2024湖北高考第10题的多解、拓展与教学启示

摘   要：以2024年湖北高考物理第10题为例，通过对试题的分析，从动量与能量观念、图像法、柯尼希定理、质心运动定理等多种解法出发，评析解法，研究高考，并对试题进行溯源式拓展，探讨其中的物理教育价值，尝试建立处理此类模型的方法体系，以期提升学生基于高观点理念下的中学物理问题的解决能力。

关键词：滑块-木板模型；一题多解；溯源拓展；高观点

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）11-0041-5

2024年湖北省高考物理第10题是力学综合题。试题以滑块-木板模型为情境载体，通过对模型中典型的极值问题进行命题。题目着重考查学生的运动与相互作用观念、守恒观念，考查其推理演绎等科学思维，运用数学知识处理物理问题的关键能力。试题综合度高，难度较大。从不同思考角度分析试题有多种解法，有很好的区分度。本文从不同视角出发进行分析，如运用动量与能量观念，运用图像法定量分析，同时考虑柯尼希定理、质心运动定理等多种思维角度处理此题，尤其是基于高观点理念下的中学物理问题解决方法，能有效提升学生的多种学科素养，同时对试题进行溯源式拓展，尝试建立处理此类模型的方法体系。

1    原题呈现

（2024年湖北省高考物理第10题） 如图1所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L的木块，质量为m的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f与射入初速度大小v0成正比，即f=kv0（k为已知常数）。改变子弹的初速度大小v0，若木块获得的速度最大，则（      ）

A.子弹的初速度大小为

B.子弹在木块中运动的时间为

C.木块和子弹损失的总动能为

D.木块在加速过程中运动的距离为

2    试题多解探讨

2.1    解法1：基本方法——基于动量和能量的观念

解法展示：子弹和木块相互作用过程中系统动量守恒。设子弹穿出木块后，子弹和木块的速度分别为v1、v2，则有mv0=mv1+Mv2。根据能量守恒定律，则有-fL=。

根据题目条件f=kv0，联立上式可得v2=，绘制图像如图2所示，根据图像可知v2随v0单调递减。在定义域内，当v0=2（+L=2，木块的速度最大，所以A选项正确。则子弹穿过木块时木块的速度为v2=。

由运动学公式v2=a2t，可得t=，故B选项错误。由能量守恒可得子弹和木块损失的能量转化为系统摩擦生热，即ΔE=Q=fL=，故C选项错误。木块加速过程运动的距离为x2=t=，故D选项正确。故本题正确选项为A、D。

解法评析：本解法采用动量守恒定律与能量守恒定律，定量解出木块速度的表达式。然后，通过函数图像分析方法求出木块速度最大值对应的子弹初速度的初始条件，得出A选项。进一步推理演绎，判断另外三个选项。本解法属于解决滑块-木板模型的常规解法，运用运动与相互作用观念、守恒观念，通过科学推理、数学函数分析得出正确答案。但是，此方法运算量很大，花费时间长，不是考场上的最优解法。

2.2    解法2：物理临界法

解法展示：对子弹和木块系统，在相互作用过程中动量守恒，假设子弹未穿出木块，则有mv0=（M+m）v，木块的速度为：v=。设子弹相对木块移动的距离为d，根据能量守恒定律，子弹在木块中运动过程中产生的内能Q==fd。根据题目条件f=kv0，综合推理可得=kv0d，数学化简得出v0=kd。据此容易推出，d越大，v0越大，当d=L时，v0=达到最大，此时木块速度v=最大，故A选项正确。以此为切入点，推理得出本题正确选项为A、D。

解法评析：此解法运用动量守恒定律建立方程，分析得出当二者共速时木块速度最大。再根据能量守恒定律建立子弹在木块中移动的距离d和子弹初速度的关联。代入题给信息（f=kv0），经数学处理得出，当d=L时，若子弹刚要穿出木块，恰好达到共速，从而确定A选项正确。此种方法运用物理临界条件处理问题寻找极值，简化了数学运算过程，提高了做题速度。此种方法是在假设子弹没有射出木块的前提下推导的，事实上通过计算也可以得出当子弹穿过木块时该结论仍然成立。

2.3    解法3：图像法

解法展示：分情境讨论。

情境1：若子弹没有穿出木块，设子弹在木块中运动的距离为d，子弹和木块的v-t图像如图3所示，由图像可知d=。子弹和木块组成的系统动量守恒，得mv0=（M+m）v。以木块为研究对象，根据牛顿运动定律f=kv0=Ma。木块做匀变速直线运动，经时间t0二者达到共速，v=at0。综合上述各式得d=，v=。分析可知，当d越大，v0越大，v越大。所以，当d=L时，木块速度最大，此时v0=，故A选项正确，问题得以突破。

情境2：若子弹可以从木块中射出，子弹和木块的v-t图像如图4所示，根据v-t图像可得L=t0。以木块为研究对象，根据牛顿运动定律f=kv0=Ma2，木块做匀变速直线运动，经时间t0，木块的速度为v2=a2t0。以子弹为研究对象，根据牛顿运动定律f=kv0=ma1，子弹做匀变速直线运动，经时间t0子弹的速度为v1=v0-a1t0，综合以上各式，可得（M+m）v-2mvv+=0。则v=，分析可得，当v=2（+）L=2时，木块的速度最大，故A选项正确，问题得以突破。

解法评析：图像法是解决滑块-木板模型的常用方法。图像法相比代数推导更直观，同时图像能够展示滑块-木板模型中多物体的相对运动过程，更容易找到物体间位移与速度的关系，判断临界条件，比解法2更科学，而且有化繁为简、直观可视的效果。

2.4    解法4：柯尼希定理

解题依据的论证建模：质点系的动能等于质心的动能加上质点系相对质心坐标系的动能，称为柯尼希定理［１］。对子弹和木块系统，外力矢量和为零，质心平动动能不变。在内力做功下质点系动能增量由柯尼希定理分析易得，即等于相对动能的增量。

解法展示：对子弹和木块系统在相互作用过程中动量守恒，设子弹和木块的速度分别为v1、v2，则有mv0=mv1+Mv2。根据柯尼希定理，系统动能变化量ΔEkr=（v-v）2-v=

-kv0d，然后分情境讨论。

情境1：子弹未穿出木块，即d≤L，则v1=v2，可得v=，v=kvd。

分析可知：当d=L时，木块速度最大，此时v0=。

情境2：若子弹穿出木块ΔEkr=（v-v）2-v=（-v2）2-

v=-kv0L

化简后得v=

得出的结论与方法1一致。故A选项正确，问题突破。

解法评析：柯尼希定理是理论力学中的一个重要定理，通常用于解决多物体的相对运动问题，尤其是两体问题。利用柯尼希定理，能够很快地找到木块速度的表达式，再利用函数分析求出对应的极值，属于基于高观点处理中学物理问题的方法。物理学意义上的高观点指的是一切物理观念、科学思维、现代教育学理论、认知心理学知识和物理教育学的基本理论。“高观点”下的物理问题，是指与大学物理甚至理论物理相联系的高中物理问题或者说含有大学物理背景或思想的中学物理问题［２］。这种处理方式，可以开拓学生视野，提升学习的上位意识，让学生站在更好的角度去看待中学物理问题。

2.5    解法5： 质心运动定理

解题依据的论证建模：如果一个质点组的质心原来是运动的，那么在无外力作用的条件下，它的质心将以原来的速度做匀速直线运动［３］，此为质心运动定理的推论。

解法展示：质心速度为vc=，系统外力为0，根据质心运动定理的推论，整个过程中质心速度vc不变，则子弹的速度v1越小，木块速度v2就越大。由于子弹和木块的相互作用，子弹做减速运动，木块做加速运动，当二者速度相等时，木块的速度最大，即木块的最大速度v2=。再根据能量守恒定律，有Q=v=fd。所以当d=L时，木块速度最大，此时v0=，故A选项正确，问题得以突破。

解法评析：利用质心运动定理，能够迅速找到木块速度的最大值对应的临界条件，可以在一个较短时间内解出答案，体现出基于高观点处理中学物理问题的方法的强大优势。

3    试题溯源式拓展

３．１    拓展试题［3］呈现

质量为m1的小垫圈放在质量为m2的长板左端，板上涂有润滑油（图5）。垫圈与板之间的摩擦是黏性的（作用在垫圈上的摩擦力f=-αv，式中v为垫圈相对板的速度）。系统位于光滑的水平面上，使垫圈以初速度v0向右运动。经过足够长的时间，垫圈和板将达到多大的速度？求垫圈离开板左端的距离Ｌ。

３．２    试题解析［3］

设垫圈和板的速度分别为v1和v2，那么u=v1-v2表示它们的相对速度，求。根据牛顿第二定律，m1=-α（v1-v2），m2=+α（v1-v2）。由此得到=-α（+）u=-，式中=，=（+）。恒量τ具有时间量纲，μ具有质量量纲。由此可见，相对速度u的变化规律，如同质量为μ的质点在阻力为αu的黏性介质中运动速度的变化规律。该质点的速度随着时间减慢，稳定速度值u将等于０，即垫圈和板的速度变为相同。根据动量守恒定律：m1v0=（m1+m2）v。可得v=。用ｒ表示连接垫圈和板左端的矢量，因为u=，故Δr=uΔt=-τΔu。当速度u从v0变化到０时（Δu=-v0），垫圈与板左端的距离变化Δr=v0τ。由此可见，在稳定条件下，垫圈和板将以速度v=运动，垫圈远离板左端的距离为L=v0τ=v0=·，试题得解。

３．3    拓展评析

本题运动情境和湖北高考物理第１０题高度相似，尤其是垫圈与板之间摩擦的特性以及问题的设计（都聚焦于临界极值），故为同源试题，此为溯源。本题垫圈与板之间摩擦的特性中指出u是相对速度，较之更真实科学。解答上使用到了微分方程，是基于高观点的理念，是为拓展。本题也可以通过高考试题解法求解。

４    教学启示

滑块-木板模型是中学物理中的常见模型，是很好的教学问题情境。其从必修一的摩擦力教学中开始出现，经历牛顿第二定律、机械能守恒定律单元的功能原理，再到动量守恒定律单元，甚至再到电场、磁场中复合叠加场问题。滑块-木板模型问题是高考中的常客，很多时候以选择题、计算题的压轴身份出现。这启示我们重视这一模型，以历届高考真题、教材、生产生活中的原型为情境，建立滑块－木板模型问题情境体系，培养学生的建模能力、多题归一的概括能力和总结习惯以及建立体系（知识结构体系、模型情境体系）的高阶思维能力。

知识结构体系、模型情境体系中必然有思维方法体系，我们可以尝试建立方法体系。首先，涉及到的规律主要有：动力学规律——两物体的加速度大小与质量成反比，方向相反，运动学规律——是两个做匀变速运动物体的追及问题或是一个相对运动问题，动量规律——系统的总动量守恒，能量规律——单体动能定理，系统功能原理还可用图像描述。在大学专业物理中涉及到的主要规律有：质点系牛顿第二定律、质点系运动定理、质点系动能定理等，建构方法体系如图6所示。

中学物理阶段，滑动摩擦因数当定值处理。湖北高考物理第１０题和溯源拓展试题中滑动摩擦因数均为变量，由恒到变，由单质点、两质点到多质点系是中学物理到大学物理的过渡。其实，我们将大学物理与高中物理衔接紧密的部分原理、定理，以中学生可接受的方式渗透给学生，拓展视野，培养高观点理念，以高阶思维方式和强化问题意识、进阶意识，期望学生能获得高位视角、核心思维和关键能力。这也未尝不是一件很有意义的教学探索。

参考文献：

［１］贾书惠．理论力学教程［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００４：１８０－１８１．

［２］杨海青，李承煜．２０２２年高考理综甲卷物理２５题溯源与高观点研究［Ｊ］．中学物理教学参考，２０２２，51（9）：５３－５７．

［３］刘海生，汪楠．全国高中物理竞赛新培训教程［Ｍ］．杭州：浙江大学出版社，２０１８：８２．

（栏目编辑    陈  洁）