核心概念统摄的“倍数与因数”单元整体构析与教学建议

摘 要 数论是小学数学中非常重要的核心内容，主要体现为“倍数与因数”单元内容的学习。数论的教学既要帮助学生从倍数与因数的视角纵深认识非零自然数的特征性质，又要帮助学生认识数理论证独特的教育价值。本文以北师大版小学数学教材编排为依托，重点讨论核心概念统摄下数论单元整体教学建构的育人价值及以倍数与因数为核心的数论内容的核心内涵，以期深度理解课程内容之间的联系，整体把握核心本质问题，进阶设计学习活动任务，同时结合相关内容主题实践提出数论单元教学实施的建议。

关  键  词 数论 倍数与因数 单元整体教学 核心概念

引用格式 董文彬.核心概念统摄的“倍数与因数”单元整体构析与教学建议[J].教学与管理，2023（29）：49-53.

数论是小学数学的核心内容，主要体现为“倍数与因数”单元内容的学习。按 《义务教育数学课程标准（2022年版）》指向，倍数与因数是“数与代数”领域中“数的认识”主题下第三学段的学习内容[1]。倍数与因数作为数论的主要载体，是学生数的认识的一次重大提升，在学生数概念的形成与发展中具有十分重要的作用。以“倍数与因数”为核心的数论内容在小学数学中内涵独特、内容生动且极具理性思维的光芒，数论的教学既要帮助学生从倍数与因数的视角纵深认识非零自然数的特征性质，又要帮助学生认识数理论证独特的教育价值。本文以北师大版小学数学教材为依托，重点讨论核心概念统摄下数论单元整体教学建构的育人价值及以“倍数与因数”为核心的数论内容的核心内涵，以期深度理解课程内容之间的联系，整体把握核心本质问题，进阶设计学习活动任务。

一、核心概念统摄：数论单元整体教学建构的育人价值

以核心概念为统摄，笔者首先对“数的认识”主题内容进行了系统梳理与划分，主题学习内容结构图如图1。

对“数的认识”之所以这样划分，依据的是数的认识中的核心概念。整数（自然数）、小数、分数认识中的核心概念都是计数单位，整数、小数的计数单位都是天然的十进关系，分数的计数单位是分数单位，需要重新建构。其中，认识整数的另一分支的核心概念是倍数与因数，以倍数与因数这两个核心概念及其内在联系为线索，组织数论部分的知识内容，从数的特征视角完成对整数（这里特指非零自然数）的深入再认识。由此，笔者以倍数与因数这一组核心概念为主线，以北师大版小学数学教材编排为依托，对数论部分的内容进行了单元整体教学建构（如图2），进而实施各主题下具体内容的进阶教学。

数论是小学数学“数的认识”主题中比较生动且独特的内容。数论也即论数，确切地说，是对非零自然数的特征性质进行的深入探究、推理和论证。一方面，数论这部分内容触及了数的“肌理”，是从特征层面对非零自然数（即正整数）性质的再认识，促进了学生数概念的形成与发展；另一方面，数论通过倍数与因数相关核心概念知识的建构学习，体会数的“外貌特征”与“内在性格”，感悟数的“共性”与“个性”，发展学生的数感、抽象思维，培养合情推理的能力、论证能力，在问题解决中培育数学的思维方式、思维习惯和理性的科学精神。

二、触摸“肌理”：数论单元内容核心本质的内涵分析

1.数论单元内容从性质特征视角为数的认识提供全新的“横断面”

在小学阶段，数的认识主要包括整数（自然数）、小数和分数的认识，这三类数都是以计数单位这一核心概念为主线分学段、分内容进阶认识的。在这条主轴线中，如果纵向轴切开，其实每种数都有另一个认识的“横断面”——从数的性质特征的视角来横向认识这一类数，小数有小数的性质，分数有分数的性质，那么整数也有整数的性质——即非零自然数的倍数和因数特征。通过计数单位纵向认识、建构数概念，再通过数的性质特征横向认识和建构数概念，这样从纵、横两个视角完成对数的立体、完整而深入的认识，促进儿童数概念的建立、形成与发展。数论单元内容即是通过探究、论证数的倍数和因数特征，从横断面的角度完成对整数（非零自然数）的完整认识。

2.以核心概念为数论单元主线构建数学知识体系和思维体系

数论在小学阶段主要是以“倍数”和“因数”这两个核心概念为主线构建单元课程内容并进行单元主题教学的。以北师大版教材编排为例，首先让学生“初步认识倍数与因数”，然后分别通过“探究倍数”和“探究因数”两条主线进一步探索认识非零自然数的倍数和因数特征。

在“初步认识倍数与因数”的起始主题课中，考虑到顺应学生的认知规律和理解水平，教材是通过问题情境，利用乘法来引导学生认识倍数与因数的，即借助乘法算式中积与乘数的关系来认识倍数与因数的含义、判断倍数与因数、找一个数的倍数，以及体会一个数的倍数的个数特征是无限的。当然，在探索找一个数的倍数中，除了运用倍数与因数的意义之外，也可以引导学生借助“整除”的概念寻找，“整除”概念为理解倍数与因数这一对相互依存的概念提供了另一种角度，可以丰富学生对数概念的认识。

在“探究倍数”的主题中编排了“2、5的倍数特征”“3的倍数特征”内容。分别借助“百数表”探索、发现和验证2、5的倍数特征和3的倍数特征，并在2的倍数特征基础上建立奇数和偶数的概念。在“探究因数”的主题中编排了“找因数”“找质数”。“找因数”借助拼图体会一个数的因数与长方形面积之间的关系，进而探索寻求找一个数全部因数的方法——即利用乘法算式（倍数与因数的含义）或利用除法算式（整除的视角）找因数，并体会一个数的因数的个数是有限的；“找质数”也是借助拼图探索发现小正方形的个数与拼成的长方形的种数以及因数个数之间的关系，进而建立质数与合数的概念。质数与合数的核心本质是反映一个数的因数的个数特征。

需特别强调说明的是，笔者建议将教材在“分数的再认识”单元中的“找最小公倍数”和“找最大公因数”内容分别前置统整到数论单元“探究倍数”与“探究因数”的主题下，设置“公倍数与最小公倍数”和“公因数与最大公因数”两个分主题进行教学。这样调整的理由有二：一是“公倍数与最小公倍数”“公因数与最大公因数”本身就是数论知识体系的内容，“公倍数与最小公倍数”是对两个及以上的数的倍数特征的探究，“公因数与最大公因数”是对两个及以上的数的因数特征的探究，将这两部分内容前置可以帮助学生更完整地认识非零自然数的倍数与因数的特征性质，增加对整数认识的“横断面”的宽度与厚度，进而帮助学生更系统地构建数学知识体系和思维体系。二是“公倍数与最小公倍数”“公因数与最大公因数”本身所具有的学科育人价值。北师大版教材将“找最大公因数”编排在“分数的基本性质”与“约分”两个内容之间，将“找最小公倍数”编排在“分数的大小”之前，其直接意图是帮助学生寻找分子分母的公因数或最大公因数以准确而快速约分，或者帮助学生寻找几个异分母分数的分母的公倍数或最小公倍数（即确定公分母或最小公分母）以准确而快速通分比大小。但教材这样的编排显然弱化了“公倍数与最小公倍数”“公因数与最大公因数”本身所具有的数学价值和教育价值，因为这两部分内容绝不只是用来支撑学生约分或通分比大小的学习，它们在现实生活中有非常丰富的问题情境，都可以将这些问题数学化地抽象为“公倍数与最小公倍数”“公因数与最大公因数”的数学模型，并将其广泛地应用于解决现实生活世界中的实际问题，这才是这两部分知识内容所具有的独特而深刻的育人价值体现。

三、以“理”论“数”：数论主题教学实施的几点建议

1.引入直观模型，注重以几何直观的方式探究数的特征

几何直观是一种数学学习与问题解决的工具，教学中要通过各种数形结合活动，帮助学生养成利用图表表示数的概念、运算与关系的习惯，描述问题的本质，分析思维的路径[2]。在设计数论单元主题教学的核心学习活动中，建议引入直观模型，注重以几何直观的方式探究、发现数的特征。比如2、5、3的倍数特征是比较抽象的，“百数表”提供了具有某类数特征的一群数，能够帮助学生通过观察比较发现它们的特征，为此教学中可借助“百数表”的结构特点从不同视角帮助学生认识2、5、3的倍数特征。

另外，还可以借助计数模型来探索、解释数的特征。比如，在探究“5的倍数特征”中，可以引入直观模型帮助学生解释“45为什么是5的倍数”“123为什么不是5的倍数”，以形成对5的倍数特征的直观认识。

此外，还可以尝试借助直观图形探索发现数的特征。比如在“找因数”“找质数”的主题学习中，可以尝试借助“用小正方形拼长方形”的活动，通过拼图体会一个数的因数与拼的长方形的面积之间的联系来探索找因数的方法，通过拼图探索发现小正方形的个数与所拼的长方形的种数以及因数个数之间的关系来认识质数与合数，建立质数与合数的概念。引入直观模型，运用数形结合以几何直观的方式把抽象的概念直观化，可以帮助学生建立和形成数概念。

2.强化以“理”论“数”，注重以代数推理的方式释论数的特征

数学是讲道理的，特别是数论单元学习更要强化以“理”论“数”，启发学生讲清楚发现的数的特征背后的道理。在小学阶段，无论是“数与代数”还是“图形与几何”，学生论证一个数学规律、模式、特征基本上都采用不完全归纳法，这也符合儿童数学学习的认知规律。但在小学高年级（即第三学段）引导学生体会数学规律、特征由“个”走向“类”，由“个”走向“群”，由“特殊”走向“一般”，由“特例”走向“普适”是十分必要的。引导学生由“个例”走向“群类”，将非零自然数作为一整类研究对象进行讨论，基于数的组成、计数单位、位值、十进制等核心概念来推理、论证数的特征背后的道理，以代数推理的方式释论数的特征。

探究“2、5的倍数特征”时，在借助百数表初步发现2、5的倍数特点之后，可进一步追问：为什么个位上是0或者5的数就一定是5的倍数，而个位上是其他数字的数就不是5的倍数？为什么个位上是0、2、4、6、8的数就一定是2的倍数，而个位上是其他数字的数就不是2的倍数？比如，引导学生从两位数开始讨论，个位上是0的数都是整十数，不管十位上的数字是几，整十数这样的数都是5的倍数。由此可以扩展至个位上是0的三位数、四位数……多位数，不管百位、千位……其他数位上的数字是多少，这样的数都可以写成由几个十、几个百、几个千……组成的数，由于10、100、1000……都是5的倍数，由几个十、几个百、几个千……组成的数也一定是5的倍数，即个位上是0的数都是5的倍数。个位上是5的数都可以写成由几个十、几个百、几个千……和5组成的数，如前所述，由几个十、几个百、几个千……组成的数一定是5的倍数，而5本身又是5的倍数，因此个位上是5的数一定是5的倍数。即一个数是不是5的倍数只要看个位数字是不是5的倍数即可，而0和5之外的其他数本身都不是5的倍数，因此个位上是0和5之外的其他数字的数都不是5的倍数。同样，个位上是0的数都是整十数一定是2的倍数，个位上是2、4、6、8的数都可以写成由几个十、几个百、几个千……和2、4、6、8组成的数，由几个十、几个百、几个千……组成的数一定是2的倍数，而2、4、6、8本身即都是2的倍数，因此个位上是2、4、6、8的数也一定是2的倍数。即一个数是不是2的倍数只要看个位数字是不是2的倍数即可，而1、3、5、7、9这些数本身都不是2的倍数，因此个位上是1、3、5、7、9的数都不是2的倍数。

在探究“3的倍数特征”时，也可以通过数的组成、计数单位、位值、十进制等概念知识来解释、推理、论证“为什么各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数”。比如，12是由1个10和2个1组成，即12＝10+2，10可以分解为9加1，即10＝9+1，9是3的倍数，十位上分出来的1和个位上的2重组在一起正好是3，即1+2＝3，3是3的倍数，所以12是3的倍数。48是由4个10和8个1组成，即48＝4×10+8，每个10都可以分解为9加1，4个10可分解为4个“9加1”，这里的每个9都是3的倍数，十位上分出来的4个1组成4，和个位上的8重组一起正好是12，即4+8＝12，12是3的倍数，所以48是3的倍数。再比如435是由4个100、3个10和5个1组成，即435＝4×100+3×10+5，每个100都可以分解为99加1，4个100可分解为4个“99加1”，这里的每个99都是3的倍数，百位上分出来4个1；每个10都可以分解为9加1，3个10可分解为3个“9加1”，这里的每个9都是3的倍数，十位上分出来3个1；百位上分出来的4个1组成4、十位上分出来的3个1组成3和个位上的5重组一起正好是12，即4+3+5＝12，12是3的倍数，所以435是3的倍数。由此可扩展至四位数、五位数等多位数的情况继续推理：千位上的数字是几就表示几个千，而每个千都可以分解成999加1，即1000＝999+1，几个千就可以分解为几个“999+1”，而每个999是3的倍数，这样千位就分出来几个1；同样，万位上的数字是几就表示几个万，而每个万都可以分解成9999加1，即10000＝9999+1，几个万就可以分解为几个“9999+1”，而每个9999是3的倍数，这样万位就分出来几个1；以此类推，最终只要把各个数位上分出来的“几个1”加在一起，看和是不是3的倍数，这样就可以判断这个数是不是3的倍数，即判断一个数是不是3的倍数只需看各个数位数字之和是不是3的倍数。学生可由此迁移经验进一步自主探索论证9、4等数的倍数特征。