从解构到重构，培养学生推理意识

［摘  要］ 教师要结合学生已有的认知水平构造教学模式，帮助学生理解知识本质和完善认知结构。研究者以“围长方体”的教学为例，分别从“情境创设，激趣启思”“分类解构，厘清思路”“有序重构，发挥想象”三个方面开展教学设计与分析。

［关键词］ 解构；重构；推理法国哲学家雅克·德里达认为“解构”是一种可以应用在各个领域中的思维方法。实践证明，在小学数学教学中教师利用解构为学生知识的重构奠定基础，对于发展学生的数学抽象素养和推理素养具有重要意义。从解构到重构属于一种数学构造方法，体现了人类思维的创造性。

“如何围长方体”是小学高年级的教学内容，这部分内容对培养学生空间观念与推理意识具有重要意义。因此，笔者借助本节课的教学设计与分析，剖析解构与重构过程对培养学生推理意识的价值与意义，从真正意义上发展学生的数学思维，促进小学数学教育高质量发展。

一、创设情境，激趣启思

情境：李大爷准备用四种不同规格的铁皮焊一个无盖的水箱，铁皮的形状有正方形与长方形，规格分别为：长60厘米、宽40厘米的长方形，长50厘米、宽40厘米的长方形，长60厘米、宽50厘米的长方形，边长为40厘米的正方形。聪明的你们能否帮李大爷想想办法，分析怎样选择合适的铁皮呢？请尝试用多种方法解决这个问题。

这是一个开放的情境，有着较强的实操性。学生经过初步思考与尝试，大部分学生能提出一到两种方案，少数学生能提出三到四种方案，个别学生能提出五种方案。

为了发散学生的思维，让学生能在这个情境中获得良好的空间观念与推理意识，教师要求学生以合作交流的方式来探寻情境问题，并在讨论结束后各组分别派一名代表介绍组内方案。

师：在各组交流的过程中，我进行了巡视，发现有的同学能快速发现不同的围法，也有些同学需要花费较多时间才能设计出围无盖水箱的方案。为什么会出现这样的情况呢？同学之间的想法存在什么区别？为了探寻这个问题，现在请各组选派代表分享你们设计的方案，选择与其他组不重复的方案进行展示。

组1：设计一个无盖的正方体水箱最简便，只要选择5块边长为40厘米的正方形铁皮进行焊接即可。

组2：每一个长方体相对面的大小一致，因此可从三类不同的长方形铁皮中各取两张进行拼接，拼完之后去掉最上面的盖子，然后进行焊接，即可形成一个满足要求的长方体水箱。

组3：我们组是先在头脑中构建大概图形，然后对取什么规格的铁皮进行分析。

师：各组的方法都不错，结合以上几种设计方案，说说你们从中感知到什么？受到什么启发？

生1：我发现先想好要围成的长方体形状，然后根据实际需要来挑选铁皮，这样能提高效率。

生2：围长方体的前提就是要明确图形各个面之间存在怎样的关联。

教学分析：学生为什么在遇到实际问题时出现了显著差别呢？通过对学生的思维进行分析，笔者发现原因在于每个学生看待问题的角度不一样、思维不一样，因此在设计方案时出现较大差别。为了帮助学生厘清拼接思路，教师可引导学生从分类解构出发，对知识进行自主重建，以达到深刻理解的目的。

二、分类解构，厘清思路

数学推理意识的发展是建立在学生清晰的逻辑思维基础上，教师将教学内容进行分类解构，犹如将一个完整机械进行拆分，以帮助学生厘清机械的构建原理。数学教学同样如此，教师将一个内容进行分类解构，可帮助学生更好地厘清知识脉络，为知识的重构作铺垫。因此，本节课教师引导学生对无盖长方体进行解构。

师：通过以上的合作交流，相信每个同学脑海中都有了清晰的长方体的形状，这个无形的空间认识可帮助我们快速探寻到选择铁皮的方法。现在请所有同学都闭上眼睛，发挥你们的想象，想一想要围成的水箱的形状是什么样子的？

生3：正方体或长方体都可以。

生4：正方体的长宽高一样长，同时还能借助正方形铁皮来围长方体，围的方法有多种。

师：请具体描述用正方形铁皮来围长方体的方法。

生4：比如选择长方体水箱前后两个面用正方形铁皮围，其余四个面用长方形铁皮围；也可以选择长方体水箱左右两个面用正方形铁皮围，其余四个面用长方形铁皮围。

师：谁来总结一下，具体可以围成哪几种形式的长方体？

生5：总体来说可以围成三类长方体：正方体；一般意义上的长方体，即长宽高不一样；两个面为正方形的长方体。

师：总结得很好，如果设计的是一个正方体，需要用到什么规格的铁皮？

生6：题设条件只提供了一种规格的正方形，因此只能选择边长为40厘米的正方形铁皮。

师：如果设计的是一个一般形状的长方体呢？需要用哪些规格的铁皮？

生7：一般形状的长方体可以用三种不同规格的铁皮来焊接。

师：不错，那么制作一个有两个面为正方形的长方体，该怎么选择铁皮呢？

生8：选择正方形与长方形的铁皮进行焊接。

师：基于棱长的角度来分析，正方体与长方体的棱长分别有哪几种？

生9：正方体由多个正方形构成，每一条棱长都一样，因此它的12条棱长均相等。

生10：一个长方体的棱长存在三种规格，相对面一样，因此可以将12条棱长分成3组，各组4条棱长具有相等的关系。

生11：长方体的棱长最多存在三种情况，那么在选择铁皮进行焊接时，最多只能选择三种不同长宽的铁皮，不可能比三种更多。

师：这是一个很重要的发现，如果应用三种规格的铁皮焊接长方体，是否一定要明确三块铁皮的长与宽的具体值？如果只明确两种规格的铁皮，是否可以焊出长方体？

生12：可以，如果只知道两种规格铁皮的长与宽，那么围成的长方体必然存在两个相对面为正方形的现象。

师：很好！以上各位同学都基于正方体与长方体的特征，发现了该如何选择铁皮。现在请大家充分发挥自己的想象，尝试将围成的图形在草稿纸上画下来。

（学生思考、画图，并在分享与交流中获得三类不同的图形）

教学分析：学生基于想象而来的图形越清晰，那么对该图形特征的掌握就越全面，这样能有效培养学生的空间观念。实践发现，学生脑海中图形形状越丰富，思维就越缜密，也更容易设计出焊接方案。此环节，师生、生生进行积极的互动、猜想与交流，通过分析正方体、长方体与棱的特征得出结论：设计正方体应用一种正方形规格的铁皮即可，其各个面的大小完全一致，棱长也完全一致；设计一般的长方体所用的铁皮规格有两种，一种正方形铁皮加上一种长方形铁皮，正方形所对的棱完全一致；三种不同的长方形铁皮围成的长方体的长宽高完全不一样。

由此，长方体的形状深刻地烙印在学生的脑海中，为发展学生思维的条理性夯实了基础。趁学生兴趣正浓时，教师可以鼓励学生在草稿纸上分别画出不同形状长方体的示意图，直观展示脑海中所想象的内容，以培养学生全面分析问题的习惯。

三、有序重构，发挥想象

师：从上一个教学片段来看，制作长方体主要存在三类情况。为了全面掌握这部分内容，现在我们开展分类探索，首先分析制作一个正方体该怎样从不同规格的铁皮中挑选合适的材料？

生13：正方体的各个面由大小一致的正方形构成，如果想要确定焊接的物品为正方体，就要用大小一致的正方形。因为可供选择的正方形铁皮只有边长为40厘米这一类，因此就用它进行焊接。

师：满足第一类情况的只有一种方法，即选择边长为40厘米的正方形铁皮。那么，要让制作的长方体各个面均为长方形，即构成一般的长方体，该如何选取铁皮呢？

生14：可选择除了正方形以外的三种规格的长方形铁皮各两块，拼搭成长方体之后去掉上面的盖子即可。

师：如何确定这三种规格的铁皮一定能构成一个长方体？

生15：这三类铁皮长宽数据分别为60厘米、50厘米与40厘米，这三个数据恰好能构成一个长方体的长宽高，如将长为60厘米、宽40厘米的长方形作为底面，将长60厘米、宽50厘米的长方形作为前后两个面，那么剩下的一类正好可作为左右两个面。

师：还有其他方法吗？

生16：可以将长60厘米、宽40厘米的长方形作为前后两个面，将60厘米、宽50厘米的长方形作为上下两个面，剩下的长50厘米、宽40厘米的长方形作为长方体的左右两个面。构建完长方体之后，再取下上面的盖子，即可获得无盖的长方体水箱。

师：除此之外还有不同的方法吗？

生17：应该没有了，因为长方形铁皮仅有三种规格，想要每个面均为长方形，则要将三种长方形规格的铁皮都用上。

师：依照这种说法，只能制作出一类无盖长方体，对吗？

生18：我认为不止一类，比如去掉的面不一样，那么所获得的无盖长方体就不一样。将每一种规格的铁皮作为底面，去除与之对应的顶面，可形成不一样的长方体。

师：非常好！现在我们再来观察第三类长方体的制作方法，即让长方体有一组面为正方形，这种情况该如何选择铁皮？

生19：因为有一对面为正方形，首先取两块边长为40厘米的铁皮，然后择取一类长方形铁皮进行拼接。

师：拼接过程中有什么值得注意的？

生19：用来拼接的长方形必然有一条边为40厘米，如此才可以与正方形进行拼接，因此满足条件的只有两类长方形铁皮。

师：能不能理解为符合第三类条件的方法仅有两种，对吗？

生（众）：对。

生20：总之，符合这一类条件的选择方法有四种，因为取不同的面，所获得的无盖长方体不一样。

师：结合以上分类讨论的结论，用已有的铁皮焊接无盖长方体的方法共有1+3+4=8（种）。

师：反思以上制作方法的探寻过程，说说你们的收获。

生21：先以最简单的正方体为出发点，再分析六个面为不同长方形的长方体，最后探讨其中两个面为正方形的长方体。这种循序渐进的分类讨论方法使思路更清晰。

生22：在方法的选择上，要结合图形特征进行分析，以确保所选择的材料具有拼接的可能。

生23：其实大脑对图形的想象也非常重要，缺乏想象则无从选择铁皮。脑海中有了明确的图形，在选择上就方便很多。

生24：去掉同一个长方体的不同面，所获得的结论也不一样，因此在分类讨论时还需严谨、全面，避免遗漏。

教学分析：从学生的反馈情况来看，从解构到重构的教学模式不仅发展了学生的空间观念，还培养了学生的推理意识。因此，教师要引导学生在课堂中进行有序思考与探索，挖掘学生的潜能，培养学生严谨求实的品质。

总之，教师应根据学生的认知发展特点，结合学情与教情创设学生感兴趣的情境，引导学生先自主解构知识，再分门别类地重构知识，以此发展学生的推理意识。