探究演绎逻辑之旅

[摘  要] 研究者通过“数字藏身何处”的教学，旨在培养学生的逻辑推理能力，让学生逐步掌握单条件演绎推理、关联推理以及复合推理等。

[关键词] 推理意识;跨学科学习;九宫格活动

推理意识是学生在生活中对逻辑推理过程的初步感悟。在小学低年级阶段，学生已具备理解基本演绎推理流程的能力，并能够运用推理技巧进行思考和使用数学语言进行表达。现行教材在“数学广角”单元中只提供了一节关于演绎推理的基础课程，后续内容的拓展并不充分。鉴于此，为了提升学生演绎推理意识，笔者以九宫格数字填充游戏为核心活动设计了一节拓展课程——“数字藏身何处”，通过富有吸引力的游戏形式引导学生参与演绎推理的过程，以此促进学生推理意识的发展。

一、教学过程

1. 规则认识，共识构建

师：孩子们，如图1，想象一下，这个九宫格是一个梦幻城堡，每个格子都代表一个舒适的新家。现在，我们的三个小勇士——小明、小强和小红已经找到各自新家的位置。小明在上层的第二个格子，小强在中层的第一个格子，小红呢？

生（齐声答）：她在下层的第三个格子！

师：没错，小红就在那里找到自己的新家。现在，让我们来帮助数字宝宝找到属于它们的新家吧。（出示课题：数字藏身何处）你们看，如图2，数字9和数字3正在寻找它们的新家位置。它们只能住在有星星标记的地方，不能靠近那些有叉叉标记的禁地哦。

生1：数字9一定会在中层的第二个格子里！

师：哦？你这么确定吗？

生1：因为那里是唯一有星星的格子，而且没有叉叉！

老师：你的眼睛真尖！那数字3呢？

生2：数字3有很多选择，除了叉叉标记的地方，它可以住在上层的第三个格子、中层的第一个格子，或者下层的第一个格子里。

师：太棒了！你的思维真是既开阔又灵活。当我们表达想法时，像生2这样来连接思路，可以让我们的表达更加清晰有力。现在，请仔细思考，如果只告诉你们数字4在它所在的那一行的最前面，你们觉得数字4可能在哪里呢？

生3：我觉得数字4可能在上层的第一个格子里！

师：有这种可能性哦！那你为什么不说“一定”呢？

生4：因为九宫格有三层，所以数字4可能出现在上层的第一个格子、中层的第一个格子或下层的第一个格子里（如图3）。

学生小结：在解决数学问题时，我们通常需要依据给定的条件来推断未知数的位置。某些条件可以明确指出未知数的确切位置，而其他条件则只能限定未知数可能出现的区域。在后者的情况下，通过细致的分析和逻辑推理，我们能够识别并列举出所有可能的解决方案。这对于培养学生的批判性思维和解决问题的能力至关重要。

师：非常好！你们的分析非常细致。有时候，一些信息虽然不能直接告诉我们确切的答案，但能帮助我们缩小搜索范围。最后，如果我们有两个数字5和9，它们可以选择的位置各有两个，你们能帮它们找到新家吗？

生5：如果数字5选择了上层的第二个格子，那么数字9就只能住在上层的第三个格子里。反之亦然！

师：非常棒！你的逻辑思维能力非常强。当我们面对两个选择时，只要确定了其中一个的位置，另一个也就迎刃而解了。今天的探险就到这里，希望你们在未来的旅程中也能保持这种勇敢和智慧，不断探索未知的世界。

学生小结：在数学逻辑中，若存在一组条件，规定两个不同的元素必须分别位于两个指定的位置之一，则一旦确定其中一个元素的具体位置，另一个元素的位置也将自动确定。这种逻辑关系体现了排列组合原理中的互斥性原则，即在给定的约束下，元素间的位置分配是唯一的。因此，在处理此类问题时，优先确定任一元素的位置，即可推导另一元素的位置，确保整个系统的一致性和完整性。

设计意图：确立共识对于明确推理的前提条件至关重要。在此环节，教师旨在与学生建立共识：一是关于位置描述的共识，采用“上、中、下、1、2、3”等术语来指代横向序列的位置，并统一采取先行后列的方式描述数字所在格子的具体位置，这是后续有效沟通的基础;二是关于表达思考过程的共识，激励学生运用“因为”“所以”“可能”“一定”等词汇来阐述思考过程，这不仅有助于培养学生的表达能力，也有助于提升他们思维的严密性和严谨性;三是关于基本逻辑的共识，符号“★”用于指示数字可能所在的确切位置，而“×”则用于排除数字在特定格子中的存在可能性。根据所提供的信息，有时可以直接得出结论，有时则可能得到多种潜在的答案;当两个数字可选择A或B两个位置时，一个数字的位置被确定，另一个数字的位置也随之确定。

2. 演绎逻辑，体验思维之旅

（1）初试锋芒

①提出挑战，激励学生独立解题

师：在这个九宫格的游戏中，我们要巧妙地安排数字1到9，每个数字恰好占用一个格子，且不允许任何数字重复出现。同时，我们还要遵守两项特别的规则：带有“★”标记的格子是数字的理想家园，而任何带有“×”标记的格子都是数字的禁止之地，数字绝不能踏入这些被标记的区域（如图4）。

②促进对话，强化学生语言表达

师：小朋友们，你们观察到了吗？这些星星好像在给我们引路。谁愿意分享一下，你是如何根据这些星星的光芒来找到数字的家？

生6（兴奋）：我注意到了！这些带星标的格子就像是数字的安全港，它们告诉我2，7，4，6，8，5，3这几个数字应该去哪里。我就像是一个侦探，根据线索，把它们一个个放到正确的位置上。我发现，剩下的1和9就只有一个合适的地方可以去了。特别是1，它不能躲到下1的位置，所以我就把它放在了上3的家里。这样一来，9就乖乖地跑到下1的位置上。

设计意图：本设计旨在通过多幅图表的呈现，考查学生对先前共识的理解。尽管看似信息量庞大，但实际上，通过识别“★”标记的关键位置，学生可以迅速锁定特定数字的放置点。同时，“×”标记的排除法则进一步缩小了数字可能的范围。此过程不仅锻炼了学生快速识别信息和做出决策的能力，还增强了他们解决问题的自信心。此外，在面对仅有两个可能位置的情形时，学生能够深刻体会排除法的逻辑推理——即一个选项被排除，则另一选项为必然之选。这一经验的积累对于学生未来在更复杂问题情境中发展推理意识具有重要意义。

（2）提升难度

①提出挑战，激励学生独立解题

师：一个充满神秘色彩的九宫格迷宫，每个格子都等待着数字的到来。你的任务是将1到9的数字巧妙地安置进去，每个数字只能占据一个格子，而且不能和其他数字共享空间。现在，让我们一起揭开这个迷宫的秘密吧！九宫格中，有些格子被闪闪发光的“★”标记所点缀，这些是数字的首选之地，它们渴望在这些闪耀的位置上安家落户。然而，有些格子却被“×”标记占据，那些地方是数字不能涉足的禁地。现在，让我们开始这场数字的冒险，探索九宫格的奥秘，寻找每一个数字的最佳归宿（如图5）。

②促进对话，强化学生语言表达

师（微笑着鼓励）：找到答案的同学，先别急着高兴，咱们得做个小检验，确保你的答案牢不可破。接下来，想想怎么跟大家分享你那精彩绝伦的解题思路。

生7（兴奋）：老师，我发现了一个小窍门。你看这9个数字，它们周围的空位就像是它们的领地，领地被列为禁地的有的多、有的少。我就像是个精明的猎人，瞄准了那些禁地最多的数字先下手。比如数字5，它已经被排除了8个领地，只剩下中1那个位置是它的安全港。比如数字2，中1已经是5的地盘了，所以2只能乖乖地待在上3那个角落。这样一来，答案就像拼图一样，一块块拼出来了。

生8（跃跃欲试）：这题初看挺吓人，但其实它就像是等待我们去征服的堡垒。关键是要找到那个最薄弱的点，也就是只有一个位置能容纳的数字。一旦找到这个突破口，其他的数字就像是多米诺骨牌一样，一个接一个地就都有了自己的位置。真是太有趣了！

设计意图：在本习题中，学生需将1至9的数字填入九宫格中，每个数字仅限使用一次。解题过程涉及从单一条件的推理过渡到关联条件的推理。学生要认识到，只有在一个数字存在唯一可能性时，才能直接确定其位置。尽管某些数字初看似乎无确定位置，但随着解题进程中某一数字位置的确认，其余数字的潜在位置将随之减少，从而提高解题效率。此过程强调排除法的重要性，即在逻辑推理中，每确定一个元素的确切位置，就相当于为其他元素排除了一种或多种可能性。

（3）巧妙运用

师（呈现问题）：想象一下，你面前有一个精美的九宫格棋盘，棋盘上的格子等待着被赋予生命，即被填上1到9的数字。但是，这里有一些规则需要遵守：每个数字只能出现在棋盘上一次，绝不能重复;有些格子上闪耀着“★”，这些是你可以放置数字的地方;而有些格子上则有一个“×”，那些地方是绝对不能放数字的。现在，你需要运用智慧和逻辑思维，把这些数字巧妙地安排在合适的位置上。准备好了吗？让我们开始这个智力挑战（如图6）。

生9（自信）：我找到了数字4的藏身之处。你看图三和图五，它们都透露了4的踪迹，而且两幅图中的三颗星星里，都有一颗恰好位于中间的第二格。这释放出数字4所在位置的强烈信号。

师（微笑）：那么，为什么你没有选择数字5、8、2或7呢？它们也在这两幅图中出现过呀。

生9：那些数字只是在其中一幅图中露面，它们并没有像4那样，在两幅图中都占据同一个星星的位置。只有数字4，在两个不同的场景里，都稳稳地站在了那个共同的星星上，所以那里就是它的家。

师（称赞）：非常好，观察细致，推理清晰。那么，如果我们用同样的方法去寻找其他数字的踪迹，会发现什么呢？快来用你桌面上的小工具，摆一摆，找找看，还有哪些数字的位置能被我们准确地锁定？

学生小结：在面对多幅图中数字位置不明确的情形时应采取一种综合分析的策略。首先，通过比较和整合各幅图中数字的分布模式，我们可以识别出一些共同特征或规律;然后，应用排除法去除那些仅在单一图中出现的数字，进一步缩小可能性范围;最后，采用重叠法对比各图中的共同点，特别是那些在多幅图中重合的数字位置，以确定最终的数字布局。这种方法不仅提高了解题的准确性，而且有助于培养学生的推理意识与数据意识。

设计意图：本题目旨在将学生从单一条件的关联推理引导至复杂的多条件复合推理，这对提升学生思维能力具有显著作用。在实际教学过程中，学生对于此类内容展现出极高的兴趣。他们在独立探索与小组协作的互动中逐渐领悟到：当单个条件无法直接导出结论时，可通过综合多个条件进行推理判断，进而准确锁定数字的位置。教师应指导学生采用“根据满足条件A又满足条件B可以确定答案”的逻辑表述方式，以深化对推理严谨性的理解。

二、教学思考

在数学教学中，培养学生推理意识至关重要，因为它与数学知识的掌握紧密相连。《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调推理意识的重要性，低年级是培养学生科学思维和证据表达习惯的关键时期，因此教师应尽早引入演绎推理，以促进学生逻辑思维的全面发展。

在教学中，教师可以通过单一条件推理、关联推理到复合推理，引导学生先独立尝试，然后在小组合作与交流中学习系统表达推理过程。教师要根据学生的具体情况灵活调整教学进度，确定合适的教学终点。实践证明，低年级学生完全有能力接受演绎推理训练。

基金项目：江苏省中小学教学研究第十五期课题“指向核心素养小学数学项目化学习课堂实践和评价研究”（2023JY15-L214）。

作者简介：张小琪（1980—），本科学历，高级教师，从事小学数学教学与研究工作，泰州市小学数学学科带头人，曾获江苏省微课比赛一等奖以及泰州市小学数学教师基本功比赛一等奖、优质课比赛一等奖等荣誉。