注重一境多用，指向初高衔接

摘 要：函数是中学数学的主干内容，在学生学习完初中阶段的函数内容后，有必要安排一次“回顾与展望”。因此，设计和实施《函数大观》一课，选编“用绳子围矩形”的经典问题情境，“一境多用”，变式追问，带领学生梳理已学函数知识，感悟函数学习路径；精选数学史话，开展数学欣赏，同时从中抽象出新的函数问题，引导学生展望后续函数学习内容，激发学生继续学习函数的兴趣，促进初高中衔接的方法积累与思维提升。

关键词：初中数学；“用绳子围矩形”；一境多用；数学欣赏；初高衔接

2023年10月中旬，江苏省初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动在西安交通大学苏州附属初级中学举行，笔者有幸在活动中执教了一节九年级公开课：《函数大观》。函数是中学数学的主干内容，在学生学习完初中阶段的函数内容（包括一次函数、反比例函数、二次函数的内容）后，有必要安排一次“回顾与展望”。因此，这节课不是单纯的复习课，而是以函数为主题回顾初中阶段已学的函数内容，并展望后续要学的函数内容。其教学目标为：（1） 在以函数视角解决“用绳子围矩形”问题的过程中，对初中所学的函数内容形成知识结构、感悟学习路径；（2） 回顾函数学习的过程，感受数学思想，如模型思想、变量思想、数形结合等，初步体会函数“大观”的含义；（3） 结合开普勒第三定律、悬链线方程、对勾函数等陌生的函数问题，展望后续函数内容的学习方向，激发学习兴趣。下面先给出这节课的教学设计，再进一步解读相应的教学立意，供同行研讨。

一、 《函数大观》教学设计与立意解读

（一） 建立一次函数、反比例函数模型，解决“用绳子围矩形”问题，形成知识结构

问题 如图1，计划利用长为12米的绳子围一个矩形围栏，其中一边是墙（长度大于6米）。设矩形围栏与墙平行的边的长度为x米，与墙垂直的一边长为y米，y是x的函数吗？

预设学生对照有关概念，确认y是x的函数，且是一次函数。

追问 （1） 求y关于x的函数表达式；（2）若围成矩形的长和宽相等，求此时矩形的面积。

预设学生顺利解答。

变式1 如图2，计划利用绳子围一个面积为18 平方米的矩形围栏，其中一边是墙（长度大于6米）。设矩形围栏与墙平行的边的长度为x米，与墙垂直的一边长为y米，y是x的函数吗？

预设学生发现y是x的函数，且是反比例函数。

追问 （1） 求y关于x的函数表达式;（2） 若围成矩形的长和宽相等，求使用绳子的长度。

建议学生结合函数图像加以分析。

［设计意图：借助“用绳子围矩形”问题的变式与追问，引导学生回顾函数概念、一次函数与反比例函数的概念。在解决实际问题时，引导学生建立函数模型，并结合函数图像直观分析。］

（二） 建立二次函数模型，解决“用绳子围矩形”问题，感悟学习路径

变式2 如图3，计划利用长为12 米的绳子围一个矩形围栏，其中一边是墙（长度大于6米）。设矩形围栏与墙平行的边的长度为x米，围成矩形的面积y平方米，求y关于x的函数表达式。

预设学生得出二次函数表达式y＝-1/2x2＋6x（注意引导学生整理为一般式）。

任务 以二次函数y＝-1/2x2＋6x为例，分类梳理二次函数的图像和性质。

学生小组合作回顾梳理二次函数的学习路径，再派小组代表汇报梳理成果。教师点评学生的梳理成果，课件渐次呈现二次函数的学习路径（包括图像特征、函数性质、与二次方程的关系、解决实际问题等方面），然后引导学生回到变式2，求出围成矩形面积的最大值。

［设计意图：借助“用绳子围矩形”问题的进一步变式与追问，引导学生全面回顾梳理函数的学习路径，促进学生感悟函数学习过程中体现的模型思想、变量思想、数形结合等数学思想。］

（三） 通过数学史话开展数学欣赏，展望变量规律

【数学欣赏1】结合PPT，展示开普勒研究第三定律的相关史话，简介开普勒第三定律，并出示下页表1。

考虑到学情特点，将R3/T2=1变形为T=R3，进而组织学生研究函数T=R3

的图像和性质，课件渐次呈现图4。

【数学欣赏2】结合PPT，介绍悬链线方程的相关史话，并出示图5。

变式3 如图6，计划利用绳子围一个面积为18 平方米的矩形围栏，其中一边是墙（长度大于6米）。设矩形围栏与墙平

行的边的长度为x米，使用绳子的长度为y米，分析绳长y与x之间的函数表达式，并借助函数的学习经验初步分析变量之间的规律。

学生得出函数表达式y＝x＋36/x后，教师引导学生结合函数的研究路径，展望变量之间的关系，初步梳理出函数的图像和性质，课件渐次呈现图7。

［设计意图：借助开普勒第三定律、悬链线方程、对勾函数等有挑战性的问题情境，引领学生利用已有函数学习经验，展望后续函数学习方向，并开展数学欣赏，激发学习兴趣。］

（四） 课堂小结，完善结构化板书

教师提问：本节课我们回顾了哪些初中阶段学过的函数？还展望了哪些新的函数？你对哪类函数问题留下了较深的印象？学生小组交流小结，然后选派小组代表发言。发言学生可

以上台对照板书小结，如本课回顾了几种初中阶段常见的函数，函数学习的知识结构、研究路径等。教师对板书内容进行优化完善，补全“关联线”或“备注箭头”等，最终形成如图8所示的结构化板书。最后建议学生课后对本课所学内容进行整理，对尚未解决的问题进一步探究。

二、 教学立意的进一步阐释

（一） 注重一境多用，驱动学习进程

李善良教授曾就“问题情境设计”提醒教师：“应着眼于学生思维的发展这个核心进行，关注学生从情境中自主、主动地提出问题，并在不断解决问题的过程中完成对数学的学习。”并特别提出：“要注重一境多用，让学生形成整体的认识，防止出现一个内容一个情境、情境遍地开花的现象。”［1］本节课，我们选编了“用绳子围矩形”的经典问题情境，并开展“一境多用”，避免了“情境遍地开花的现象”。特别是，围绕该问题情境进行变式与追问，利用初始问题和变式1得出具体的一次函数、反比例函数，促进学生回顾初中阶段所学的函数概念以及一次函数、反比例函数的图像和性质；借助变式2得出具体的二次函数，组织学生围绕该二次函数梳理出函数的学习路径；课堂的最后，让学生回到开课的问题情境，通过变式3拓展得到对勾函数。这样使得全课前后围绕一个问题情境渐次展开、层层递进，有效驱动学习进程。可以发现，整节课通过“问题串”的设计与应用，“引导学生更深入地思考，并超出具体知识和技能的学习上升到更高的层面”［2］。

（二） 开展数学欣赏，指向初高衔接

我国著名数学教育家张奠宙先生早在2010年就提出要在数学教学中进行数学欣赏的观点，他指出：“数学欣赏，古已有之，中外皆然。数学美的论述多多，如和谐美、简约美、对称美等。不过，在日常数学课堂教学中怎样进行数学欣赏，似乎还是未开垦的处女地，值得研究。”［3］十多年过去了，在中学数学教学中切实开展的数学欣赏研究，仍然没有太大的进展（似乎只有任念兵老师发表过一系列文章）。本节课，我们融入了数学欣赏的教学活动，通过精选开普勒第三定律、悬链线方程等数学史话，在开展数学欣赏的同时，提取、抽象出这些问题中的函数知识，让学生在愉快的审美体验中发现和理解函数内容，激发学生继续学习函数的兴趣。这样的教学便指向了初高中数学的衔接。

实际上，本节课指向初高衔接的做法还不止于此。课题“函数大观”的立意源自李尚志教授的《数学大观》一书，李教授在该书的前言中写道：“课程命名为‘数学大观’，是希望从总体上让学生对数学的思想方法有所体会，而不是传授具体的数学知识和算法。”［4］本节课，我们在前面的回顾梳理环节，重视学生对函数研究方法的感悟和积累；在后续的“数学欣赏”活动中，抽象出一些陌生的函数问题时，学生就能够“即时调用”函数研究经验，顺利地猜想出一些新函数的大致图像和性质。此外，上文中表1和图4、图7、图8等的教学预设和渐次呈现，也对研究函数问题的路径做了一种较好的示范，即让研究路径有序展开，包括知识或方法的结构化呈现。也即，作为对初中阶段函数内容的回顾与展望，本节课不但从知识层面上进行了回顾梳理，更重要的是从研究方法、数学思维的层面开展了衔接教学。

参考文献：

［1］李善良．高中数学课程改革：探索与实践［M］．南京：江苏教育出版社，2012：84．

［2］郑毓信．从“问题解决”到“问题引领的数学教学”——国际视野下的中国数学教育（1）［J］．中学数学月刊，2024（1）：1-4+9．

［3］张奠宙．谈课堂教学中如何进行数学欣赏［J］．中学数学月刊，2010（10）：1-2+8.

［4］李尚志．数学大观［M］．北京：高等教育出版社，2015：前言1.

*本文系江苏省教育科学“十四五”规划特色项目研究所专项课题“高质量发展视域下‘三学’立人的实践研究”（编号：TSXM/2021/06）的阶段性研究成果。文中课例《函数大观》，从课题策划、试教打磨到成文解读等环节都得到了江苏省教育科学研究院初中数学教研员徐德同老师的关心、支持与指导，特此致谢！