在“三个理解”的基础上实施单元课时教学

［摘  要］ “理解数学、理解学生、理解教学”是实施有效教学的三大基石. 研究者基于“三个理解”，以“一元二次函数、方程与不等式”的单元课时教学为例，从“理解数学，分析单元教学内容”“理解学生，设定单元课时目标”“理解教学，实施单元课时教学”三方面展开分析与设计.

［关键词］ 三个理解；学情；单元课时教学

作者简介：徐琳（1988—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作，曾获海安市中青年数学教师优秀课评比一等奖.

章建跃博士在其撰写的论文中明确指出：随着时代的进步，教育改革是必然趋势，要想培养学生的创新意识与实践能力，就要改变我们已有的习惯做法，但改变习惯又是一件难事，深入透彻地理解数学、理解学生、理解教学是化解教学困难的重要途径.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出数学教学要从整体上把握教学内容与主题，实施单元教学. 结合“三个理解”来设计单元教学可以充分体现出高中数学的逻辑性、整体性、连贯性与系统性. 本文以“一元二次函数、方程与不等式”的单元课时教学为例，从“三个理解”的角度来分析与设计教学.

■ 理解数学，分析单元教学内容

分析单元教学内容，首先从“四基”出发，结合核心素养发展需求来理解数学. 其中，关注知识间的联系，揭露单元知识本质，提炼数学思想方法等，既是理解数学的主线，也是发展学生学力、提升学生核心素养的基础.

1. 构建知识结构图

纵观本单元教学内容，知识量较大，包含的知识点多，可分成7个课时授课，将本单元的知识要点罗列在一起可构成一幅知识结构图（如图1所示）.

2. 解析单元知识

（1）分析知识本质.

本单元研究的是“式与式”之间的关系，属于实数序关系的研究. 实数大小关系是解决不等式、等式问题的基础，不等式的自反性、传递性等都体现了实数序关系的特征，其他性质则有刻画不等式在运算中规律的作用. 从本质来看，基本不等式就是实数的平方为非负数，除此之外，它还蕴含着一定的几何意义. 一元二次方程、二次函数以及不等式的本质都是用函数方法来解决不等式问题，属于程序思想方法，使用范围较广，且方程、函数、不等式三者还能体现出事物运动和静止的辩证关系.

（2）分析上下位关系.

学生在初中阶段就接触过一次函数、方程、不等式等内容，明白其中存在的内在关系，并能借助函数观点将它们统一在一起形成有机整体. 实数间的大小关系从本质上来看就是不等式的逻辑基础，通过与等式的类比，可探寻不等式所蕴含的性质，同时等式又是不等式变形的主要依据. 与初中所学内容进行类比，可将二次函数作为桥梁，将一元二次方程、不等式等有机地联系起来进行分析，获得用函数零点求解一元二次不等式的基本方法，而这部分内容又为后续研究函数的性质夯实了基础.

（3）分析数学思想方法.

波利亚认为：类比是最伟大的引路人. 本单元教学，可将类比思想贯穿始终. 如根据等式类比不等式；根据三个“一次”类比三个“两次”. 同时，在证明不等式的性质方面，还会应用到演绎推理、归纳推理、反证与比较等思想；基本不等式的证明则会涉及由因导果、执果索因、数形结合等方法. 探索本单元内容，还会应用到数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等，这些都体现了知识的整体性与联系性.

（4）分析育人价值.

育人是学科教育的终极目标，数学知识与思想方法是连接数学核心素养的纽带，也是学科育人价值的具体表现. 本单元教学，教师可带领学生从生活实际出发，从中提炼相关数学知识，并引导学生用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达这个现实世界，从真正意义上发展学生的数学抽象素养，帮助学生建立模型. 从代数的角度来看，它的本源就是运算，而运算规律又是揭露代数本质的基础. 关于基本不等式的证明与应用，离不开逻辑推理、数学抽象、数学运算、直观想象与数学建模素养的支撑，因此本单元教学对发展学生的数学核心素养具有举足轻重的作用.

■ 理解学生，设定单元课时目标

教学目标是教学的灵魂，任何教学活动的开展都以教学目标为导向，同样贯穿教学过程始终的教学评价也以教学目标为依据. 因此，教师设计单元教学目标时，不仅要对单元教学内容做好分析与规划，还要以发展学生的数学核心素养为导向，通过各种方法充分了解学情，综合考虑知识结构特点、逻辑顺序以及学生的实际认知水平、心理发展规律等. 值得注意的是单元教学目标与课时教学目标需保持一致，让每一个课时教学目标都指向单元教学目标.

1. 学情分析是制定教学目标的前提

学生在初中阶段已经掌握了与本单元相关的一些知识内容，如一次函数与方程、不等式、一元二次方程等，从建构主义的角度来说，这些知识内容都是学生学习的基础，新知的构建都是在原有基础上进行的. 另外，学生通过之前的学习具备了良好的数形结合思想、转化思想等，为本单元的教学奠定了基础.

虽说学生已经有了一定的知识与思想方法作为学习的基础，但大多仍停留在记忆或基础训练的层次，对知识的整体结构认识不足，没有从真正意义上理解数学本质. 具体表现在以下几个方面：①数学建模与数学抽象素养不足，学生难以自主从具体环境中抽象不等式，比如已知b克盐水中盐的重量为a克（b＞a＞0），若往盐水中再添加m克的盐（m＞0）且完全溶解，则可以抽象出不等式＞，但学生无法自主提炼该不等式. ②用等式的性质来类比不等式的性质时，出现知识的“负迁移”现象，如常见的a=b？圯ac=bc，通过类比获得a＞b？圯ac＞bc就是不正确的. ③逻辑能力不足导致证明思路不清，具体表现在证明不等式性质的方法或思路上的障碍，以及无法理解等号成立的条件等，致使求解最值问题时错误百出. ④数学思想方法的渗透不够，学生无法从函数的角度将不等式、方程统一起来，解题过程存在思维定式的问题.

2.课时教学目标是完成单元教学目标的基础

本单元的教学目标包括以下几方面：①从生活、科学情境的不等关系中“去情境化”，提炼不等式，发展数学抽象与数学建模素养. ②理解不等式的推导与证明过程，熟练掌握其基本性质. ③通过类比、猜想与证明获得不等式的基本性质，并通过合作交流探寻基本规律，掌握证明不等式的比较法、分析法与综合法. ④在探究活动中发展逻辑推理能力，并在数学美的体验中培养学习兴趣，发展核心素养. ⑤基于基本不等式的证明过程理解其几何意义，提炼数形结合思想、转化思想等，并能自主应用基本不等式解决一些基本问题. ⑥理解基本不等式成立与等号成立所需的条件，并能应用基本不等式解决一些简单的问题，如函数最值问题等，感知基本不等式的实际应用价值. ⑦激发课堂参与意识与学习内驱力，形成良好的探究习惯. ⑧在类比中感知通过函数的观点统一方程的数学思想. ⑨借助函数图象获得求解一元二次不等式的常规方法，渗透函数与方程、数形结合等思想，提升数学运算与直观想象等素养.

有了明确的单元教学目标后，课时教学目标就可以“对号入座”. 笔者认为，本单元可分成7个课时授课，上述9个目标可对应到每一个课时中去，从真正意义上发展学生的数学核心素养.

■ 理解教学，实施单元课时教学

单元教学讲究的是有序性与整体性，无论是从单元到课时，还是从整体到局部，逻辑清晰地实施教学是实现单元教学目标的基础. 教学实施时可通过问题串（明线）与思维过程（暗线）两条主线构建知识的内在逻辑关系.

以“等式的性质与不等式的性质”这个课时教学为例.

1. 开门见山，直切主题

课堂伊始，教师提出：等式与不等式常用来表示生活中一些相等与不等关系，等式的性质可用来解方程，如果要解不等式，该怎么办呢？不等式的性质该怎样探究呢？

师生积极互动，总结出等式与不等式的作用都是用来刻画事物大小关系的，通过类比等式的性质可获得不等式的性质，因此本节课的教学重点就在于整理等式的性质，通过对其蕴含的思想方法的研究来探索不等式.

设计意图 由于学生对这部分内容有一定的基础，因此教师选择开门见山的方式引导学生明确本节课研究的主题与方法，为接下来的教学做铺垫.

2. 问题驱动，类比分析

问题1 等式的性质有哪些？

学生先独立思考，然后通过合作交流，梳理总结出以下性质：①若a=b，则b=a；②若a=b，b=c，则a=c；③若a=b，则a±c=b±c；④若a=b，则ac=bc；⑤若a=b，c≠0，则=.

问题2 观察等式的性质，提炼等式性质所蕴含的共性.

学生在观察与思考的基础上交流，必要时教师给予引导与点拨，最终形成结论如下：前两个性质说明了相等关系所具备的传递性与对称性；后三个性质则从运算的角度反映了等式的不变性，如可加减性等.

设计意图 让学生通过思考，自主梳理等式的性质以及共性，为不等式的探索夯实基础.

问题3 类比等式的性质，猜想不等式的性质. （要求学生列表对比）

问题4 思考证明不等式的性质基础知识.

问题5 能否自主证明不等式的性质？

师生积极互动，学生先类比猜想，列表分析，然后周密论证，互相交流证明方法.

设计意图 此环节意在引导学生亲历逻辑推理的过程，让学生感知数学证明的严谨性、逻辑性与科学性等特性，充分体验每一个猜想都要去验证，而验证的每一步也要有理有据、思路清晰，这是培养学生科学精神的基础.

问题6 以类比猜想的方式将表1补充完整.

问题7 现在请大家验证自己类比猜想而来的不等式的性质，若是假命题，请适当添加条件使之成为真命题.

学生先合作交流，再展示、评价、完善，最终形成完整的结论.

设计意图 引导学生亲历不等式性质形成的过程，使学生进一步体会运算的规律性与不变性等特性是研究不等式的基础，此过程同时具有发展学生逻辑推理与数学运算等素养的作用.

3. 例题讲解，学以致用

例题：若已知a＞b＞0，c＜0，请证明＞.

变式题：若已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，请证明＞.

设计意图 此为不等式性质的实际应用问题，意在强化学生的证明思路，即由因导果与执果索因，发展学生分析与解决问题的能力.

4. 归纳总结，提炼升华

课堂尾声，要求学生思考以下几个问题：①本节课学习了哪些内容？②探究不等式的性质时经历了哪些过程？应用了哪些方法？③本节课涉及哪些数学思想？

设计意图 带领学生从数学知识、数学方法与数学思想三个方面对本节课学习的内容进行回顾与总结，发展学生的“四基”与“四能”.

总之，在“三个理解”的基础上设计单元课时教学，不仅能有效提高教学效率，还能有效发展学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养. 随着新课改的推进，单元整体教学的研究方兴未艾. 作为一线的数学教师应积极思考、深入探究、大胆创新，从真正意义上提升教学成效，发展学生的数学核心素养.