可教可学的数学

张卜天说得颇为玄妙，回到家我立刻翻开《柏拉图全集》，找到《美诺篇》，此篇开头，美诺问苏格拉底：美德能教吗？苏格拉底回答：他不能教授美德，他不知道何为美德。两人一问一答，到篇章中间，苏格拉底说，“既然灵魂是不朽的，重生过多次，已经在这里和世界各地见过所有事物，所以他已经学会了这些事物。如果灵魂能把关于美德的知识，以及其他曾经拥有的知识回忆起来，那我们没必要对此感到惊讶”。接下来苏格拉底做演示，美诺叫了一个家奴上前，苏格拉底在地上画了一个边长为2的正方形（由四个单位正方形组成），问家奴这个正方形的面积是多少，家奴回答，是4，苏格拉底问怎么做出一个正方形，其面积是4的两倍。苏格拉底一步步引导这个奴隶做出这样的正方形，然后对美诺说，这个奴隶几分钟前还不知道“对角线”的概念，还不会作图，但经过引导，他学会了，他为自己恢复了这种知识。苏格拉底说，“如果关于实在的真理一直存在于我们的灵魂中，那么灵魂必定是不朽的，所以人们必须勇敢地尝试着去发现他不知道的东西，亦即进行回忆，或者更准确地说，把它及时回想起来”。

苏格拉底引导家奴作图那一段，在书中有八九页的篇幅，苏格拉底极为耐心地引导家奴，像是一个极其负责的小学老师，或者说，像一个耐心的爸爸在教自己的儿子。我不太同意苏格拉底所说的灵魂及回忆，家奴不是“回忆”起来了，他就是学会了。此书采用了对话体，其中的黑体字假定为一位中年老师所说，他对工作充满热情，学生即将成年，师生两人展开对话，学生渐渐体会到数的概念远比最初想见的微妙得多。这本书开篇就是老师要学生画一个正方形，由四个单位正方形组成，然后添上单位正方形的对角线，做出一个面积为2平方单位的正方形。这跟《美诺篇》中苏格拉底要家奴做出的图是一样的。希腊人会说，正方形的对角线与正方形的一条边不可公度，他们会用除法来求平方根，不过他们还没有平方根符号，平方根符号是1525年首次使用的。

怎么求2的平方根呢？老师引导学生，一个个列出自然数，再一个个列出自然数的平方数，再列出一个个平方数的两倍，如果在第二列中找到一个数，恰好等于第三列中的一个数，那就找到了2的平方根。我们当然找不到这样的数，但会发现有许多组数“擦肩而过”，老师由此构建出一个分数数列，这个数列趋近于2的平方根。一场数学的旅行由此开始。

这本书的扉页上有鲍斯威尔记录约翰逊博士的一段话：“先生，如果您希望有一本书陪伴您旅行，请带上一本科学书。当您读完一本休闲书，您浏览了内容，除此之外一无所获。而一本科学书则能给您很多很多。”2021年冬天，我颇为焦虑，早上4点多就醒，辗转难眠。于是就在4点多起床，对照这本书的中英文版做笔记，延续几个月。每天早上学一个多小时，是极平静的时光。

本书的作者伍鸿熙，是国际著名的微分几何学家、数学教育家。作为数学家，伍鸿熙所了解的数学是清楚、实在的，有明确的定理和证明。可当他审查完一套美国中小学数学教材后，意外地发现，美国中小学数学教材中有各种各样的问题，比如，几乎不给出任何准确的数学定义，会用语言陈述来代替数学符号表述等等。在伍教授看来，这些都是“不好的数学”。不好的数学，就是不准确、内容比较孤立的数学，它违背了数学的本质，不利于培养学生的逻辑推理能力。好的数学是指，能发展的、能越来越深入的、能被广泛应用的、互相联系的数学。把数学分成好的和不好的，这是数学家陈省身提出来的。他曾经与伍鸿熙教授共事过很多年，他的数学品味和判断，深刻影响了伍鸿熙。

面对“不好的数学”，如果老师的数学水平足够好，就能弥补教科书的不足。可问题是，伍教授与很多美国中小学数学老师接触后发现，他们的数学素养，无法帮助学生理解教科书里的数学意义。这些老师虽然在大学学过正规的数学课程，数学知识丰富，但这些课程中并不包括中小学数学。也就是说，未来的老师们没能在大学教育中，获得自己在工作上真正需要的知识。

为了给小学数学老师提供一个更加扎实的起点，让孩子们学到“好的数学”，伍教授编写了这本《数学家讲解小学数学》。这本书按照美国的学制，从学前班讲到七年级，讨论了小学数学课程中关于数的各个主题：自然数、整数、分数、有理数和实数，以及它们的运算法则。伍教授在书中特别强调数学的基本原则，比如，每个概念必须精确定义，定义构成了逻辑推理的基础；比如，数学表述要精确，在任何时候，什么是已知的、什么是未知的，都要非常清楚；再比如，数学是连贯的，它就像一张编织紧密的挂毯，所有概念和技巧逻辑严密地编织在一起，形成一个统一的整体。

这本书开头十几页的内容非常简单，伍教授不厌其烦地教大家数数。他说，加法就是连续计数。比如，4与5的加法，就是从4出发，数上5步，由此得到数字9。所谓a加b，就是表示从a开始，数了b步而得到的数。伍教授通过连续计数来引入位值制，是为了帮助学生理解这个概念的起源，让学生知道，数学处理问题的方法不是凭空得来的，而是有根据的。伍教授强调，我们在讨论数的时候，离不开数轴，数轴是一条直线，上面的每一个点都唯一地等同于一个数。虽然自然数这个概念是从计数发展出来的，但是从学习数学的角度来看，对数字有一个几何上的认识很有价值。数学知识的一个特点是抽象性强，很多学生会因此望而生畏。通过数轴，我们就能把连续计数这个很抽象的过程，转化成空间中可以看到的过程，非常直观。在数轴上，我们能找出自然数，还能找到分数和有理数，从而理解这些数的加减乘除。

我们再看伍教授讲运算法则，他说运算法则有一个贯穿的中心思想，就是把复杂问题分解成一个个简单的子问题，这也是研究数学的基本工具。在进行多位数计算的时候，把计算过程分解成许多步，每一步都只涉及一位数的计算。比如说多位数的乘法就要分解为九九乘法表中的计算。伍教授说，给孩子讲授运算法则时，必须强调运算法则是单调的、不用思考的。假如不强调这种单调，反而会丢掉了它们的本质。

伍鸿熙说，在数学中，定义极为重要，因为数学是一门精确的学科，人们需要精确地知道自己在讨论什么内容。这本书的目的之一，就是强调用精确的语言和精确的推理，得到逻辑严密的结论并解决具体问题。这本书会让一个家长在辅导孩子写作业时，对自己所讲的、对孩子所学的内容有清晰的判断，比如小学生学习分数，有点像科学家的“数据收集阶段”，先通过“分蛋糕”或者“半杯水”这样的现象，直观地了解什么是分数。等到了小学高年级，就需要对分数进行理论化的解释，帮助学生进入“建立理论阶段”。讲分数计算，就要开始强调数学的抽象成分，让抽象观念成为课堂教学的一部分。学生刚开始接触抽象概念，可能会听不明白，理解起来比较慢。这时候，老师宁可讲得慢一些，也要帮助学生真正地理解抽象概念。这样，当学生遇到复杂问题了，能够自己把它抽象成数学语言，理解问题的目的，其实也就掌握了数学的思维方法。

在伍教授看来，数学的连贯性非常重要，连贯性是数学的一种品质，一门连贯的课程，就要用一种连贯的方法来展示。数学知识的连贯性，就要求老师在数学教学中循序渐进，每个知识点既要为它做好铺垫，也要注意它与后续知识点的关联。首都师范大学的王尚志教授评价这本书——伍教授把中小学大部分数与代数的内容整合到一起，这体现了数学的基本思想：抽象、推理和模型。伍教授的做法，有助于小学数学教师从整体上掌握数学课程的目标，认识数学课程的内容。读者看这本书的时候，也会感受到，加减乘除等概念，从自然数，到分数、有理数、实数的演化过程都是连贯的，就可以从整体的观点来看待数。

我们凭借自己有限的数学知识，帮助孩子做出一道小学算术题，这不是什么难事。但要理解数学知识的连贯性，注重连续性的逻辑推导，一步步给孩子讲明白整个小学的数学课程，这绝不是一件简单的事。日本数学教育家米山国藏说：“数学是由简单明了的事项与逻辑推理的结合而一步一步地构成的，所以，学习数学的人注意老老实实地一步一步去理解，并同时记住其要点。”数学培养一个人的心思缜密。这本书是1913年动笔的，“作为一种消遣”，作者在第一次世界大战的头三年完成此书的主体部分。作者说，在战争中写作此书，才能更深体会柏拉图向德洛斯人所传递的真理——当德洛斯人向柏拉图请教倍立方体问题时，柏拉图回答：“必须假设，神并不是想让这个问题得到解决，而是希望希腊人放弃战争与邪恶，培养冥想的习惯，这样一来，他们的激情就会被哲学和数学纾解，他们就有可能天真无邪地生活在一起，友爱互助，彼此交流。”《伊庇诺米篇》中有这样一段话——“神当然完全知道，他教导我们的，我们在学习的：数和计算。如果他不知道，那他就缺乏智慧。如果他不喜欢一个有学习能力的人学习，不高兴一个人在神的影响下变得更好，那他自己实际上就不知道。”这意味着希腊人确信，宗教和科学真理之间不存在对立，希腊人有着“思维的明朗清澈”和思想的自由。计数法、数形、毕达哥拉斯学派的数论，人对数学的最初探索非常像一个孩子对数学的最初的兴趣。克莱因这样评价《几何原本》——欧几里得几何的创立，对人类的贡献不仅仅在于产生了一些有用的、美妙的真理，更主要的是它孕育出了一种理性精神。人类任何其他的创造，都不可能像欧几里得的几百条证明那样，显示出这么多的知识都是仅仅靠推理而推导出来的。这些大量深奥的演绎结果，使得希腊人和以后的文明了解到理性的力量，从而增强了他们运用这种才能获得成功的信心。受这一成就的鼓舞，西方人把理性运用于其他领域。神学家、逻辑学家、哲学家、政治家和所有真理的追求者，都纷纷仿效欧几里得几何的形式和推演过程。

我们对下面这句话很熟——“我们认为这些真理是不言而喻的：人人生而平等，造物者赋予他们若干不可剥夺的权利，其中包括生命权、自由权和追求幸福的权利。”这是美国《独立宣言》的第二段，这份宣言的撰写者以不言而喻的真理作为论证的开头，这些真理与作为任何数学体系的不证自明的公理有同等的作用，接下来推论——“为了保障这些权利，所以才在人们中间成立政府。而政府的正当权利，得自被统治者的同意。”克莱因说，这是18世纪广为人知的一份“数学性文件”。

简单而言，克莱因认为，希腊数学对西方文化的贡献就在于“演绎推理法”，这和以往埃及人凭借经验和归纳法获得的知识不一样，知道了三角的正切、正弦、余弦，就能测出地球直径，就能测出地月之间的距离，有了几何证明方法，就有了逻辑学中的矛盾律和排中律。克莱因由欧几里得出发，讲述绘画与透视、音乐与数学、射影几何与地图绘制，讲伽利略研究自然的定量方法，讲哥白尼、开普勒对宇宙定律的演绎推理，讲牛顿如何领悟飞逝的瞬间（微积分），他也讲述了洛克、休谟、边沁就人文科学提出的公理，他们根据演绎的方法推导出支配人类思想和行为的规律，但到头来，可能只有一条公理被世人所接受：人都是根据个人的利益而行动的。

徐光启在翻译《几何原本》时，曾做出评论，“惟尚理之所据，弗取人之所意”。理之所据，这一思想在康有为《实理公法全书》中得到体现，康有为此书讨论了“实”和“公”，谈到“几何公理之法”——“几何公理所出之法，称为必然之实，亦称为永远之实。人立之法，称为两可之实”。他认为，公理之法具有必然性，他在《实理公法全书》中运用此种叙述确立了自主、平等的现代原则。乔治·波利亚在《数学的发现》中说，高中课堂上的学生，未来的职业可能有三类：数学家，用到数学的人，不用数学的人。第一类人包括物理学家、天文学家、某些领域的工程师，他们只占学生比例1%，他们会用数学来思考。第二类是数学的应用者，而不是数学的生产者，他们占比为29%。第三类基本上不会用到超过小学水平的数学，70%的学生都属于这一类。老师要发掘那1%，对29%的学生进行技术训练，能把常识教好也不容易，这是为70%以后用不到数学的人做一件有意义的事。

我们大多数人成年之后不会用到小学水平以上的数学，一道初中数学题就可能难倒我们。但我们也需要一些数学思维。比如对大多数人来说，挣100块钱很容易，努力一下，挣1万块钱也不难，1万比之100，已经是100倍。但是，挣100万就很难了。1亿“小目标”就难如登天。不都是提升100倍，怎么变得越来越难？这里面就涉及“数量级”的概念，我们的头脑对乘法更为敏感吗？如果画一个从0到1亿的数轴，再标出100、1万、100万的位置，我们会发现，这三个点都在0附近，离1亿非常非常远。画一个从0到100万的数轴，1万也离0很近。如果画一个乘法数轴呢？乘法数轴和加法数轴有什么样的关系？对数就是这样建立起来的。《数学的雨伞下》是一本非常好看的数学知识普及书，第一章讲的就是数量级概念。这本书从《几何原本》讲到相对论，从曲折的海岸线讲到分形，帮助我们从数学的角度观察世界。