变式中层进 层进中拓展

[摘  要] 变式教学作为一种有效的教学手段，其在数学教学中的价值是不言而喻的. 在教学中，教师应从教学实际出发，围绕教学目标精心挑选题目，有效设计变式题，以此用“变”来加深知识的理解，用“变”揭示问题的本质，用“变”提高学生举一反三的能力，用“变”提高学生的数学综合技能.

[关键词] 变式教学;本质;综合技能

作者简介：周利荣（1996—），本科学历，中学二级教师，从事初中数学教学与研究工作.

在新课标的指引下，数学教学方法和教学手段也在不断改进、创新. 变式教学因其在帮助学生深化知识理解、提高数学综合技能等方面发挥着积极的作用，得到了广泛的应用. 笔者以“全等三角形”的复习课为例，例谈变式教学的有效性，若有不足，请指正.

课题引入

在数学教学中，若想让学生理解知识，掌握数学基本技能，不仅需要教师的教授，还需要学生自己去实践、去感悟、去归纳. 在课题引入阶段，教师应从学生最近发展区出发，精心挑选典型练习题，以此唤醒学生已有的知识和经验，让学生主动参与课堂实践教学，在自主探究中全面且深刻地理解知识. 在“全等三角形”复习课教学中，教师结合教学内容和本班实际学情，设计了如下问题.

例1  如图1所示，已知AC⊥CF，且AC=CF，过A，F两点分别作直线XY的垂线，垂足为D，N.

（1）求证：∠A=∠FCN;

（2）求证：AD=CN，DC=FN;

（3）已知AD=DC，求tan∠FCN的值.

师生活动：教师让学生独立完成解答，然后组织学生交流，让学生谈谈自己的发现，逐步引导学生建构“三垂直模型”.

设计意图  在教学中，从基础问题入手，一方面可以调动大多数学生参与课堂教学活动的积极性，增强学生的学习信心;另一方面可以唤醒学生证明全等三角形的已有知识、经验和方法. 另外，解题后，教师启发学生进行归纳总结，以此引导学生发现和建立“三垂直模型”，为接下来的深入探究打下坚实的基础.

例2 如图2所示，一次函数y= -x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，在第一象限内作Rt△ABC，使得∠CAB=90°，AB=AC，求过B，C两点直线的解析式.

师生活动：例2实际为例1的推广题，教师留足时间让学生独立求解，并引导学生思考两题间的内在联系.

设计意图  将例1中的“三垂直模型”与直角坐标系结合起来，引导学生运用“三垂直模型”解决问题，提炼解决此类问题的通性通法.

例3  如图3所示，已知△ABC的边BC在直线l上，分别以AB，AC为边朝外作正方形ABGH和ACFE，连接FG，点P为FG的中点，过点P作直线l的垂线，垂足为K. 求证：PK=BC.

师生活动：该题难度较大，教师先让学生独立思考，然后启发学生进行图形分离，将复杂图形转化为基本图形，发现“三垂直模型”，以此结合前两题的解题经验解决问题.

设计意图  通过由易入难、由繁入简的转化，引导学生感受数学变式中的不变模型，进一步强化对“三垂直模型”的理解.

人的认知过程是一个循序渐进的过程，因此教师在设计变式问题时，应遵循学生的认知规律培养学生的能力，通过由浅入深、由表及里的探究，让学生逐步认识问题的本质，掌握解决问题的通法，以此提升教学有效性.

课题深入

在数学教学中，利用变式教学可以更好地揭示知识间的内在联系，帮助学生将新知识纳入原有知识体系中，提高学生应用知识解决问题的能力. 在教学中，为了能够让学生更好地理解知识、应用知识，教师应充分发挥其启发者、点拨者的作用，通过创设有效的问题引导学生深入探究.

1. 在变换中发现

问题1：观察图4，它是由图1经过怎样的变换得到的呢？

追问：图5、图6又是由图1经过怎样的变换得到的呢？

师生活动：以上问题不难，教师预留观察时间，然后让基础相对薄弱的学生说一说，通过“说”帮助学生积累丰富的“三垂直模型”的感性素材.

设计意图  通过不同的变换方式让学生感知以上垂直关系是依然存在的，使“三垂直模型”得到进一步的推广. 另外，通过推广让学生从不同角度认识“三垂直模型”，从而为后期“三垂直模型”的应用打下坚实的基础.

2. 在实践中深化

在教学中，教师通过变式训练引导学生去提炼、去感悟，帮助学生深刻理解知识.

例4  如图7所示，在正方形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，连接BE，CF，若BE⊥CF，求证：BE=CF.

例5  如图8所示，在正方形ABCD中，点E，M，F，P是AD，AB，BC，CD边上的点，连接PM，EF，若EF⊥PM，求证：EF=PM.

例6  如图9所示，在△ABC中，BE，AD是高，若∠BAC=75°，∠ACB=60°，求证：△BDH≌△ADC.

师生活动：在教学中，由于时间关系，教师没有让学生一一证明，而是让学生根据自身情况自主选择，然后集中展示学生的证明过程. 证明后，教师启发学生对以上三个问题的证明方法进行归纳总结，让学生寻找蕴含其中的知识和方法，逐步形成解决此类问题的通法，从而提升解题技能.

设计意图  引导学生在变化的图形中感受不变的本质，通过“多题一法”加强对通法的理解，培养学生的数学抽象素养，提高学生的解题能力. 在此过程中，教师尊重个体差异，让学生根据自身情况自由选择题目，这样可以大幅提升学生的参与度，让不同层级的学生都能有所提升.

课题推广

复习课的变式教学中，教师应着眼于全局，有意识地通过变式将相关的知识点联系在一起，帮助学生建构完善的知识体系，提高学生的综合能力.

1. 弱化“线段相等”条件

例7  如图10所示，已知△ABC是直角三角形，其中∠ABC=90°，在BC的延长线上取一点D，过点D作DE⊥BD. 若∠ACE=90°，求证：△CAB∽△ECD.

例8  如图11所示，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（异于B，C），连接AP，过点P作PQ⊥AP交边CD于点Q. 已知BC=4，设BP=x，CQ=y. 求点P在BC边上运动的过程中，y的最大值.

师生活动：教师先让学生独立证明例7，在此基础上，以小组为单位共同探索例8. 例8是一个动点问题，在面对动点问题时，部分基础相对薄弱的学生容易产生畏难情绪，影响学习效果. 基于此，教师鼓励学生合作交流，让学生相互启发、相互帮扶，以此消除学生的畏难情绪，增强学生的解题信心.

设计意图  本环节将已知条件中的线段相等进行弱化，引导学生由全等自然过渡到相似，让学生体会知识、方法的相通性，拓宽学生的视野，提高学生的数学应用能力.

2. 弱化“直角”条件

例9  如图12所示，已知∠B=∠ACE=∠D，AC=CE，求证：△ABC≌△CDE.

例10  如图13所示，已知△ABC和△DEF都是等边三角形，证明：BD=CE.

设计意图  通过弱化“直角”条件，让学生发现之前的全等条件依然存在，实现对基本模型的进一步拓展.

3. 同时弱化“线段相等”和“直角”两个条件

例11  如图14所示，已知B，C，D三点共线，若∠B=∠ACE=∠D，求证：△CAB∽△ECD.

设计意图  同时弱化“线段相等”和“直角”两个条件，从而将全等弱化为相似.

在本环节中，通过对条件的弱化将课题进一步推广，让学生在“变”与“不变”中感受数学的通性通法，体会数学建模的重要性. 同时，通过对数学模型的变化、拓展，可以有效沟通“全等”和“相似”的内在联系，有效激活学生的数学思维，提高学生的数学能力.

教学思考

1. 精心选题

复习课的变式教学中，教师要准确把握考试范围和考试要求，认真分析学生的基本学情，紧扣考试重点题型精心挑选题目，确保例题具有典型性、发展性等特点，以此有效地将相关知识、方法等联系起来，逐步优化学生的知识结构，提高学生综合应用知识解决问题的能力.

在本课教学中，教师从基本图形入手，以基础题为突破口，通过多题一解让学生体会蕴含其中的数学思想方法，建构相同的数学模型. 在此基础上，通过变式深入挖掘题目的内涵和外延，通过由易到难、由单一到复杂的逐层探究，让学生对通性通法获得了更全面、更深刻的理解，真正达到“解一题通一类”的变式训练的目的，提高了变式教学的效率和质量.

2. 以生为主

若想让学生真正地理解和掌握知识，必须让学生参与其中，引导学生通过观察、思考、探究等过程理解数学的本质，掌握解决问题的通法. 在实际教学中，教师应以学生的已有知识和已有经验出发，通过“变”让学生去尝试、去反思、去归纳，由此通过亲身参与发现“不变”的本质，形成良好的认知结构.

在本课教学中，教师在学生的最近发展区进行拓展延伸，通过独立思考与合作探究相结合的方式进行模型的建构和通性通法的提炼，帮助学生积累了丰富的活动经验，提升了学生数学建模、数学抽象等素养.

总之，在变式教学中，教师应贯彻“以生为主体，以师为主导”的教学理念，结合教学实际有效设计变式问题，让学生感知复杂题是由简单题变化而来的，从而增强学生的学习信心，提升学生学习的积极性，促进学生数学综合能力与素养的发展与提升.