凸显运算律一致性的小学数学单元整体教学

摘 要 践行运算律“一致性”理念，引领学生体悟运算律在内涵、外延和运用方面的一致性，可以帮助他们找到蕴藏其中的通性通法，促进整体性建构，培养系统性思维，提升综合运用智慧，逐步培养学生的数感、运算能力、推理意识、模型意识等核心素养，体现单元整体教学的结构价值、思维价值和育人价值。

关  键  词 运算律；一致性；单元整体教学；小学数学

引用格式 冯桂群.凸显运算律一致性的小学数学单元整体教学[J].教学与管理，2025（05）：37-39.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联”，“整体设计，分步实施，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养”[1]。“运算律”是苏教版《数学》四年级下册的内容，为了落实单元整体教学，不少教师关注对运算律探究方法的整体架构，让学生在“猜想—验证—发现—总结—运用”中建构运算律模型；围绕主题对教学内容进行整合和重组，分为“知识种子课”“方法生长课”“思维拓展课”“问题解决课”“整理复习课”开展教学探索[2]。其实，在此基础上，我们更应践行长期被忽视的运算律一致性理念，关注运算律在内涵、外延和运用方面的一致性，帮助学生找到蕴藏其中的通性通法，生成结构化认知，培养系统性思维，促进整体性建构，进而在化难为易、化多为少、转知成智中达成减负增效、培育素养的育人目标。下面结合笔者的实践与思考谈谈如何紧扣运算律的一致性落实单元整体教学。

一、由变化维度凸显运算律内涵的一致性，促进整体性建构，体现单元整体教学的结构价值

“运算律”包括加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律以及乘法对加法的分配律，虽然这五大运算律的意义、表述、字母公式和实际运用等都不相同，但都是围绕数据位置、运算顺序或运算类型的变化来区别和定义的，其共同点是等值变形——不管外形如何变换，算式的结果始终是不变的。所以，“算式的变换”是本单元的核心概念，要聚集于算式中数据位置、运算顺序或运算类型的变化，凸显运算律内涵的一致性，从而提升运算律的辨识度，强化运算律的本质属性，实现对运算律的深度理解与整体把握，培育数感、模型意识、推理意识等核心素养，体现单元整体教学的结构价值。

1.由变化维度清晰界定运算律的内涵特质

“运算律”教学的第1课时是加法的交换律和结合律。按照观察算式、大胆猜想、自主验证、发现规律、表述规律的探究过程，学生能很快记住相应的字母公式。但数学学习不能止于表面、肤浅、零碎的浅层识记，而应尽快组织学生从“变与不变”的视角探讨这两大运算律的异同点，由此总结出：加法交换律是数据位置变而运算结果不变，加法结合律是数据位置跟运算结果都不变而运算顺序变。同时，为了强化这两大运算律的本质区别，应将加法交换律相应的字母公式扩展为三个运算对象，即a+b+c=b+a+c。这样，由字母公式a+b+c=b+a+c和（a+b）+c=a+（b+c）的形似而神异，进一步突显两者的异同之处：都是连加运算，和都不变；加法交换律只是数据位置变而运算顺序不变，但加法结合律是数据位置不变而运算顺序变。之后，让学生在具体实例中辨析和巩固。到了第4课时教学乘法交换律和结合律时，学生就会将连加运算律的学习经验和方法自然迁移到连乘的运算律中，通过类比建构乘法交换律和结合律的数学模型，显现深层次的勾连迁移能力。

教学第5课时乘法对加法的分配律时，教师同样要引导学生从变化维度来建构相应的数学模型。比如，当学生创生出分配律的字母公式（a+b）×c=a×c+b×c和（a-b）×c=a×c-b×c后，引导学生围绕数据位置、运算顺序、运算类型三个维度，深度比较分配律与交换结合律的不同之处：分配律中的数据位置发生变化，相同乘数要么出现在括号外面，要么会重复出现；运算顺序发生了变化，要么先加（减）再乘，要么先分别乘再加（减）；运算类型也从连加或连乘变为了乘加或乘减混合。

由此，围绕数据位置、运算顺序、运算类型这三个变化维度仔细观察等式的左右部分，学生更容易领悟形似神异的字母算律“表面结构所依附的、具有支配性的深层结构，整理与建构内容之间的秩序与意义，使之形成网状关系”[3]，使得五大运算律被遮蔽的深层内涵能清晰明了地呈现在学生面前。

2.由变化维度清晰建构运算律的整体认知图式

学生在学习运算律的过程中，不仅要紧扣“算式的变换”在同化和顺应过程中建构三类运算律的内涵特质、外在表征和实际运用等知识，还要跟减法和除法的两大性质以及相关的计算技巧关联和融合，建立散点之间的联系，借助全面梳理、巧算对比、唱说儿歌等方式及时建立深层结构网络，生成关于本单元的整体认知图式。

比如，在学生建构了三类运算律的字母模型后，笔者引导学生仍旧围绕数据位置、运算顺序、运算类型三大变化维度，自主生成有关减法和除法性质的字母公式：a-b-c=a-c-b（减数位置变，减数可以调位置，运算顺序不变），或a-b-c=a-（b+c）（数据位置不变，运算顺序变）；a÷b÷c=a÷c÷b（除数位置变，除数可以调位置，运算顺序不变），或a÷b÷c=a÷（b×c）（数据位置不变，运算顺序变）。同时，为了激发兴趣、加强记忆、方便提取，加速思维的自动化，笔者还组织学生将所学的数学模型创编成朗朗上口的儿歌，并在全班组织诵读比赛。

当相关的知识陆续学完后，创编的儿歌也像滚雪球般由一首变为多首，这样的积少成多不但没有成为学生学习的负担，反而更利于他们从整体和全局的维度掌握本单元知识，形成整体性、结构化的思维模式，让学生体验了运算规律的关联之美和数学表达的韵律之美。

二、由意义维度凸显运算律外延的一致性，培养系统性思维，体现单元整体教学的思维价值

刘加霞认为，紧扣算式的意义也就是加法、乘法的意义，判断两个算式之间能不能写“=”，不仅符合学生的学习兴趣，而且能潜移默化地培养学生的模型意识与代数思维，使知识目标与能力素养目标有机地融为一体[4]。实际教学中不难发现：学习以上三类运算律，学生最易混淆的是对乘法结合律和乘法对加法或减法分配律的外延区分。其实，紧扣乘法意义进行具体算式的分析，以上学习难点便可不攻自破，达成乘法类运算律外延的一致性——看有几个几相加，进而形成关于运算律的通性通法，体现单元整体教学的思维价值。

1.由乘法意义轻松搞定乘法分配律的丰富变式

笔者在实践中发现，只要让学生先确定谁是算式中的相同数，再思考有几个这样的相同数，不管面对什么样的题型变化，都不会有思维上的障碍。如在乘法分配律的新授课中，笔者先引导学生玩数手指的游戏并明确：一只手有5个手指，老师的两只手有2个5，列式是5+5或5×2，这里的5是相同加数；同座两人的手指数共有4个5，列式是5×4；加上老师的手指数就是5×4+5×2，这里的5既是相同加数，也是相同乘数，简称相同数；5×4+5×2表示4个5加2个5，一共是6个5，即5×4+5×2=5×（4+2）；接着，借助教材中“四、五年级共领多少根跳绳和两个年级相差多少根跳绳”的问题情境，在找寻“含有几个相同数”中共同建构分配律的字母等式（a+b）×c=a×c+b×c或（a-b）×c=a×c-b×c；然后，再次引导学生明确：等式中的c表示相同数，它要么出现了两次，要么在括号的外面；最后，在练习环节，尤其是错题订正中，笔者要求学生在等值变形中先用线划出相同数，再在算式下面标注出是几个这样的相同数相加减，判断算式左右是否相等。借助符号表征及言语表述，学生对算式变形中乘法意义的理解就在外显行为中彻底通透明晰了，达到了一通百通的学习效果。

2.由加法和乘法意义明确区分乘法结合律和乘法分配律

四则运算中加法表示把几个数合并起来的运算，而乘法是加法的简便运算，表示几个几相加。借助加法和乘法意义，可以将结合律和分配律区分得一清二楚。如当学生将25×（4×3）和25×（4+3）混为一谈时，可以先引导学生观察括号里的4×3和4+3在符号、意义和结果上的区别；之后，直接追问：25×（4×3）和25×（4+3）分别表示几个25相加，连乘的运算可以用什么运算律进行等值变形，乘和加的运算呢？如何详细标注思路？最后在拓展中启发：还有哪些连乘或乘加算式也表示12个25？表示7个25的呢？这样，学生在独立思考和小组交流中围绕算式的乘法意义——“含有几个25”，充分地进行思维聚合和发散，澄清了认知的错误，破解了学习上的难点，享受了举一反三、触类旁通的思考乐趣。

三、由思想维度凸显运算律运用的一致性，提升综合应用智慧，体现单元整体教学的育人价值

为了灵活应用运算律进行简便计算，提升简算意识和综合运用能力，学生需要数学思想的滋养和引领。教学实践中，笔者尝试让学生借助凑整思想[5]引发一题多算、一题多变等数学实践，提升学生的简算能力，培养学生的综合运用智慧，体现单元整体教学的育人价值。

1.由凑整思想引发一题多算，在求异求优求联中促活用

凑整是指通过算式中数据、计算、运算顺序等的变化，凑出整十、整百、整千等数，从而让计算变得简便、易算的思想方法。凑整思想是让计算变得简捷、方便的重要思路和思想，也是引导学生综合运用多种运算律进行灵活简算的重要抓手。比如计算25×36时，笔者就启发学生：如何拆分才能实现凑整，进而达成简算的目的？在独立思考和相互启发中，学生想到：可以将其中一个数依次拆分成加、减、乘、除的形式，进而实现凑整，达成简算。在有序列举中，学生想到了21种算法，展现了活学活用的巨大潜力；在算法多样的基础上，笔者进一步引导学生找到最优算法（25×4×9），同时打通算法之间的关联（围绕四则运算来有序拆分和尝试），促成思维上的求异、求优和求联。

2.由凑整思想引导一题多变，在求同存异中增智慧

面对乘法分配律的多种变式运用，同样可以借助凑整思想，让学生在一题多变中体验如何运用合与分的方法成功凑整并简算，进而获得“通一组会全部”的学习智慧。比如，笔者让学生练习一组由易到难的对比题：65×99+65×1、65×99+65、65×101-65、65×99、65×101，在观察、对比、思考和表达中，学生发现：这几道题中的相同数都是65，可以借助凑整解决问题。

总之，由变化维度凸显运算律内涵的一致性，由意义维度凸显运算律外延的一致性，由思想维度凸显运算律运用的一致性， 可以很好地实现单元整体教学的结构价值、思维价值和育人价值，帮助学生在内化运算律的过程中形成网状的整体性思维和深层次的勾连迁移能力，拥有结构化思维所呈现的整体性、关系性和迁移性[6]，从而突破运算律学习中的重重障碍。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：86.

[2] 陆晓楠.基于单元整体教学设计的“知识种子课”探索——《交换律》教学与思考[J].教育视界，2024（24）：8-11.

[3][6] 张泽庆，吴加奇，张春莉.新课标下小学数学单元整体教学设计的价值追求与要素分析[J].课程·教材·教法，2023，43（05）：102-108.

[4] 刘加霞.运算律的本质、内容进阶与教学建议[J].教学月刊小学版（数学），2023（12）：18-22.

[5] 高飞.数感在“追问”中生成[J].教学与管理，2013（26）：57-59.

[责任编辑：陈国庆]

*该文为国家社会科学基金2023年度教育学一般项目 “面向基层实践的义务教育数学核心素养结构模型与生成机制研究”（BHA230153）的研究成果