学习内容结构化，学习过程整体化

【编者按】 特级教师徐斌致力于“无痕教育”研究，几十年如一日坚守课堂教学一线，执教过很多经典公开课，也坚持家常课研究，每年听课更是达到数百节，对数学课堂有着深刻而独特的见解。从本期开始，设立《斌山评课》栏目，分享徐斌老师独特的评课视角：观察一节课如何隐藏教育的目的和意图，如何用迂回暗示的教育方式，以及如何体现“有痕”和“无痕”的和谐统一。

摘 要：依据现行苏教版小学数学教材中“常见数量关系”的内容编排，结合新课标的相关理念，设定了体现数学学科本质和发展学生核心素养的教学目标，组织了体现结构化特征的课程内容，呈现了一节体现整体性的“数量关系”主题的课堂。

关键词：小学数学；数量关系；相遇问题；结构化；整体性

结合《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）第二学段“数量关系”的内容要求、学业要求及教学提示，执教者对苏教版小学数学四年级下册“常见的数量关系”与“相遇问题”内容进行了重组，编排了本堂课的学习内容——“数量关系：相遇问题”。

一、教学过程

（一）创设情境，激活经验

谈话：我们班有些同学是步行上学的，有些同学是坐车上学的，在这样的生活现象中，其实蕴含着重要的数学知识。

出示：小明每天从家出发，步行4分钟到学校，他每分钟走70米，小明家到学校一共多少米？

提问：仔细观察，你知道了哪些条件？要求什么问题？根据什么数量关系解决？

［说明：结合真实的生活情境引出具体问题，让学生在分析中感受数量之间的关系，激活速度、时间、路程三个数量之间关系的已有经验，进而为新知学习做好铺垫。］

（二）探究新知，初建模型

1.理解题意

课件出示：小明和小芳同时从家出发走向学校，4分钟后两人在校门口相遇；小明每分钟走70米，小芳每分钟走60米。

手势比画：现在两个人去上学，情况变复杂了，他们到底是怎样走的呢？大家一起来用手势比画一下。

角色模拟：选两名学生上台模拟演示小明和小芳是怎么行走的。

直观表征：他们的模拟过程，（课件出示线段图，如图1）我们还可以用这样的线段图来表示。

提出问题：根据这些信息，你能提出哪些数学问题呢？

预设：小明走了多少路程？小芳走了多少路程？小明和小芳一共走了多少路程？小明比小芳多走了多少路程？……

明确：我们先选这个问题来解决——他们两家相距多少米？

［说明：第二学段的学生思维仍以具体直观为主。本环节，通过手势比画、角色模拟和直观表征，让学生在具身体验中感知相遇问题的行走过程，理解相遇问题中的数学信息，发现和提出问题，启发学生用数学的眼光观察现实世界。］

2.分析数量关系

（1）自主整理

谈话：要解决这个问题，需要理清这些数量之间的关系，我们可以用画图的方法。下面，请你分一分、画一画、写一写，在学习单的线段图中表示出条件和问题。

交流：谁来说一说，你是怎样整理的？

学生在交流中完善线段图的整理。

（2）动态模拟

讲述：刚才，我们在图上表示出了小明4分钟走的路程和小芳4分钟走的路程，下面，让我们跟着这幅线段图，（投影展示学生在线段图上表征小明和小芳行走过程的成果）一起再来模拟两人走的过程。

（3）寻找方法

提问：结合线段图进行分析，要求两家相距的路程，可以怎么思考？把你的想法和同桌说说看。

①预设一：先分别求出小明走的路程和小芳走的路程，然后再相加。

小结并板书数量关系：两家相距的路程＝小明走的路程＋小芳走的路程。

②预设二：先求出小明和小芳的速度之和，再乘走的时间，就是两家相距的距离。

操作：组织学生用几何的方式（如图2）直观表示出小明和小芳的速度和以及两家相距的距离。

小结并板书数量关系：两家相距的路程＝小明和小芳的速度和×相遇时间。

追问：这个图帮助我们理解了第二种数量关系，那么它能帮助我们理解第一个数量关系吗？谁来指着说一说？

［说明：本环节，引导学生在线段图上表示条件与问题的过程中，感知数量之间的关系；在具体情境的交流中，认识相遇问题中的数量关系；在用几何的方式直观表征数量关系的过程中，用数学的语言表达现实世界，初步感知数量关系的两种模型。］

3.列式解答

提问：利用这两个数量关系，你能列式解答吗？

学生选择一个关系式，在学习单上进行完整的解答。

交流：交流列出的算式，说说利用了哪个数量关系，并结合具体情境解释每一步的实际意义。

对比：这两位同学的列式，分别是根据哪个数量关系想到的？你是怎样想的？

［说明：本环节，让学生在利用数量关系解决具体问题的过程中，感受数量关系的意义，发展应用意识，提升问题解决能力。］

4.回顾反思

谈话：刚才，我们一起解决了小明和小芳同时上学的问题，回顾解决问题的过程，我们经历了哪些步骤？

小结：理解题意、分析数量关系、列式解答。

［说明：在回顾中，让学生进一步明确解决问题的一般步骤，培养有条有理的思维习惯。同时，在反思中体会线段图在解决问题中的价值，发展策略意识。］

（三）分层练习，内化模型

1.巩固性练习

布置巩固性练习：（1）放学了，小明和小芳各自走出了校门，小明向西走，每分钟走70米；小芳向东走，每分钟走60米。4分钟后，两人相距多少米？（2）小明和小芳在环形跑道上跑步， 从同一地点同时出发，反向而行。小明的速度是6米/秒，小芳的速度是4米/秒，经过40秒两人相遇。环形跑道长多少米？

观察比较：在解决刚才的三道实际问题时，利用的数量关系有什么相同或不同之处？

①预设一：根据“总量＝分量＋分量”分析想到的。

②预设二：根据“路程＝速度（和）×时间”分析想到的。

［说明：在巩固性练习的两次变式中，引导学生用联系的眼光看问题，在前后对比中发现具体问题变了但数量关系不变。在变与不变的思考中，帮助学生感悟加法模型与乘法模型的意义，发展模型意识与应用意识。］

2.应用性练习

布置应用性练习：（1）两个工程队合开一条隧道，分别从隧道的一端同时向中间开凿。第一队每天开凿12米，第二队每天开凿15米，经过8天正好凿通，这条隧道一共长多少米？（2）四（1）班准备增订10套校服，每件上衣80元，每条裤子50元，一共要用多少元？

［说明：模型是数学世界与现实世界的桥梁。本环节，引导学生利用数量关系解决生活中的隧道问题和购物问题，带着联系的眼光进行分析、比较，发现其数量关系与“相遇问题”中的数量关系之间的联系，构建“相遇问题”的直观模型，发展几何直观，提升问题解决能力。］

3.拓展性练习

布置拓展性练习：（1）你能根据今天学习的“相遇问题”数量关系，自己编一道实际问题吗？（2）如果两个人这样走（如下页图3所示）又会产生什么新问题，又会形成怎样的数量关系？

［说明：拓展性练习是开放的，答案不唯一，旨在培养学生的发散思维和应用意识，训练学生用数学的思维思考现实世界的本领。］

（四）总结全课，延伸发展

谈话：同学们，通过今天的学习，你有什么收获？你还想到哪些新问题？

［说明：课尾，引导学生回顾反思，即时巩固本课所学知识，培养反思的学习习惯。］

二、教学评析

这节课依据现行苏教版小学数学教材中“常见数量关系”的内容编排，结合新课标的相关理念，设定了体现数学学科本质和发展学生核心素养的教学目标，组织了体现结构化特征的教学内容，呈现了一节体现整体性的“数量关系”主题的精彩课堂。

（一）学习内容的选择体现结构化

新课标关于课程内容理念的重要变化是，特别指出要“设计体现结构化特征的课程内容”［1］。尽管相遇问题一直是数学教材中的重要学习内容，但是数量关系的概括对于四年级学生来说依然比较抽象，因此需要通过结构化的内容帮助学生理解和掌握。

首先，准备题是一个物体的运动。由于学生之前学过行程问题的最基本类型，即“路程＝速度×时间”的数量关系，因此必要的再现和激活，为接下来新知的探索和学习提供了有效的脚手架。

然后，例题是两个物体相向而行的运动。由于有了形象的直观演示和充分的探索交流，学生分别从加法模型和乘法模型两个角度理解“相遇问题”的基本数量关系，即“总量＝分量＋分量”和“路程＝速度（和）×时间”。

最后，变式题是相背而行不相遇和相背而行相遇的运动。两道变式题的设计，改变的是形式，不变的是本质，这能够更好地帮助学生理解“相遇问题”的内在特征。

（二）学习过程的组织体现整体性

新课标在“教学建议”中新增了“重视单元整体教学设计”［2］的要求，并进一步指出“整体分析数学内容本质和学生认知规律，合理整合教学内容”［3］。

首先，让学生主动建构数量关系模型。数量关系是抽象严谨的，教师依据第二学段学生的认知特征，加强了动手操作、直观演示和数形结合、图式对照，体现了数学模型建构的过程性。

其次，通过观察比较形成整体性认知。这堂课，教师主要引导学生进行了三次关键性的比较：第一次是在例题教学后，比较基本相遇问题的两种数量关系（加法模型和乘法模型）；第二次是在两次变式练习后，比较“相向而行”与“相背而行”以及相背而行不相遇与相背而行相遇；第三次比较是在巩固性练习之后，比较行程问题中的“相遇问题”和工程问题、购物问题中的“相遇关系”。

参考文献：

［1］［2］［3］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：2，86，86.