基于GeoGebra运用的数学教学设计

[摘  要] GeoGebra软件是探究数学、培养学科素养的重要教学工具.在中学数学中，平面向量基本定理的探究过程充分体现了GeoGebra软件在数学教学中的便利性.在发现和验证猜想的过程中，注重GeoGebra软件的多元表征功能和动态演示功能，能够深化学生对知识的理解，提高学生分析和解决问题的能力.

[关键词] GeoGebra软件;平面向量基本定理;代数与几何

GeoGebra软件的教学价值

1. 信息技术对教学的重要性

随着教育信息化的发展，技术—教学法—内容知识（简称TPACK）成为国内外教师教育和教育技术学研究的一个重要领域. 每一位教师都是教育信息化乃至技术整合的关键因素，也是教育变革的自主行动者[1]. 中学数学教师面临的最大教学挑战是平衡学生心理、教学用具和信息技术之间的关系. 在数学教学中，依据学生心理，结合教学用具和信息技术，简化知识，使其易懂，并让数学知识在学生脑海中更加生动灵活. 现有的数学软件包括几何画板、GeoGebra和Mathematica等，它们具有不同的功能和作用.

2. GeoGebra软件的功能和作用

2001年美国数学教授Markus Hohenwarter创建了一个GeoGebra项目，并于2008年对其进行软件化. GeoGebra是自由且跨平台的动态数学软件，主要包含几何（Geometry）和代数（Algebra）. 该软件功能强大、开源免费，内有代数区、绘图区（分为平面和3D）、表格区、概率区等功能块，既可简单地直接书写数学公式，也可在工具、命令、脚本三个层次探究复杂的数学课题. 在中学数学教学中，GeoGebra软件可用于课堂演示、学生互动、作业检查等多个方面. 利用GeoGebra软件进行数学教学，可优化教学内容呈现形式，丰富师生互动方式，有利于激发学生的学习兴趣.

根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的要求，无论是在数学课程中，还是在数学教学中，都需要突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过数形结合体会数学知识间的联系，加强对数学知识整体性的理解[2]. “平面向量基本定理”教学可从物理、几何、代数三个角度展开，用GeoGebra软件引导学生理解和掌握定理，充分发挥信息技术在数形结合思想方面的优势.

基于GeoGebra软件的数学教学设计

1. 教学内容分析

向量既是代数研究对象，也是几何研究对象. 在教学“平面向量及其应用”这一章节时，教师通常按照代数对象的研究路径展开，在此过程中通过对向量运算、运算律的几何意义的研究，以及用于解决几何问题来体现其几何属性[3]. 向量基本定理既是沟通代数与几何的桥梁，也是连接直线、平面、空间的要素.

在“平面向量基本定理”教学中，如何自然地引入GeoGebra软件进行辅助，首先要理清这一章节的整体知识框架（如图1所示）.可以看出，在“平面向量基本定理”教学前，探究向量问题主要从几何角度出发，抓住向量的大小和方向进行运算;在“平面向量基本定理”教学后，探究向量问题主要从代数角度出发，抓住向量的坐标表示进行运算和研究性质. 因此，在“平面向量基本定理”教学中，可以从几何角度切入，得到代数结论.

2. 教学现状分析

很多教师对这一课时的教学并不重视，往往将定理结果灌输给学生，以便尽快进入向量坐标表示的教学. 究其原因如下：第一，教师认为平面向量基本定理不够重要，其不是考试重点，对其蕴含的数学思想的认识不足;第二，定理中“任意向量a”“不共线向量e1，e2”无法动态呈现，教师只能让学生凭借直观想象，理所当然地接受这一结论.

面对第一种原因，教师要充分理解平面向量基本定理的重要性，要不断追问自己：为什么要讲解这个定理？为什么被称为“基本定理”？这一定理的作用是什么？能够解决什么样的数学问题？教师在课前要深入钻研教材，确保充足知识储备进行教学.

面对第二种原因，教师可以借助GeoGebra软件辅助教学，利用GeoGebra软件的动态演示功能，不仅可以解释和说明向量a的任意性，还可以解释和说明基底的任意性.利用GeoGebra软件，用“形”探究“数”，用“数”表达“形”，可以培养学生多元表征意识和能力，促使学生深刻理解平面向量基本定理.

3. 教学过程设计

（1）新知导入

教材分析 人教A版（2019）教材（下文简称教材）首先回顾向量共线定理，强调向量共线与平面向量基本定理的联系，旨在用类比和比较的方法建构线性运算，培育学生基底化意识.在此基础上，教材利用物理上的“力的合成和分解”提出问题、导入新知：能否通过平行四边形法则将向量a分解为两个向量呢？沿用教材这一思路，我们首先回顾向量共线的充要条件，发现“一个向量无法表示平面内所有向量”这一事实，引出本节课的学习主题.

问题1 如图2所示，给出一组共线向量，回答：两个向量共线的充要条件是什么？

设计意图 利用GeoGebra软件，通过数形结合，动态再现向量共线的充要条件. 向量共线定理实际上是一维向量基本定理，通过“一维”情形的引入，引导学生直观开展“二维”情形的探究. 由向量共线的充要条件得出结论：位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 即存在实数λ，使得v=λu. 由λ构建起从u到v的一一对应关系，为后面“二维”情形下基底和坐标的探究做铺垫. 利用GeoGebra软件重现向量共线定理（即无论v的模长如何变化，都有一个关于v的数乘运算的等式成立），有助于学生直观理解向量共线定理.

问题2 假设平面内有一个非零向量u，那么该平面内的任意一个向量能否用u表示？如果用一个向量u无法表示，那么至少需要几个向量？为什么？

设计意图 这一问题引导学生从“一维”向“二维”过渡. 根据学生的观察和想象，很容易得出平面中的任意一个向量无法用单一向量u表示出来.联想需要增加的向量个数，很多学生初步猜测“用两个向量可以表示平面内的任意一个向量”，但是无法说明理由. 此时可以通过层层诘问，引导学生思考，得出“只需两个不共线向量”的猜想.

（2）数学探究

教材分析 在验证猜想的过程中，教材给了一个具体问题：将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现？随后给出结论. 从学生的认知来看，提出的猜想找不到反例，便理所当然地接受了结论. 但是，从具体实例出发得到的结论未必可靠，对于数学结论的正确性，必须尽可能给出严格的分析论证或一般性说明[4]. 借助GeoGebra软件，可以实现传统教学中难以实现的动态演示，这是一个由感性上升至理性的思维过程，可以培养学生严谨的思维品质，使学生获得的结论更加合理可信.

问题3 如图3所示，固定一对不共线向量e1，e2，现有一向量a，如何用e1，e2表示a？若任意改变向量a，向量a都可以用e1，e2来表示吗？为什么？

设计意图 利用向量相加的平行四边形法则，可以将a按照e1，e2的方向分解，得到a=+. 再根据向量共线定理，得到=1.44e1，=1.58e2，从而得到a=1.44e1+1.58e2. 借助几何直观，学生猜想如下：任意改变向量a，都存在实数λ，λ，使得a=λe1+λe2.如何验证呢？大部分学生认为，可以随机选取几个目标向量，通过上述分解过程验证等式. 此时教师要指出，该做法不具普遍性.

在传统的板书教学中，为探究a的任意性，可按照不共线向量e1，e2所在的直线将平面分成四个区域（如图4所示），对向量a所在的位置分类讨论（如图5所示）：当a位于第Ⅰ区域时，可直接根据平行四边形法则用e1，e2表示向量a;当a位于第Ⅱ区域时，先找出e2的相反向量-e2，利用e1，-e2表示向量a;同理，当a位于第Ⅲ区域时，利用-e1，-e2表示向量a;当a位于第Ⅳ区域时，利用-e1，e2表示向量a. 此外，要考虑向量a在直线上的特殊情况.

可以看出，这一检验过程烦琐，只能选取区域内部分向量分解，无法进行普遍性验证.但采用GeoGebra软件，抓住向量的两大要素（方向和大小），从特殊到一般可对a的任意性进行验证.

问题4 如图6所示，固定一对不共线向量e1，e2，现有一向量a，固定a的模长，不妨令a=8. 如何用e1，e2表示a？若任意改变向量a的方向，都可以得到猜想中的等式吗？为什么？

活动预设 固定向量a的起点O，终点轨迹为圆（如图6所示）. 通过动画演示可知，不管a的终点落在何处，它都可以用e1，e2线性表示. 因此，我们可以得到结论：任意模长的向量a，都可以用e1，e2线性表示. 接下来，如何验证向量模长的任意性呢？

问题5 如图7所示，固定一对不共线向量e1，e2，现有一向量a，固定a的方向，若任意改变向量a的模长，如何用e1，e2表示a呢？

活动预设 作向量a所在直线l，作与a同起点、同方向，模长为8的向量u. 根据向量共线定理可知，存在实数λ，使得a=λu. 由问题4的探究可知，对于向量u，必存在实数λ，λ，使得u=λe1+λe2，于是a=λu=λ（λe1+λe2）=λλe1+λλe2. 令μ=λλ，μ=λλ，由向量a的任意性，可以得到结论：固定方向的任意向量a，存在实数μ，μ，使得a=μe1+μe2.

设计意图 从具体的目标向量出发，迁移到模长确定、方向任意的目标向量，再推广至模长任意、方向任意的目标向量，从而验证向量a的任意性. GeoGebra软件使分析论证过程直观可视，激发学生的求知欲.

问题6 当a是零向量时，如何用e1，e2表示a？当a与e1或e2共线时，如何用e1，e2表示a？

设计意图 讨论特殊情况，加深学生对所得结论的理解. 如图8所示，若a是零向量，令λ=λ=0，则a=0·e1+0·e2. 如图9所示，若非零向量a与e1同向，令λ=，λ=0，则a=e1+0·e2. 同理，若非零向量a与e1反向，令λ=-，λ=0，则a=-e1+0·e2.

问题7 对于任意给定的向量a，表示a的向量e1，e2唯一吗？

活动预设 根据平行四边形法则可知，表示a的向量e1，e2不唯一. 如图10所示，已知向量a，以a的起点O为圆心，任意长为半径作圆. 以O为起点，任取圆上一点为终点作向量e1. 根据e1方向和圆O半径的任意性可知，任意长度、任意方向的e1都有对应的e2. 从而验证表示a的向量e1，e2不唯一.

设计意图 在板书教学中，通常是列举几组不同的e1，e2说明表示a的向量e1，e2不止一组，但这并不能证明e1，e2具有任意性. 而利用GeoGebra软件不仅直观证明了e1，e2的任意性，还提出了新的问题：当a为任意向量时，e1，e2是否具有限制条件？

问题8 是否任意的两个向量e1，e2都可以表示平面内的任意一个向量a呢？

设计意图 在问题2中，学生已经猜想到e1，e2要表示平面内的任意一个向量，需满足e1，e2不共线的条件.这里可以运用反证法进行验证：若e1，e2共线，根据向量共线定理可知，e1，e2只能表示与它们共线的向量.

通过上述问题链的构建，在教师的启发和引导下，借助GeoGebra软件，学生深刻认识到平面向量基本定理中“e1，e2是不共线向量”“任意向量a”“e1，e2选取方式不唯一”等关键内容，这为向量基底概念的学习做好了铺垫.

（3）推理论证

教材分析 存在性、唯一性问题在前面学习向量共线定理时已经接触过，所以学生有解决该问题的基础.教材中从代数角度出发，利用反证法证明了唯一性问题. 在教学中，还可以从几何角度出发解释唯一性，有助于培养学生的几何分析论证能力.