“图形与几何”课程内容的几何类型、教学逻辑和育人价值

摘 要 图形与几何是义务教育阶段学生数学学习的重要领域，从几何学视角看，主要涉及直观几何（实验几何）、度量几何、推理几何（演绎几何）、运动几何（变换几何）、坐标几何（解析几何）和投影几何六种类型。“图形与几何”课程的教学逻辑遵循从直观走向部分、从一维走向三维、从猜想走向求证、从模糊走向精准。“图形与几何”课程的育人价值基于不同几何类型的特征和它们之间的内在关联进行统整，有针对性采用多种不同育人方式不断提升学生量感、几何直观、空间观念和推理意识等数学核心素养。

关  键  词 小学数学 图形与几何 几何类型 教学逻辑 育人价值

引用格式 董锐，席爱勇.“图形与几何”课程内容的几何类型、教学逻辑和育人价值[J].教学与管理，2022（26）：37-40.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》于2022年4月正式颁布，这次修订以核心素养为导向确立课程目标，遴选设计结构化课程内容，明确学业质量标准和课程教学实施要求[1]。“图形与几何”是学生数学学习的重要领域，对其课程内容进行几何类型分析，厘清教学逻辑和学科育人价值，让新课标修订思想落地生根，具有很强的现实指导意义。

一、“图形与几何”课程内容的几何类型

小学数学“图形与几何”领域课程内容从几何学视角看，主要涉及直观几何、度量几何、推理几何（演绎几何）、运动几何（变换几何）、坐标几何（解析几何）和投影几何六种类型[2]。直观几何主要包括常见三维立体图形、二维平面图形、一维线和零维点的直观认识和特征关系把握;度量几何主要包括长度（周长）、角度、面积、体积和容积的度量;推理几何主要包括三角形基本性质的发现推理过程，常见图形周长、面积和体积计算公式的推导过程等;运动几何主要包括轴对称、平移、旋转、图形的放大和缩小等;坐标几何主要包括位置与方向、用数对确定点的位置、用方向和距离确定物体位置等;投影几何主要包括能说出立体图形中的某一个面对应的平面图形名称，能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体，对于简单物体能辨认不同方向（前面、侧面、上面）的形状图等。这六种几何类型，学段之间内容相互关联、螺旋上升、逐段递进。各学段具体课程内容和对应几何类型见表1。

二、“图形与几何”课程内容的教学逻辑

1.从整体走向部分

直观几何的内容遵循从整体直观感知走向部分精细分析的教学逻辑[3]。第一学段按照“体—面—线—点”的顺序进行整体直观感知，首先安排长方体、正方体、圆柱和球的整体直观感知;随后安排长方形、正方形、平行四边形、三角形和圆的整体直观感知;接着安排角和线段的整体直观感知，都是选用学生身边熟悉的素材，鼓励学生动手操作，整体直观感知立体图形和平面图形的特点以及这两类图形的关联，引导学生经历图形的抽象过程，积累观察物体的经验，形成初步的空间观念。第二、三学段则按照“点—线—面—体”的顺序进行特征、性质、关系和规律的部分精细分析。第二学段首先结合实例认识线段、射线和直线的特征、性质以及它们之间的内在联系;体会两点间所有连线中线段最短的规律，知道两点间距离;会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段;了解平面上两条直线的关系。继而结合生活情境认识角的各部分名称，知道角的大小和边的长短没有关系;认识三角形和四边形，会根据图形特征对三角形和四边形进行分类。第三学段通过列举生活中的实例，引导学生概括圆的特点，利用圆规画圆，加深对圆的理解;借助现实生活中的实物，引导学生通过观察、操作等活动，认识长方体、正方体、圆柱、圆锥等立体图形的特征，沟通立体图形之间的联系，如圆柱和圆锥的相同点和不同点，以及平面图形和立体图形之间的关系，增强空间想象能力。

2.从一维走向三维

度量几何的内容遵循从一维度量走向三维度量的教学逻辑，依次为教学长度（周长）的度量、角度的度量、面积的度量和体积（容积）的度量。第一学段在教学测量长度时，需要在统一长度单位的基础上认识长度单位厘米和米，学会估测一些物体的长度，并进行测量。第二学段认识长度单位千米，知道分米、毫米;会用量角器量角;认识面积单位平方厘米、平方分米、平方米，能进行简单的单位换算;能恰当地选择单位估测一些物体的长度和面积，会进行测量。第三学段通过实例了解体积（容积）的意义，知道体积（容积）的度量单位，能进行单位之间的换算;体验不规则物体体积的测量方法。

3.从猜想走向求证

推理几何的内容一般遵循从大胆猜想走向小心求证的教学逻辑，引导学生经历发现并大胆提出猜想，运用归纳、演绎、类比、推算等思考方法分析问题，小心求证，最终解决问题并得出结论。例如第二学段探索长方形、正方形的周长和面积的计算公式过程。第三学段“三角形任意两边之和大于第三边”和“三角形内角和是180°”等规律发现推理过程;平行四边形、三角形、梯形的面积公式推导和计算过程;圆的周长和面积公式推导和计算过程;长方体、正方体、圆柱体的表面积、体积计算过程，以及圆锥体体积公式推导和计算过程等。

4.从模糊走向精准

投影几何、运动几何和坐标几何的内容都遵循从模糊描述走向精准表达的教学逻辑。投影几何从辨认从一个物体的前、后、左、右观察到的图形，到辨认从组合图形的前面、上面和右面观察到的图形，再根据从组合图形的前面、上面和右面观察到的图形想象拼摆出组合图形等;运动几何的内容从结合实例，感受平移、旋转、轴对称现象，到能在方格纸上进行简单图形的平移和旋转，能在方格纸上补全简单的轴对称图形，以及能利用方格纸按比例将简单图形放大或缩小等;坐标几何从认识位置（上下、前后、左右）与方向（东、南、西、北、东南、西南、东北、西北），到用数对确定点的位置，以及用方向和距离确定物体位置等。

三、“图形与几何”课程内容的育人价值

小学数学“图形与几何”领域课程内容的育人价值在于基于不同几何类型的特征和它们之间的内在关联进行统整，有针对性采用多种不同育人方式不断提升学生量感、几何直观、空间观念和推理意识等数学核心素养。

1.基于直观几何和投影几何，在观察操作实验中发展学生空间观念和几何直观

直观几何主要通过观察操作实验等方式认识几何图形的特征、本质、关系和规律，重在引导学生经历从实际物体抽象出几何图形的过程，认识图形的特征，感悟点、线、面、体的关系，积累观察和思考的经验，逐步形成空间观念。例如，第一学段安排让学生通过找一找、分一分、摸一摸、搭一搭等观察操作，整体直观感知立体图形和平面图形的特征，直观比较它们之间的异同。第三学段引导学生通过数学实验来发现“三角形内角和是180°”“圆锥体积是和它等底等高圆柱体积的三分之一”等规律;引导学生从面、棱、顶点等视角进行观察分析、搭拼操作和展开实验来全面系统认识长方体、正方体、圆柱体的特征，为后面学习长方体、正方体和圆柱体表面积与体积做好铺垫。

小学阶段，把投影几何和直观几何有机融合，统整在“图形的认识和测量”主题之中，主要学习平行投影，例如，第二学段要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”。第三学段要求“对于简单物体，能辨认不同方向（前面、侧面、上面）的形状图”。引导学生在二维和三维的相互变换中促进几何思维发展，不断提升空间观念和几何直观。

2.基于度量几何，在测量实践中发展学生量感

度量几何主要通过测量实践的方式认识几何图形的特征、本质、关系和规律，有利于学生借助度量工具进行测量实践，实现图形量化的精准分析和表达。在小学阶段，重在引导学生体验度量工具的产生过程、度量单位的统一过程并感受统一度量单位的意义，借助度量工具进行测量实践获取度量结果的过程，从而理解图形长度、角度、周长、面积、体积。在推导一些常见图形的周长、面积、体积计算方法的过程中，感悟数学度量方法，逐步形成量感和推理意识。例如长度和长度单位、面积和面积单位、角度和角度单位、体积和体积单位都是通过测量实践来认识的，引导学生理解长方形和正方形的面积、长方体和正方体的体积计算公式推导过程都是基于度量视角展开的。

在小学阶段，度量几何的课程内容没有单列，而是统整在“图形的认识和测量”与“综合与实践”之中。其中长度（周长）、角度、面积、体积和容积等与图形的认识关联度较大，统整在“图形的认识和测量”主题中;而人民币、时间、质量等度量与学生日常生活实践关联度较大，统整在“综合与实践”主题之中，让学生更好地在用中学、创中学，发展其量感。

3.基于推理几何，在归纳演绎中发展学生推理意识

推理几何主要通过推理论证的方式认识几何图形的特征、本质、关系和规律，有利于发展学生抓住不同图形之间的关联进行直观想象和推理论证的能力。例如基于公理“两点之间线段最短”进行演绎推理可以得到“三角形任意两边之和大于第三边”的结论;从特殊三角形入手，通过直观操作引导学生归纳出三角形的内角和;平行四边形、三角形、梯形和圆的面积公式推导过程都是通过与已经学过的图形建构关联，类比推理来实现的。

推理几何在小学阶段的课程内容相对较少，没有单独列出，而是统整在“图形的认识和测量”领域里，这样可以更好与图形的特征、本质、性质、关系和规律的认识相融合，整体发展学生的数学核心素养。

4.基于运动几何和坐标几何，在图形变换和量化表达中发展学生空间观念和几何直观

运动几何主要通过平移、旋转、轴对称、相似等运动变换方式认识几何图形的特征、本质、关系和规律，重在引导学生经历对现实生活中图形运动的抽象过程，认识平移、旋转、轴对称的特征，体会运动前后图形的变与不变，感受数学美，逐步形成空间观念和几何直观。例如第二学段主要让学生初步认识生活中轴对称、平移和旋转现象。第三学段则让学生在方格纸上进行简单图形的平移和旋转;认识轴对称图形和对称轴，能在方格纸上补全简单的轴对称图形，感受图形变化的特征，动手操作，动脑想象;画出简单图形沿水平或垂直方向平移后的图形，以及旋转90°后的图形，引导学生从平移、旋转和轴对称的角度欣赏自然界和生活中的图案，借助方格纸设计简单图案，感受数学的美;引导学生按给定比例将简单图形放大或缩小，通过前后图形的变化，感受比例尺的意义，加深对比、比例的理解。在教学中，教师可以组织运动几何图案欣赏、剪纸等综合实践活动，引导学生了解图案中的基本图形及其变化规律，感知中华优秀传统文化，增强空间观念;还可以利用运动几何知识制作数学板报等形式，呈现学生的创作成果，增强应用意识和创新意识。

坐标几何是物体或图形位置的量化表达，在小学主要有平面直角坐标和极坐标两种方式。平面直角坐标用数对确定点的位置，极坐标用方向和距离确定物体位置。通过图形位置的表达，帮助学生理解坐标的意义;通过图形运动的观察和表达，体会坐标表达的重要性，为未来学习数形结合奠定基础。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：16-41.

[2] 宋乃庆，张玉成，张于.小学数学基础[M].重庆：西南师范大学出版社，2019：104.

[3] 席爱勇，李宾.数学多元表征学习的理论与实践[M].南京：南京大学出版社，2018：45.

*该文为2021年度教育部人文社会科学研究规划基金项目“多元表征支持的小学数学结构化学习实践研究”（21YJA880070）、江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点自筹课题“多元表征支持下的小学数学结构化学习实践研究”（ B-b/2020/02/27）的研究成果