小学数学理解教学中数学经验的再生

摘 要 数学理解是表征数学概念和数学结构的内部体系的结果。数学经验再生，是在直接感性基础之上经过学习者个体自我反思、加工而形成的，是个体对数学活动过程的重新认识。小学数学理解需要在工具性、关系性、创造性和文化性四个方面进行数学经验再生，促进数学理解达成。

关  键  词 数学理解 数学经验 经验再生

引用格式 夏常明.小学数学理解教学中数学经验的再生[J].教学与管理，2023（26）：42-43+64.

小学数学教学需要致力于发展学生对数学的理解。数学理解是对知识本质的认识，是表征数学概念和数学结构的内部体系的结果。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下称《2022年版课标》）指出，数学理解是指学生能够描述对象的由来、内涵和特征，阐述此对象与相关对象的区别和联系[1]。数学理解本质上是一种综合能力，学习过程中，学生对数学概念形成清晰的心智表征；迁移运用中，学生对数学结构建立清晰的表象认知。小学数学理解包含工具性理解、关系性理解、创造性理解和文化性理解四个方面。[2]数学经验再生，是在直接感性基础之上，经过学习者个体自我反思、加工而形成，带有明显的再抽象、再加工痕迹，是个体对数学活动过程的重新认识[3]。数学理解中的经验再生，就是学生经历工具性、关系性、创造性和文化性数学理解的过程。只有建立知识体系结构，重视数学经验再生，才能发展数学理解，提升核心素养。

一、工具性理解中数学经验的再生

工具性理解是学生依据已有经验，概括和归纳数学概念意义，描述概念特征，促进生活经验与学习活动有效对接，形成数学经验再生。小学生正处于知识传承和模仿学习阶段，已有经验是零星、模糊、生活的，甚至毫无数学意义，但这些正是开展工具性理解不可或缺的基础。数学经验的再生，不会凭空产生，而是具有一定的连贯性和方向性。教师要准确地将学生已有经验与数学理解对接，以直观形象的方式展现概念本质，让学生亲历数学概念的形成过程，通过逻辑思维理解概念表征。工具性理解中的数学经验再生，为数学理解的更好发展提供了保证。

如教学“10的认识”。师：哪个计数器表示出了10？生：第一个计数器，十位上的10颗珠子，表示10个十，没有表示出10；生：第二个计数器，个位上10颗珠子，表示10个一，就是10；生：第三个计数器，十位上1颗珠子，表示1个十，个位上没有珠子，就是0，与10一一对应起来。师：如何表示比10更大的数？生：像计数小棒一样，十个一捆，就在十位上画一个，个位上珠子去掉，满十进一，也就是十进制计数法；生：十位上1颗珠子表示1个十，10颗珠子表示10个十，根据满十进一，十位的左面需要有更大的计数单位；生：个位和十位上没有珠子，百位上有1个珠子，表示1个百。

教师从学生已有知识经验出发，通过在计数器上画珠子感受10的实际意义，引发学习心理需求。学生通过实物表征理解计数单位，尝试扩展数的概念，经历从具象到抽象的数的认识过程，再生数的本质概念的数学经验。此外，丰富学生数感的同时，再生由位值制构成数的体系的数学经验。学生对数的认识的工具性理解过程，本质上是数学经验的表征过程。

二、关系性理解中数学经验的再生

关系性理解是学生能够对数学定义与公式进行分析验证，将数学知识与已有经验进行逻辑联结，关联高级结构形式，建构完整知识体系。数学知识具有系统性和关联性，同“质”的数学知识，不同学段安排了层次不同的“量”[4]。随着学段变化，学生逐步了解相关数学定义、公式及其推导过程，螺旋上升，掌握数量关系与图形变化之间相互关联，从而形成完整结构体系。教师要引导学生处理好“质”与“量”关系，立足大概念单元教学视角，把孤立“量”的知识点置于整体“质”的数学体系中，从不同角度、不同层次建立逻辑联结。数学知识不断逻辑联结的过程，也是数学经验拓展再生的过程，将进一步促进学生的数学理解。

如教学“小数四则运算”。师：在小数乘法中，乘积的小数点是如何确定的？小数除法呢？生：7.8×5=（0.1×78）×（1×5）=（0.1×1）×（78×5），（0.1×1）得到新的计数单位0.1，（78×5）是计数单位0.1的个数；生：7.8×0.5=（0.1×78）×（0.1×5）=（0.1×0.1）×（78×5），（0.1×0.1）得到新的计数单位0.01，（78×5）是计数单位0.01的个数；生：小数乘法中，计数单位乘以计数单位，获得新计数单位；个数乘以个数，获得新的计数单位的个数；生：小数除法中，计数单位和计数单位相除，得到新的计数单位，个数和个数相除，得到新的计数单位个数；生：小数加减法和小数乘除法运算形式不同，算理相同。

《2022年版课标》指出：数的运算教学要注重对整数、小数和分数四则运算的统筹，从整体上理解和掌握运算的算理和算法，认识计算方法的共性与差异。小数四则运算具有“质”的关联性：相同计数单位个数的运算、加减乘除之间存在关联。学生建立“数与运算”一致性感悟是“量”的渐进过程，并再生算法与算理统整融合的数学经验。在“数与运算”的“质”与“量”的螺旋上升中，学生达到小数与整数四则运算关联结构水平，形成关系性数学理解目标。

三、创造性理解中数学经验的再生

创造性理解是学生能够将数学经验运用于不同情境下的数学问题，提出新假设，进行新验证，学会举一反三，解决复杂问题。创造性理解能够引起数学经验的变化和更新，改进和产生新的数学问题，有利于学生创造性思维的发展。创造性理解具有创新特征，仅凭单纯记忆和机械模仿很难实现，需要将表面混乱无序的数学知识与已有经验创新关联，揭示彼此之间本质特征，实现对数学知识的创新理解。在创造性理解中学生能够主动发现数学问题，提出系列假设验证，归纳总结内在关联，建立科学数学模型，再生解决数学问题的经验，感悟到创造性理解的内在价值。

如教学“真分数和假分数”。生：真分数和假分数是表示相对意义的量，假分数是针对真分数来说的，表示分数有两种不同意义；生：分子等于分母的分数，结果等于1，应该属于真分数，不属于假分数；师：假分数假在哪里呢？生：真分数是根本，假分数是带着整数的真分数，如果去掉整数部分，剩下的就是真分数；生：小数中，纯小数和真分数一一对应。0.9999999……是纯小数，但0.9999999……结果等于1，说明分子等于分母的分数应该属于真分数；生：自然数中，0是特殊的自然数，那么， 应该是真分数，相对应的  也应该是真分数，因为  和  是一种特殊的真分数。

如果只是让学生机械区分“分子比分母小的分数是真分数，分子比分母大或相等的分数是假分数”，就是将学习停留在模仿阶段，没有深入地创造性理解。针对“分子等于分母的分数是不是真分数”这一问题，学生以原有经验为基础，综合运用分数意义、分数单位、极限思想，创造性地对分数分类进行逻辑验证，创新呈现问题成果。学生对0.9999999……是纯小数，结果等于1进行验证，再生由小数分类将分数重新分类的数学经验；运用0是特殊自然数，论证分子与分母相等的分数是特殊的真分数，再生由辩证统一将分数重新分类的数学经验。学生创造性理解分数本质，重新建构真假分数概念，再生数学经验，深化思维品质。

四、文化性理解中数学经验的再生

文化性理解是超越知识认知与常规技能层面的掌握运用，深刻领悟到知识背后的理性数学精神和人类文化，是数学理解的最高目标。数学学习活动中，不仅要关注数学知识与方法技能的获取，还要关注情感态度、人文理解、问题解决和实际运用的同步发展。

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文化性理解水平高的学生，能够感受人类文化对数学学习活动产生的影响，在追求数学理性精神和科学思维的过程中加深人文理解。学生感受人文精神的同时，再生文化性理解经验，提升核心素养发展水平。

如教学“乘法计算”。师：如何进行乘法计算？生：列竖式计算，进位数字和退位数字都能够参与计算，要求从低位算起；生：画线乘法，用交叉线交点的个数来表示结果；生：铺地锦方法，处于同一条斜线上的数字可以直接相加减。师：不一样的方法，各有什么特点？生：画线算法直观简便，当数字比较大的时候，得画多条线，比较麻烦；生：铺地锦的计算过程可以从低位开始，也可以从高位开始；生：列竖式只能从低位开始乘起；生：三种计算方法都是采用同位数相加的方法；生：画线法和铺地锦方法都可以从高位乘起，很容易在进位退位时出错，所以竖式计算统一采用从低位算起。

基于数学问题情境，教师引导学生调动已有经验，触发理性思维，再生数学经验，为文化性理解做好准备。乘法计算中，竖式计算是常用方法，画线和铺地锦方法是原型。在古今方法比较中，学生再生不同计算方法具有相同算理的数学经验；在特征关联中，学生再生竖式计算与画线和铺地锦一脉相承的数学经验。针对乘法计算的巧妙创设，鼓励学生文化性理解，从中关联算理特征，实现理性思维经验的再生，保证文化性理解能够顺利进行。

综上所述，学生经历工具性理解、关系性理解、创造性理解和文化性理解，在感性基础之上，对数学经验进行再抽象、再加工，实现个体对数学活动过程的重新认识。同时，学生依据已有数学经验，针对现实生活中的实际问题，进行合理解释、证明、推理和迁移，实现数学知识的具体应用，达成数学理解目标，促进数学核心素养发展。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育阶段数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：181.

[2] 李春雷，于凤来.数学理解水平的划分[J].数学教育学报，2022，31（04）：68-73+97.

[3] 王林.我国目前数学活动经验研究综述[J].课程·教材·教法，2011，31（06）：43-49.

[4] 夏常明.小学数学建模教学中数学经验的再生[J].教学与管理，2020（20）：43-45.

［责任编辑：陈国庆］