地球隧道中的42分钟

摘   要：简谐运动是机械运动中的一种最简单的运动，也是高中物理教学的重要知识。利用简谐运动基本理论，讨论了假想的地球隧道中石头的运动情况及运动时间。

关键词：简谐运动；万有引力；周期

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2023）3-0063-2

如果沿着地球直径或其他地方打一条隧道，从隧道的一端释放一块石头，石头掉下去要经过多长时间才能到达另一端？如果忽略阻力、温度变化、地球自转等影响，假设地球质量分布均匀，答案是42分钟。关于为什么是42分钟，下面运用简谐运动规律来分析。

1    简谐运动

如图1所示，小球套在光滑的杆上，弹簧的质量远小于小球的质量，这样的系统称为弹簧振子。如果把小球拉向一方后放手，小球在平衡位置附近做往复运动，这种运动称为简谐运动。简谐运动中质点的位移与时间的关系遵从正弦（余弦）函数的规律，即x=Asin（ωt+φ0）。简谐运动同时也满足F=-kx或F=-mω2x。

由于简谐运动是变加速运动，讨论起来极不方便。为此，可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐运动。以平衡位置O为圆心，以振幅A为半径作圆，这种圆就称为参考圆。如图2所示，设有一质点在参考圆上以角速度ω沿逆时针方向做匀速圆周运动，它在开始时与O的连线跟x轴夹角为φ0，那么在时刻t，参考圆上的质点与O的连线跟x轴的夹角就为φ=ωt+φ0，它在x轴上的投影点的坐标x=Acos（ωt+φ0）。

3    近地卫星

因此，石头在隧道中的运行时间为近地卫星周期的一半，那就是42分钟。

4    其他隧道

如果在地球其他位置打通这样的隧道（图6），忽略空气阻力、温度变化、地球自转等因素，认为地球质量分布均匀、隧道是光滑的，在隧道的一端放下一个物体，物体从这端到达另一端的时间是多少呢？答案还是42分钟。这个结果也可用简谐运动规律来解释。

由此可知，物体在x轴上的运动也是一个简谐运动，而且它的圆频率和直径隧道的圆频率是一样的。因而，物体从一端到另一端的时间也是42分钟。

（栏目编辑    蒋小平）

收稿日期：2022-10-30

作者简介：欧阳志辉（1980-），男，中学高级教师，主要从事高中物理教学工作。