指向儿童高阶思维发展的数学一致性教学

【摘要】数学一致性教学立足于儿童高阶思维能力和核心素养的发展，采取整体设计，关联核心概念，沟通内在联系，把握知识本质，挖掘数学思想，实现认知在更高思维层面上的统一。开展一致性教学，可让儿童的认知体系能形成整体化与结构化，可让儿童能深入地理解和把握数学知识的本质与蕴含的数学思想，可以很好地促进儿童高阶思维能力与核心素养的发展。一致性教学与高阶思维能力发展的目标是一致的。数学一致性教学可以围绕“核心概念的统领”、“内在联系的沟通”、“数学思想的凝练”三个维度去开展与实施。

【关键词】一致性教学；高阶思维；核心概念；内在联系；数学思想。

数学教学在实施结构化教学的同时，要让学生在学习中充分感悟与理解学科知识本质的一致性，即立足于儿童高阶思维和核心素养的发展，采取整体设计，关联核心概念，沟通内在联系，把握知识本质，挖掘数学思想，实现认知在更高思维层面上的统一。“一致性”教学就是不同数学知识的学习，都可用同样的公认事实、基本概念、或基本原理与思想方法去解释，让不同知识或知识的各个要素融合成一个和谐的整体。实施一致性教学，可让儿童的认知体系能形成整体化与结构化，可让儿童能深入地理解和把握数学知识的本质与蕴含的数学思想，从而促进儿童思维能力与核心素养的发展，以有效地降低儿童的认知负荷和思维负担。

高阶思维是当前数学教学改革与研究的热点问题。通常认为，高阶思维是一种高层次、高水平的思维形式，是一种发生在较高认知水平层次上的心智活动或较高层次的认知能力。在布鲁姆教育目标的分类中表现为分析、综合和评价三个思维层次。数学是思维的体操，数学核心素养的形成依赖数学思维的发展，数学教学最终都要指向学生数学思维能力的发展，尤其是高阶思维能力的发展。《义务教育数学课程标准（2022版）》在“三会”中明确指出：“会用数学的思维思考现实世界。”郑毓信教授提出：“要在更高观念下指导与开展教学活动，要很好地渗透各种重要的数学思想与方法，包括高层次思维的发展，要超越具体知识和技能，深入到思维层面，用思维分析带动具体知识和技能的学习。”

综上可知，一致性教学与高阶思维发展的目标是一致的，都指向儿童思维能力与核心素养的发展，二者相互促进，相辅相成。践行一致性教学可以较好地促进儿童高阶思维能力的发展，因为一致性教学对应着众多的高阶思维能力要素，如：推理与归纳、关联与拓展、抽象与概括、评价与综合、发散与创新等；儿童高阶思维能力的发展需要抓手，一致性教学为高阶思维能力的落地生根提供了新的途径与视角。

在实际教学中，可以“核心概念的统领”为出发点、以“内在联系的沟通”为着力点、以“数学思想的凝练”为生长点，去开展与实施着眼于整体建构的、指向学科本质和高阶思维发展的一致性教学。

一、统领核心概念，感受内容一致性

马云鹏教授指出：“知识的关联是通过学科的核心概念来实现的。核心概念是打通知识之间关联的钥匙。” 数学核心概念是居于数学知识结构中心具有持久和迁移价值的关键性概念、性质、原理或思想方法等，其是高位、抽象和概括的，体现着数学内容的本质、内在的逻辑结构和思维特征。数学核心概念对理解和掌握相关数学知识不可缺少，其是学生理解数学知识、解决实际问题、感悟数学思想与形成结构化知识体系的关键，是提升思维能力与核心素养的主要抓手，是达到数学内容认知一致性的重要途径。

布鲁纳强调：“一门课程在它的教学过程中，应反复回到这些基本观念，以这些基本观念为基础，直至学生掌握了这些观念相适应的一整套体系为止。”因此，数学一致性教学就应该以体现基本原理的主题核心概念为统领，把一个或几个核心概念始终贯穿于整个学习之中并反复强化与不断运用，使得主题内零散的内容能建立起紧密地关联并形成整体性的结构，以有效地实现知识与方法的吸纳、建构、迁移与应用。

首先，应在概念的透彻理解中明晰出核心概念。

概念的学习特别是有关各种数的概念的学习是数学学习的重要基础。数的概念较多，即使有部分学生在生活中已经有所接触与了解，但这种了解还是比较片面与肤浅的，还达不到准确与透彻地程度，尤其是还未能提炼出有关核心概念从认知的一致性角度去理解和表达数的本质。

数学知识是人类漫长历史发展过程中不断的积淀与创造，是人类智慧的结晶，每个数学知识包括各种数的产生和发展都有其独特的背景与历史，并且人们对数的认识是不断深化和丰富的，数系也是逐步扩展的。因此，对于数的认识的教学，就不能让学生只根据各个数各自所具有的现实背景而简单地去理解其意义，那样学习就缺乏关联性，认知就缺乏整体性，思维水平就达不到高阶，而是需要我们帮助学生能从数的产生背景、数系扩展的内在逻辑和数的计数方法这三个方面去深入地厘清相关数的由来与发展、内在的关联与本质及其附有的文化属性与价值，以在对数的认识的不断深化中逐步地明晰和提炼出核心概念，实现在核心概念的统领下达到对数的认识的“一致性”。

例如，在教学整数时，可让学生理解整数是对生活中的数量的抽象而产生的，并且采用单位和具有位值的十进制方式来计数，可实现“有限”表示“无限”；在教学分数时，可以让学生明白是在等分物体或度量物体时得不到整数个而产生的，需要“细分”单位才能准确地表示数的大小；在教学小数时，可通过安排人民币或长度单位来解决实际的计数或度量问题时，需要用“十分”的方式来“细化”单位才能准确地表示数的大小，且其与整数连结比分数更加自然。这样，实现了用单位的计数和度量对数的产生背景认识的一致性，即它们都是源于对数量或数量关系的抽象，都需用单位来计数和度量，只不过整数是单位的逐渐累加，而分数和小数是单位的逐渐细化。

同时，在教学中要借助数的产生背景帮助学生理清数系扩展的脉络及其之间的联系，即整数是加1的运算，从1开始不断加1，满十进一，以致无穷，可归结为加法的运算。分数无论是“等分除”还是“包含除”得到的数，都是一种“新”数，是为了表示两个数相除商不是整数的情况，可归结为除法的运算。而小数是从1开始的细化，是特殊的分数，是整数十进制体系向相反方向的拓展和延伸，且运算比分数更为方便。这样，学生可从整体上理解了整数、小数和分数之间的内在逻辑关系的一致性，即数系扩展是数的运算的需要。

在此基础上，再运用“计数单位”这个核心概念，从整体上对各种数的计数方式进行一致性的解释，帮助学生真正形成对于数的认识的本质理解。但由于“计数单位”这个核心概念相对较抽象，所以教师应该根据学生的年龄特点和认知规律帮助学生逐步地去明晰和提炼，并需在数的意义学习中初步认识、在数的读写中深化理解、在数的大小比较中强化应用。比如整数认知，在低年级教学20以内整数时，可借助小棒等实物来直观理解数的意义与满十进一，初步了解数位、位值及其单位“个”与“十”，再通过数的读写与大小比较深化对单位的认识。如，从9开始，一个一个的加分别是多少？11表示什么？怎么读？两个1的意思一样吗？11与13谁大？……在教学万以内的整数时，可借助计数器理解数的意义、计数单位和“十进制”计数方式，并在数的读写、大小比较等中凸显计数单位的应用与价值。如，从99开始，一个一个的加分别是多少？从900开始，一百一百的加分别是多少？6345其是由几个千、几个百、几个十和几个一组成的？怎么读？要读出什么和什么？ 6345与6341谁大？……在中年级教学较大的整数时，可借助数位顺序表继续用“计数单位”去帮助学生理解与掌握数的意义、分级、读写、大小比较以及“十进制”计数体系等，理解其计数方式的实质是表示整数计数单位个数的多少，并与低年级的学习形成一致性。如，3个忆、8904个万和5708个一组成的数是多少？怎么读？与89045708相比谁大？……对于分数和小数认知，同样类比整数的教学，让学生理解它们计数方式的实质也都是表示计数单位个数的多少。最后，在总复习时，可借助于直观图形用核心概念“计数单位”来统领整数、分数和小数的计数方式：806345=8×100000+0×10000+6×1000+3×100+4×10+5×1，，0.33=3×0.1+3×0.01……在这样的比较和联系中，学生就能整体地理解它们计数方式的一致性，即都是用“计数单位”的个数来表达数的大小的。

当我们用了研究对象+式的认识方式来逐步深化对数的认识，即从数的产生背景，数系扩展的内在逻辑和数的计数方式这三个维度来理解数的认识之后，就会帮助学生打通数域之间的关联，理清数之间的内在联系，达到对数的意义的全方位的、透彻地本质理解，并认识到核心概念的统领价值，从而能站在更高地思维层面上用“计数单位”帮助学生实现数的认识的一致性。

其次，应在算理的多元表征中概括出核心概念。

运算教学不仅要掌握算法，更要理解算理。离开算理支撑只知道算法，计算就是空中楼阁，学生就会走不稳行不远。没有提炼算法只理解算理，计算就没形成技能，学生就会走不快行不准。并且算理的理解方式不能单一，必须是多元的表征，要从“数”和“形”两方面去把握，才能丰富与深化学生对运算核心概念的本质理解。

虽然小学数的运算内容众多、形式复杂，不仅涉及加减乘除四则运算，以及整数、小数和分数形态，还涉及各种运算律和性质，但是它们还是可用“计数单位”这个核心概念来统领并实现算法提炼与算理理解学习的一致性。因为，数的运算是以数的认识为基础并且与数的认识紧密地融为一体的，同时四则运算之间的联系也是紧密的，它们相互依存并互为可逆。因此，在教学中应避免将各种数的运算割裂开来各说各理，而是应该从其局部和整体这两个方面并借助计数单位来理解运算本质的一致性。

首先，需联系数的认识概括核心概念来理解运算本质的一致性，实现思维从感性具体到理性具体的上升。如，在教学整数、小数和分数的加减法时，可创设具体情境借助竖式和算式结合数的认识运用实物图形表征和言语表征来理解计算过程，并在横式中概括算理、在竖式中提炼算法，即它们都是相同数位对齐或分母相同才能相加减，其一致性的本质就是用相同的计数单位才能做加减；再如，在教学整数、小数和分数乘法时，也可创设具体情境借助实物图形表征和言语符号表征，让学生结合数的计数方式通过比较和观察理解算理，概括出它们的运算过程和结果都是：“（计数单位×计数单位）×（计数单位个数×计数单位个数）”，即“新的计数单位×新的计数单位个数”，如图所示；对于除法，我们可联系除法的两种意义“等分除”与“包含除”，结合多元表征让学生在充分理解算理的基础上概括出算法：“（计数单位÷计数单位）×（计数单位个数÷计数单位个数）”，即“新的计数单位×新的计数单位个数”。如，80÷4=（10÷1）×（8÷4），0.3÷0.02=（0.1÷0.01）×（3÷2），÷=（÷）×（  / × 。虽然数的形态不同，但从运算的局部来看，同一形式的运算其本质是一样的，都能在核心概念“计数单位”的统领下实现运算的一致性。

其次，需利用四则运算之间的联系概括核心概念来理解运算本质的一致性，实现思维从理性具体到理性一般的上升。正整数是加1的结果，可知加法是所有运算的基础，所有运算都可以还原为加法。因此，可利用数轴进行图形表征，知道加法在数轴上就是计数单位向右移动不断累加的结果。减法是加法的逆运算，在数轴上就是计数单位向左移动不断累减的结果。乘法是加法的简便计算，在数轴上就是一群数向右移动不断累加的结果。除法是乘法的逆运算也是减法的简便计算，其在数轴上就是一群数向左移动不断累减的结果。虽然运算的形式有很多，但从运算的整体来看，它们之间是紧密联系的，还是都能在核心概念“计数单位”的统领下实现运算的一致性。

立足于数的运算的局部和整体，通过多元表征，联系数的认识，沟通不同运算之间的关联，建立系统地数学结构，统领核心概念“计数单位”，在算理理解和算法提炼的过程中，以及推理能力尤其是高阶思维能力的提升中，让学生充分感受数的运算的内容一致性，即数的运算都是计数单位的运算。

再次，应在方法的自主迁移中归纳出核心概念。

在新知的学习中，教师应该充分利用学生已有的经验、知识和思想方法来实现学习的自主迁移。在迁移的过程中，要引导学生寻找新旧知识之间的联系，辨别新旧知识之间的区别，归纳出能统领新旧知识的核心概念，实现对新知的深度理解、问题的自主解决和认知的一致性认识。