：[f（x）]是偶函数，在[0，2]上单调递增，求[f（x+1）<f（2-x）]的解集。

分析：该变式旨在让学生明白偶函数和奇函数的差异，及求解方法各不相同，需分类讨论或取绝对值。通过对比发现，应尽量避开分类讨论，优先采用绝对值方法。

变式3：[f（x）]是偶函数，在[-2，0]上单调递增，求[f（x+1）<f（2-x）]的解集。

分析：该变式旨在让学生避坑，即取绝对值后需考虑函数正向的单调性，从而省去函数符号[f]。

综上，条件的变式让学生进一步掌握解题技巧，培养严谨的数学逻辑思维，同时体验数学的美妙，明白解题的本质在于去掉函数符号[f]。

（二）变目标，提高学生的学习兴趣

［例3］若[tanα=2]，求[cosα]的值。

分析：通过本例学生已经掌握了运用同角三角函数关系求解已知一个三角值求同角另两个三角值的方法。

变式1：若[tanα=2]，求[sinα+cosαsinα-cosα]的值。

分析：此变式题若用常规方法解答，运算量大。因此，教师可引导学生发散思维，探讨新解法，如解方程组（需分类讨论）、定义法、切化弦代入法、弦化切法（上下除以[cosα]）。最后，引导学生优选最有效方法，如弦化切法。

变式2：若[tanα=2]，则[sinαcosα=]                 。

分析：进一步巩固弦化切法，但要注意先将目标化为齐次分式再使用。

［例4］求关于[x]的不等式[x2+（1-m）x-m<0]的解集。

分析：本题属于含参二次不等式解集问题，可进行因式分解，故按方程根的大小分三类讨论。

变式1：求关于[x]的不等式[mx2+（1-m）x-1<0]的解集。

分析：该变式难度大主要原因是二次项系数含参。因此，应优先考虑根据二次函数的开口方向，将其分三大类进行讨论。在可能的情况下对表达式进行因式分解。然后，在每一大类下根据相应方程根的大小，进一步细分为若干小类进行讨论。

变式2：求关于[x]的不等式[x2-mx-1<0]的解集。

分析：该变式的难点在于表达式不能因式分解。因此，需根据方程的根的判别式，将其分为三类情况进行讨论。

变式3：求关于[x]的不等式[mx2-x-1<0]的解集。

分析：该变式的难点在于二次函数的开口方向未知，需分三大类进行讨论，且不能因式分解，需按根的判别式再分小类进行讨论。根的大小比较与二次函数的开口方向密切相关。

以上一系列变式题由易到难，层次分明，让学生领略数学变式之美，提高学习兴趣。

（三）变方法，提升学生的思维能力

［例5］已知[sinα+cosα=15]，[0<α<π]，则[tanα=]                                 。

解法1：对等式两边平方得[2sinαcosα=-2425<0]，所以得[sinα-cosα=75]，联立已知条件，解得[sinα=45]，[cosα=-35]，所以[tanα=-43]。

解法2：前面步骤同解法1，得[sinα-cosα=75]，所以[sinα+cosαsinα-cosα=17]，分子分母同除以[cosα]，得[tanα+1tanα-1=17]，解得[tanα=-43]。

解法3：前面步骤同解法1，得[2sinαcosα=-2425]，所以[sinαcosαsinα2+cosα2=-1225]，分子分母同除以[cos2α]，解得[tanα=-43]。

在教学过程中，教师经常采用一题多解的方式讲授。当然，更多时候教师对同一例题不会单纯地进行条件、方法、目标的变换，而是进行综合变式，由易到难，使学生更容易接受和理解。

（四）综合变式，由易到难，层层递进，培养学生的整体思维

［例6］在[△ABC]中，已知[∠A=π3]，[a=2]，求周长的取值范围。

分析：该题有两种解题方法。一是用余弦定理建立边的关系，结合基本不等式和三角形两边之和大于第三边的性质，求出周长的取值范围；二是用正弦定理将周长转化为三角函数，利用三角化简及三角函数的性质和图象，求得周长的取值范围。

变式1：在锐角[△ABC]中，已知[∠A=π3]，[a=2]，求周长的取值范围。

分析：当条件变为特殊三角形时，第一种方法运算不便，宜采用第二种方法，即利用三角化简及三角函数的性质和图象求解。

变式2：在锐角[△ABC]中，已知[∠A=π3]，[b=2]，求周长的取值范围。

分析：该变式旨在让学生灵活掌握正弦定理在转化中的应用。

变式3：在锐角[△ABC]中，已知[∠A=π3]，[a=2]，求面积的取值范围。

分析：该变式旨在让学生掌握三角化简过程中遇到进阶计算难度时知道该保持怎样的心态，以及提高学生的计算能力。

变式4：在锐角[△ABC]中，已知[∠A=π3]，[a=2]，求[cb]的取值范围。

分析：该变式旨在让学生在整理目标和化简的过程中遇到非常规三角化简时掌握化弦为切的技巧，并利用正切函数图象求解目标的取值范围。

［例7］[a]，[b]都是正数，[a+2b=4]，则[ab]的最大值是                      。

分析：该例题主要考查基本不等式的应用，即和定积有最小值。

变式1：[a]，[b]都是正数，[a+2b=ab]，则[ab]的最小值是                      。

分析：该变式较例题稍难，因它不仅需要运用和定积求最小值，还要求根据条件向目标方向化简。由已知条件及基本不等式，可得[ab=a+2b≥22ab]，进而ab的最小值通过解关于[ab]的二次不等式求得。

变式2：[a]，[b]都是正数，[a+2b=ab]，则[a+2b]的最小值是                      。

分析：该变式引导学生观察目标，选用和定积最大的基本不等式[a+2b=ab=12·a·（2b）≤12·a+2b22]，并通过解不等式求得。教师可引导学生思考其他方法，如先化简已知条件为[1b+2a=1]，再运用“巧用1”的技巧求解。

变式3：[a]，[b]都是正数，[a+2b=ab]，则[a+3b]的最小值是                      。

分析：该变式旨在让学生体会到变式2中第一种方法的不便，从而选择第二种方法。

变式4：[a]，[b]都是正数，[a+2b+ab=8]，则[a+2b]的最小值是                      。

变式5：[a]，[b]都是正数，[a+2b+ab=8]，则，[ab]的最大值是                      。

分析：变式4和变式5旨在巩固变式1和变式2的第一种方法，但是运算量更大，因为需要解二次不等式。如变式4中[a+2b+ab=8≤a+2b+12·a+2b22]，将[a+2b]作为整体，进行因式分解后解二次不等式求得。变式5方法相同，即[a+2b+ab=8≥22ab+ab]，把[ab]当作整体，进行因式分解后解二次不等式求得。

变式6：[a]，[b]都是正数，[6+1a+9b=a+b]，则[a+b]的最小值是                      。

分析：该变式同时变换了条件和目标，需类比“巧用1”的方法，对目标进行平方处理，即[（a+b）2=（a+b）（a+b）=（a+b）6+1a+9b]，然后展开括号，利用基本不等式求得。

以上例题经过一系列条件和目标的变式，由易到难，层层递进，旨在拓宽学生思维，使其理解同一背景下的题目万变不离其宗的数学思想。此过程让学生体会到知识点从分块到整合的奇妙变化，既能提高学生的学习兴趣，又能培养学生的整体思维。

三、变式教学在数学课堂中应用应注意的问题

在数学教学中，教师应恰当把握变式教学的度，因材施教。若过度变式，会加重学生的心理负担和学习压力，引发逆反心理和厌学情绪。教师应由易到难，层层递进地进行变式，避免一步到位，以免学生产生挫败感和畏难心理，从而降低学生的学习效率。数学变式教学应基于教材，有目的、突出重点地进行。在教学过程中，教师需根据实际情况，针对不同层次的学生设计不同的变式教学内容。

综上可知，在数学课堂中，变式教学能有效解决学生对概念理解不深的问题，及通过不同表述和解释，促进学生深入理解数学概念，掌握知识。它不仅能帮助学生从多维度理解公式和结论，探索多种求解方法，还能激发学生的数学思维，提高他们解决问题的能力，并让他们发现数学中的规律和美感，从而更加喜欢数学，提高对数学的兴趣。

［   参   考   文   献   ］

[1]  罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.

[2]  牛胜玉.高中数学万能解题模板[M].沈阳：辽宁教育出版社，2014.

[3]  蔡小雄.更高更妙的高中数学：一题多解与一题多变：第二版[M].杭州：浙江大学出版社，2018.

（责任编辑    黄春香）