材料力学能量法四种不同讲授方式

摘  要：材料力学能量法的教学一般安排在杆件受力变形、强度理论及压杆失稳之后，单独成为一个章节，与结构力学、弹性力学等后续课程紧密衔接，能量法的学习对于学生采用全新视角分析力学问题十分重要。该文阐述能量法经典讲授思路，包括应变能与加载顺序无关、功的互等定理、外力功/余功和应变能/余能的转换和虚位移原理及虚力原理四种推导方式。旨在，其一，聚合不同思维方式，帮助学生理解能量法知识体系，启发学生科学思维与创新精神；其二，分析不同讲授方法的特点及不同本科专业的适用性，以针对不同人才培养模式合理安排课程内容。

关键词：材料力学；能量法；卡氏定理；虚位移原理；单位荷载法

中图分类号：G640      文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2025）01-0001-07

Abstract： Energy Methods in Material Mechanics is generally arranged after the stress and strain analysis in most material mechanics books. It is closely linked to courses of structural mechanics and elastic mechanics for undergraduate students. This paper summarizes four typical class teaching ways for the energy methods. A comprehensive review of the energy methods is first provided. Then， comparison of the different teaching ways and their applicability to different undergraduate majors are provided in order to arrange more suitable teaching contents.

Keywords： material mechanics; energy methods; Castigliano's theorem; principle of virtual displacement; unit-load method

材料力学是工程力学、土木工程、矿业工程等工科专业的一门十分重要的专业基础课，具有很强的工程与应用背景，它是衔接高等数学、线性代数、理论力学等基础理论课程到结构力学、弹性力学、有限元方法、钢筋混凝土等专业课程的桥梁，对学生从理论知识学习到尝试解决实际工程问题具有重要的过渡作用[1]。能量法作为材料力学课程的一个核心模块，不仅对于学生巩固材料力学基本知识、理解全新的分析问题思路具有重要意义，同时对后续课程中核心知识点理解具有重要的衔接作用[2]，尤其是近年来随着计算力学的快速发展，能量法的学习更应受到重视[3]。

能量法是指利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形和内力的方法[4]，能量原理建立在经典力学之后，被看作是19世纪最重要的发现之一，能量原理中克拉珀龙定理（Clapeyron's theorem）、卡氏第一和第二定理（Castigliano's first & second theorem）、克罗蒂－恩盖塞定理（Crotti-Engesser's theorem）、麦克斯韦互等定理（Maxwell's reciprocal theorem）、虚功原理等伴随和影响着近现代力学、计算力学的发展。

由于能量法的特殊性与重要性，当前国内外大多教材[3-9]均将能量法安排为一个单独的章节。涉及杆件受力变形过程中外力功的计算、杆件内部存储的应变能计算、卡氏第二定理、变形体的虚位移原理和单位荷载法的内容，部分教材会同时安排互等定理、余能的计算、余能定理（克罗蒂－恩盖塞定理）、卡氏第一定理和图乘法等内容的介绍，以便和后续结构力学等课程紧密配合。能量法知识点多，理论性强，对学生的数学知识、力学基础知识和逻辑思维能力要求较高，是材料力学课程教与学公认的一个难点[10]，学生普遍反映能量法学习困难，难以建立起能量法核心知识体系。

利用有限的课堂讲授学时，合理安排讲授能量法讲授内容，系统优化力学课程相关知识点教学，帮助学生逐渐建立起能量原理知识体系并逐渐具备解决实际问题的能力，值得深入探讨[11-13]。

本文总结了普通高等教育本科国家级规划教材、面向21世纪课程教材、国外相关专业使用的经典教材以及网络公开课资源，总结归纳了四种不同的能量法教学思路，旨在帮助学生逐渐理解能量原理内涵，启发学生创新思维，培养学生解决复杂问题的综合能力和高级思维，为后续专业课程的学习打好基础。同时进行了对比分析，探讨了不同讲授方法在不同专业中的适用性，旨在帮助更合理地安排适用于各专业人才培养的课程内容。帮助学生逐渐具备利用所学知识创新性地解决实际专业问题的能力，为提升课程的高阶性，突出课程的创新性，增加课程的挑战性提供参考。

一  能量法的四种讲授方式

对于材料力学能量法讲授来说，首先应明确应变能的概念，尤其是线弹性杆件应变能的计算。对于一般弹性材料情形，随着杆件上广义力F的增加，广义位移Δ逐渐增加，二者关系如图1所示。外力功为图示从Δ=0到Δ=Δ1之间F-Δ曲线下围成的面积，不考虑加载过程中的能量损耗，外力功W转换为积蓄在杆件内部的应变能Vε，即

各教材一般会说明弹性体应变能的特征：①应变能恒正，与坐标系选取无关；②应变能仅与荷载的最终值有关，而与加载顺序无关；③线弹性范围内，应变能为内力或相应变形的二次函数，也可表示为广义力或位移的二次函数，导致计算应变能时叠加原理不适用。

在学习过杆件基本变形应变能表达形式后，上述①和②容易理解。②中不同书籍给出了不同的说明，其中一个结合材料力学课程前述内容较易理解的思路：线弹性小变形情形下杆件的变形可通过叠加原理求得，无论多个广义力何种方式何种顺序施加到其最终值，与之对应的杆件上的变形为确定值。而应变能是由于杆件变形而存储的能量，变形一定的情况下杆件内存储的应变能为确定值。

在明确了应变能的基本概念，尤其是线弹性范围内杆件的应变能的特征后，不同教材在安排与能量法相关的其余内容及其讲授方法时出现了较大不同，不同学者也针对能量法的教学给出了不同的建议[2，10，14-19]。此处列出四种典型的讲授思路，重点关注卡氏定理的推导。

（一）  通过应变能与加载顺序无关推导

国内广泛使用的教材[3]及大多数国外教材[8-9，20]都借助了应变能与加载顺序无关来进行卡氏第二定理的证明。如图2所示，弹性体上作用了n个广义外力，分别为F1，F2，…，Fi，…，Fn，与之对应的弹性体上的广义位移分别为1，2，…，i，…，n。这些广义力在施加过程中在相应的广义位移上做功。对于弹性体来说，广义位移可以表示为广义力的函数？驻i=f1（F1，F2，…，Fi，…，Fn），同样广义力也可以表示为广义位移的函数Fi=f2（1，2，…，i，…，n）。在不考虑能量损失的情况下，应变能由外力功转换而来，因而应变能可以表示为Fi或？驻i的函数

当其中一个广义力Fi有一微小增量dFi，根据高等数学偏微分知识，由式（2）表示的应变能增量可写为dVε=■dFi，此时杆件上的总应变能为Vε+■dFi。对于线弹性体这种特殊情况来说，如果调换加载顺序先施加dFi，此时与dFi对应的广义位移为di，应变能为■dFidi。之后再作用F1，F2，…，Fi，…，Fn，此时虽然已经有dFi的作用，由F1，F2，…，Fi，…，Fn引起线弹性体对应的广义位移大小同样为1，2，…，i，…，n，导致的应变能依旧为Vε。注意F1，F2，…，Fi，…，Fn施加过程中，已经施加的dFi会在广义位移i上做功，且为常力做功，大小为dFii。按新的加载次序，杆件内存储的应变能为■dFidi+Vε+dFii。

由于应变能和加载顺序无关，两次不同加载顺序最终的应变能应相等，略去高阶微量■dFid？驻i并化简后可得卡氏第二定理

即线弹性体应变能对于广义力Fi的变化率等于与该广义力Fi对应的广义位移？驻i。在讲授过程中应特别强调上述推导仅适用于线弹性体，即先作用F1，F2，…，Fi，…，Fn或者先作用dFi，由于F1，F2，…，Fi，…，Fn导致的位移？驻1，？驻2，…，？驻i，…，？驻n是一样的，而此结论对于非线弹性杆件并不适用。教学中这一点可以从图1加以解释，对于非线弹性体，由于广义力和广义位移的非线性对应关系，作用相同的广义力增量对应的广义位移增量并不相同。

大多数教材会紧接着讲授变形体虚位移原理，进而讲授单位荷载法及图乘法相关内容。事实上，也可以在上述卡氏第二定理的基础上推导得到单位荷载法。以忽略剪切变形的一般对称弯曲线弹性梁为例，求弯矩时叠加原理适用，因而梁内任意位置x处的弯矩M（x）可以表示为广义力的函数

式（7）表明在线弹性小变形情形下，卡氏第二定理和单位荷载法是等价的。

此种讲授方式无需引入余功及余能等概念，仅涉及线弹性杆件叠加原理、应变能的计算等内容，可以帮助学生对之前章节知识点加以回顾并加深理解，对学生初步接受能量法基本原理具有帮助作用。同时，此种方式对于教师介绍变形体虚位移原理、单位荷载法及图乘法提供了较大的自由度，对于学生融会贯通理解能量法基本思想和原理提供了较易理解的途径。

（二）  通过功的互等定理推导

部分教材以功的互等定理为切入点推导了卡氏第二定理[7]。以简支梁为例，如图3（a）所示，当杆件上仅在C1处有一个广义力F1作用时，与之对应的C1处的广义位移为？驻11，此时C2处也会发生位移，记为？驻21，表示C2处由于C1处的广义力F1作用时所产生的位移。对于线弹性杆件来说，这两个广义位移都应与广义力F1呈线性关系

式中：α11和α21为对应的柔度系数。此过程中外力做功W1=■F111=■α11F■■，不考虑能量损耗的情况下，外力功全部转换为杆件内存储的应变能Vε1=W1=■α11F■■。

类似，如图3（b）所示，当杆件上仅在C2处有一个广义力F2作用时，与之对应的C2处的广义位移为？驻22，C1处也会发生广义位移为？驻12，这两个广义位移都应与广义力F2呈线性关系

式中：α12和α22为对应的柔度系数。此过程中外力功W2=■F2 22=■α2２ F■■，不考虑能量损耗的情况下，外力功全部转换为杆件内存储的应变能Vε2=W2=■α2２ F■■。

当广义力F１ 和F2 共同作用时，如图3（c）所示，求线弹性杆件位移的叠加原理适用，因而可视作首先在C1处施加F１ ，其次在C2处施加F2。求和得C1处和C2处的广义位移

现考虑当广义力F１ 和F2共同作用时杆件内的应变能，由于弹性杆件内存储的应变能和加载顺序无关，不妨首先施加F１ ，此时杆件内存储的应变能为■α1１F■■。其次施加F2，此过程中F2做功导致杆件内应变能增量为■α22F■■，应该注意的是此过程中F1已经施加在C1处，会在新产生的位移？驻12上做功，且为常力做功，与之对应的梁上应变能的增量为F1·α12F2。可得此种加载方式杆件内存储的应变能为

如果更改加载顺序，首先施加F2再施加F１，与上述分析类似可得杆件内存储的应变能为

由于弹性杆件内存储的应变能和加载顺序无关，式（14）和式（15）应相等，对比可得α12=α21。也就是说由于C1处作用单位力导致的C2处的位移等于由于C2处作用单位力导致的C1处的位移，这个结论称为位移互等定理或麦克斯韦互等定理（Maxwell's reciprocal theorem）。