浅谈函数在高中数学中的应用

在初中教材中，对一次、二次、反比例函数进行了学习，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部分内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，要对他们的基本概念和基本性质（图像以及单调性、奇偶性、周期性）灵活应用，不但要对二次函数再深入学习，而且还要研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等。显然函数是高中数学的一个重要内容。函数的思想也贯穿了整个高中，具有极其广泛的应用价值。下面主要就高中数学常遇的几个方面入手，谈谈函数在高中数学中的一些应用。

一、进一步深入理解函数的概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后又重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数----二次函数为例来重新认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射ƒ：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为f（x）= ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生应用所学知识进一步处理如下问题：

类型I：已知f（x）= 2x2+x+2，求f（x+1）

这里我们可理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ：设f（x+1）=x2－4x+1，求f（x）

这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

（1）  配凑法：f（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2－6x+6

（2） 换元法：令t=x+1，则x=t-1  ∴f（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6从而f（x）= x2－6x+6

二、进一步深入领悟函数的思想方法

函数的思想方法就是按照RMI原则，把一个数学问题转化为一个函数问题，并利用函数的性质研究、解决问题的一种解题思想方法。它的具体思维模式可用下表刻画：

函数思想的最大的特点就是从变化、动态的观点来认识数学对象和它们的性质之间的关系，这能够更全面、深入地认识事物的本质，因此这种思想方法适应性广，可适用于数学的各分支，此类方法的一般步骤是：1、寻找等量关系求函数关系，2、寻找限制条件求定义域，3、由函数性质解决相应问题。

下面探讨一下函数思想方法在以下几个方面的应用：

1、在比较大小中的应用

对一些具备某种相同结构的数值进行大小比较，可通过构造函数，当作函数值并利用函数的单调性来比较大小。

例1、设 ， ， ，试比较 ， ， 的大小。

思路分析：设 ，利用导数可求 ， 单调递增； ， 单调递减。

因为 ， ， ，

所以 最大，又因为 ， ，所以 ， 所以

2、在最值（范围）问题的应用

此类题求解的基本方法是用函数来解决。

例2、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知（a＋b）（b－a）＝ab，且cos（A－B）－cos（A＋B）＝2sin2C.     （1）证明：△ABC是直角三角形；       （2）求 的取值范围.

思路分析：（1）（略）（2）由（1）知B＝ ，所以sin C＝sin（ －A）＝cos A.

所以 ＝ ＝sin A＋cos A＝ sin（A＋ ）.

因为c＜b，所以ac＜ab＝c2，所以a＜c，   所以0＜A＜ ，所以 ＜A＋ ＜ ，

所以1＜ sin（A＋ ）＜ ，     即 ＝ ＋1∈（2，1＋ ）.

3、在方程问题中的应用

函数与方程有密切的联系，可以说方程是函数的一个局部，而函数则包括方程的全部内涵，因此用函数的思想方法解决方程问题往往是一种很有效的方法。

例3、方程2x＋3x＝k的解在[1，2）内，则k的取值范围为    .

思路分析：令函数f（x）＝2x＋3x－k，则f（x）在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在（1，2）内时，f（1）·f（2）＜0，解得5＜k＜10.当f（1）＝0时，k＝5.综上，k的取值范围为[5，10）.

4、在不等式问题中的应用

由于函数反映变量之间的相互关系，由它的整体性，自然可反映变量间的不等情况，因此，不等问题可看成函数问题的另一个局部。利用函数思想方法，能更深入了解不等式问题的本质。

例4、若不等式ax2－x＋a>0对任意的x∈（1，＋∞）恒成立，则实数a的取值范围为________．

思路分析：当a＝0时，原不等式可化为x<0，易知不合题意；

当a≠0时，令f （x）＝ax2－x＋a，要满足题意，需   或

解得a≥ ，所以实数a的取值范围是 .

函数的内容涉及很广，当问题中涉及的一些关键量为变动的量时，往往转化为函数问题求解.如求某量的最值、范围问题等.此类题有意识地凸显其函数关系，进而用函数思想及函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平.