一种确定小球临界状态的方法

摘   要：对一种轻杆关联问题的合理性进行了探讨，并在此基础上提出了一种确定小球临界状态的方法。使用该方法对类似的问题进行分析，验证了该方法的适用性，指出了试题在设置问题时应适用所有的物理规律，确保科学合理。

关键词：临界状态；速度极值；加速度

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）11-0063-3

物体的运动状态由初始条件和受力情况决定，也就是说，在试题命制时只要给定初始条件和情境，物体的运动情况就应该是明确的，不应随意设置，否则就有可能出现科学性问题。出现科学性问题的主要原因往往是，只注意到初始过程，而忽视了运动中可能出现的变化。这种变化的转折点就是“临界状态”。对临界问题的关注能够让我们更准确地认识物体的运动全景，下面通过具体的示例介绍一种临界状态的确定方法。

１    问题的提出

在轻杆关联的问题中，有一类经典的试题，该试题通过机械能守恒和两小球的速度关系，研究小球的速度变化问题，试题如下。

如图１所示，轻杆长为Ｌ，轻杆两端固定质量均为ｍ的两个小球Ａ和Ｂ，先将杆竖直靠放在竖直墙上，轻碰下端小球Ｂ，使小球Ｂ在水平地面上由静止向右运动，当杆与水平面成θ=30°角时，两小球Ａ、Ｂ的速度vA和vB的大小分别是多少？（两球半径和一切摩擦均忽略不计，Ａ球始终贴着墙，Ｂ球始终贴着地面）

分析 Ａ和Ｂ两球沿杆方向的速度分量相同，如图２所示。

vAsin30°=vBcos30°

由系统机械能守恒，有

mgL（1-sin30°）=mv+mv

联立解得

vA=

vB=

该试题特别强调“Ａ球始终贴着墙”，运动过程中Ａ球能不能“始终贴着墙”呢？以上求解是否合理呢？我们先定性、再定量分析这个问题，最后找到处理此类问题的一种方法。

２    定性分析

利用动量定理作定性判断，把Ａ、Ｂ球和杆取为一个系统。在运动过程中，墙面对这个系统有水平向右的作用力。如果Ａ球始终贴着墙面，那么Ａ球落地时系统没有水平方向的速度，也没有水平方向的动量。但是，墙面对系统有向右的弹力，弹力产生向右的冲量。这显然与动量定理是矛盾的。可见，Ａ球始终贴着墙面是不可能的，它应该在某一位置脱离墙面。那么，Ａ球在何处脱离墙面呢？

３    定量计算

为了找到Ａ球脱离墙面的具体位置，由系统机械能守恒求得Ｂ球的速度，再求Ｂ球的加速度，得到墙面对Ａ球的弹力Ｎ，如图３所示。

vAcosθ=vBsinθ

mgL（1-cosθ）=mv+mv

联立得vB=

vB对时间求导可得Ｂ球的加速度

aB=

由牛顿第二定律得N=maB，则

N=

研究Ｂ球，设杆的弹力为Ｔ，有Tsinθ=maB，则

T=

可见，cosθ=时，aB=0，N=0，T=0。这时θ=48.2°，杆与水平面成41.8°角，Ｂ球的加速度等于０，速度最大。Ｎ＝０，则Ａ球脱离墙面。不可能出现Ａ球始终贴着墙运动，直到杆与水平面成30°角。因此，该试题的解答是错误的［１］。

接下来，求解Ａ球脱离墙面后落地瞬间的速度，设Ａ球落地瞬间水平速度为ｖｘ，竖直速度为ｖｙ。

将cosθ=代入ｖＢ，可得脱离时Ｂ球速度v=，杆对Ｂ球的弹力从推力变为拉力，Ｂ球开始减速，Ａ球在水平方向开始加速，直到最后二者共速。

系统水平方向动量守恒，有

mvBmax=2mvx

系统机械能守恒，有

mgL=mv+mv+mv

解得vx=

vy=

４    实例分析

下面我们使用该方法对类似问题进行分析，确定小球的临界状态。

例１  如图４所示，质量为ｍ的小球从静止开始沿固定球面下滑，球面半径为Ｒ，不计摩擦，小球可视为质点。分析小球所受弹力变化规律及小球的运动特征。

方法一  设球面对小球的弹力为Ｎ，由动能定理和牛顿第二定律得

mgR（1-cosθ）=mv2

mgcosθ-N=

联立解得N=mg（3cosθ-2）

可见，当cosθ=时，N=0。小球在该位置脱离球面做斜抛运动。

方法二 利用能量守恒得到小球速度，对时间求导得到小球的水平加速度，由牛顿第二定律求得弹力，进而分析临界状态。

由mgR（1-cosθ）=mv2，得

v=

vx=vcosθ=

对时间求导ax=

在水平方向Nsinθ=max，v=ωR，则

N==mg（3cosθ-2）

即cosθ=，N=0。小球在该位置脱离球面做斜抛运动。

例２  如图５所示，轻杆长为Ｌ，轻杆两端固定质量均为ｍ的两个小球Ａ和Ｂ，先将杆竖直靠放在竖直墙上，轻碰上端小球Ａ，使小球Ａ在竖直面内由静止向右下运动，则小球Ａ触地瞬间两小球Ａ、Ｂ速度vA和vB的大小分别是多少？两球大小和一切摩擦均忽略不计。

解析  设轻杆转过θ时Ａ球速度为v，由机械能守恒定律，有

mgL（1-cosθ）=mv2

v=

vx=vcosθ=

对时间求导得到Ａ球水平方向的加速度

ax=

在水平方向Nsinθ=max，v=ωL，则

N==mg（3cosθ-2）

即cosθ=时，Ｎ＝０，杆对Ａ球弹力为０，对B球的弹力变为拉力，在该位置Ｂ球脱离墙面。

接下来，求解落地瞬间的速度，设Ａ球落地瞬间水平速度为v'x，竖直速度为v'y。

将cosθ=代入ｖｘ，可得Ａ球水平最大速度vmax=

系统水平方向动量守恒，有

mvmax=2mv'x

系统机械能守恒，有

mgL= mv+mv+mv

解得

v'=

v'=

故得到

v==

v=v'=

５    结  论

一个物体的运动情况受物体初始条件和受力情况影响。在涉及到杆、绳或接触面的弹力时，力的大小往往随时间变化，可能出现临界状态。借助能量守恒定律，求出物体的速度，再求出加速度，利用牛顿第二定律可以求出弹力的表达式，找到弹力变为０的位置。这一位置就是物体脱离接触面的临界点或者从加速到减速的临界点。

应用牛顿运动定律、机械能守恒定律、动量守恒定律、动量定理，借助数学工具得到物理量的变化规律，分析可能出现的临界状态，才能明确物体的运动过程［２］。随意设定物体如何运动，随意规定物体运动轨迹，是不严谨的。

参考文献：

［１］魏国强，鲁湘，侯建敏．殊途同归求极值，数理双璧相媲美［Ｊ］．物理教学，２０１７，39（１２）：５０－５３．

［２］董祥卿，于才奎．用数学物理方法求极值［Ｊ］．物理教学探讨，２００６，24（17）：３９．

（栏目编辑    蒋小平）