朱浩楠：让数学建模成为学生撬动世界的支点

怎样根据景点特色与游览需求合理规划旅游路线？如何综合考虑票价、视野效果等因素挑选性价比高的剧场座位？这些日常生活中的常见问题，实质上都属于数学建模的应用范畴。自2014年开始，北京市十一学校教师朱浩楠一直致力于高中数学建模教育的实践与推广，从创立学校数学建模社团，到组建数学建模实验室及开展各项活动，再到成为北京师范大学数学建模教育中心核心成员，他带领学生不断挖掘生活现象背后的数学结构，并据此发展他们对于核心现象的认识，不仅加深了学生对数学学科本质的理解，还引导他们找到了撬动世界的支点。

从“0”到“1”的高中数学建模

2014年夏天，刚入职仅三天的朱浩楠便给时任北京市十一学校副校长的田俊递送了一份文件，提议在高中阶段开设数学建模课程，并附上了自己的课程规划，希望通过启发式引导，加深学生对数学学科本质的深刻理解。田俊给出的建议是，可以先从社团做起。于是，受到鼓舞的朱浩楠开始将他对数学建模课程的构想一步步化为现实。

彼时，数学建模在大学已广泛普及，但在中学尚处于初步探索阶段，落实起来基本上需要从零做起。在多数教师眼中，数学建模本身难度较大，开发起来费时费力，加之高考并不涉及相关内容，因此，除了专门负责竞赛辅导的教师之外，鲜有人愿意投入大量精力钻研探索，导致教学素材十分匮乏。

朱浩楠认为，数学一直被人们视为探索世界奥秘、驱动科技进步的关键学科。然而，学生们整日沉浸在题海中，往往难以真正体会数学的内在价值。他相信，虽然绝大多数学生不会成为数学家，但每个人未来都需要借助数学解决各类问题。这更加坚定了他在高中推进数学建模的信念。由于大学数学建模教材难度偏大，即便是向高中生讲授节选的简单章节，教学效果也不甚理想。对此，他一方面钻研大学数学建模的参考书，并紧密结合高中课程标准，筛选出学生能够基于课内所学自然延伸、拓展的内容；另一方面结合学生的生活实际，开发出新的案例，以便学生能够更好地理解相关内容。

解决了“教什么”，还需要解决“如何教”的问题。好的课堂设计是确保教学内容充分发挥效用的关键。朱浩楠最初的教学方式是，先抛出一个问题，然后向学生讲解解决问题的具体方法，但很快他便发现，之后学生每次所构建的模型大多是课上演示模型的复制品，一旦遇到新的问题，学生的第一反应往往是找模型套用，如果不能匹配，就束手无策了。

在朱浩楠看来，高中阶段的数学建模教育并非仅仅为了传授学生几个针对特定问题的具体模型，而是借助这些过程和体验，培养他们发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，进而使他们在未来面对复杂的现实问题时，能够结合实际情况，自主设计并完善相应的模型或解法。基于这样的思考，他踏上了探索新方法的征程。

不仅“知其所以然”，还要“知其若不然”

发现并提出问题是整套数学建模流程的起点。它往往被视为创新诞生的第一步，也恰恰是相当一部分学生的短板所在。朱浩楠每年都会给学生布置一项作业，要求他们根据自己的兴趣爱好，提出一个想要通过数学建模解决的问题。令他感到有些意外的是，最初几年收集上来的作业基本上集中于校园垃圾桶摆放、校门口车流量调控以及学校食堂座位分布这三类问题。问过学生之后才得知，他们之所以提出这些问题，并非出于个人兴趣，而是模仿了那些频繁出现在教材和习题中的场景。

发现并提出问题原本是人的本能，为何积累了十几年学习经验的高中生反而在这一方面变迟钝了？朱浩楠认为，其中一个重要原因在于不少教师把数学课上成了“如何解数学题”，导致学生认知中的数学与生活体验相脱节。“这种做法虽然能提高学生的应试能力，但忽视了向他们阐释解题方法背后的数学原理。久而久之，当学生走出考场，真正面对现实生活中的具体问题时，往往难以意识到很多问题其实可以用数学的方法来解决。”他解释道。

朱浩楠鼓励学生大胆猜想、勇于提问、小心求证。他常对学生说：“只要敢于提出，就是好问题。”并进一步引导他们基于这些问题构建出相应的数学模型。即使中途失败了也没关系，那就再带他们回头审视“基本假设是否正确”，然后在不断试错中迭代改进。

为了帮助学生充分理解数学原理的本质，朱浩楠在课堂上并不急于带学生直奔标准答案，而是尽可能带他们体会研究科学问题真实而自然的过程，有时还会特意设计一些“弯路”，不仅让学生“知其所以然”，还要“知其若不然”。“因为前者仅能教会学生很好地复制他人的研究成果，后者才是突破现有认知壁垒，进而解决新问题的关键。”因此，在朱浩楠的课堂上，时常能听到他向学生提问：“这套数学模型有没有更好的建立办法？”“为什么他们是那样构造的？”“能否换一个角度解决这个问题？”等，从而将学生对数学的思考不断引向深入。

以“人口模型”为例，朱浩楠先让学生在黑板上列出他们认为可能影响某地人口流动的因素，并阐述各自的理由。学生们纷纷发言，有的提到教育政策、医疗水平，有的提出猪肉价格、大型演唱会的数量等因素也可能对人口流动产生影响。接着，他故意发问：“那你们能否用这些影响因素去建构数学模型呢？”学生们最初感到不解，表示因素太多，需要合并，而后便很快开始自发进行筛选、分类，经过多轮讨论及反问，最终确定了几个主要影响因素，并在黑板上通过连线清晰地展示了它们之间的结构联系，进而确定了建模的基本假设。整个过程中，朱浩楠并没有直接给出任何答案，而是通过适时的引导，让学生借助一系列问题串逐步探索出自己想要的答案。在他看来，让学生经历试错是必要的，也只有经过这个过程，学生才能学会在面对复杂的实际问题时，根据简单有效原则，抓住主要矛盾，并厘清要素之间的关系。

学习自由之艺和科学精神

朱浩楠始终坚信，数学本质上是一门用以培养人的学科，数学教学应该指向培养学生的心智追求，促进其全面而自由地发展。正如他在数学建模实验室的标语中写到的，要带领学生“学习自由之艺和科学精神，将自己从成为工具的潜在风险中解放出来”。

对不少教师而言，考试考什么，课上就带学生重点练什么，是他们教学时所奉行的“金科玉律”。朱浩楠却不喜欢这样，他更希望自己的课堂能够教学生解决试卷之外的数学问题。比如教到数列的通项公式时，除了讲等差、等比等常规内容，他还要花时间讲解画图等研究数列的通用方法。学生们减少了套用公式计算的时间，但学会了如何用不那么“标准”的数列解决实际研究中更容易出现的问题。

朱浩楠对于数学建模实验室人员的选拔，只遵循自然吸引、自然流失的原则，为每个对数学建模感兴趣的学生提供学习机会。他还特别在教室里设置了咖啡角，并专门配备了两套手冲咖啡器具及多种特色的咖啡豆。学生在课间即可预约品尝他现场冲泡的咖啡。

也正是在这种自由的学习氛围之下，学生们纷纷勇敢地朝着自己感兴趣的方向不断探索，进而逐步发掘出属于自己的人生课题。有学生因为自身久病成医，在读博期间，通过数学模型设计出中医医疗领域软硬件结合的AI解决方案。还有学生出身于艺术世家，在数学建模的启发下，想要借助模型设计助推艺术创作融入日常生活，坚定了自己想要深耕数字艺术设计的发展方向。

除了完成校内的教学任务，朱浩楠每年还通过各类校外活动带领学生开展项目研究。在北京师范大学数学科学学院每年举办的数学建模夏令营中，学生们组成多支团队，分别申报课题研究，待到论文答辩结束后，再由朱浩楠与其他专家评委共同从众多课题中挑选出具有潜力的项目，邀请相应的团队成员加入“继续指导计划”。他还带领学生持续进行多轮的实证调查与观点交流，在完善、落实课题的过程中，引导他们认识到，科学研究从来都不是比赛获奖或完成答辩的一时之功，而是一段需要不断探求真理的长期过程。

让数学思维与哲学思维相得益彰

2017年，高中课程标准将数学建模纳入学科核心素养体系，并明确要求学校应专门开设8～12课时，推动其进入新的发展阶段，也由此吸引了更多教师加入探索队伍。朱浩楠为自己身边有了越来越多的同行者感到欣喜，同时也在更大范围的实践中发现了新问题：适用学生学习的建模素材浩如烟海，为什么要选这些而不选择那些？如果未来涌现出更优质的素材，难道都要将其纳入教学内容，让学生越学越多吗？

带着这些问题，朱浩楠一头扎入与之相关的文献著作，希望从中获得更深层次的思想指导。直到他读到美国哲学家贝塔朗菲的著作《一般系统论》时，才觉得豁然开朗。根据贝塔朗菲的观点——不同学科领域的研究最终会涌现出同样一组方程或动力学关系，这种跨领域的相同结构被称为“一般系统”，能够在不同领域中迁移应用，帮助人们揭示社会与自然的本质规律。受此启发，朱浩楠根据贝塔朗菲在描述“一般系统”时提到的数学模型和逻辑关系，对教学素材进行了重新调整，还尝试将著作中蕴含的哲学思维不着痕迹地融入教学，希望能在一定程度上打通学生在不同领域间的认知壁垒。

起初，朱浩楠担心学生觉得数学与哲学融合之后过于抽象、深奥，尝试之后却意外地发现，越是这样讲，学生反而理解得越透彻。一方面，哲学原理为数学建模提供了世界观的指导，使学生能够更加深刻地理解数学模型构建与运算背后的逻辑。例如，他启发学生从近代科学三大传统的角度分析函数结构，进而通过判断函数是否符合半衰期原理，来确定合适的函数模型。学生普遍反馈更加理解了函数模型的内涵。另一方面，数学建模也为抽象的哲学原理提供了具体、生动的实例支撑，便于学生更直观地理解哲学概念。在一堂面向初学者的建模课上，朱浩楠从“夫妻谁来洗碗”的日常问题出发，引导学生经历数学建模的基本流程，并通过自然语言与数学语言的相互转化，联结每个数学符号与其对应的现实意义。“学生能够从案例中体会到，数学结构不是凭空臆想出来的，而是自然与社会深刻规律的抽象映现。要想发现这些规律，并发明语法去承载它们，则需要运用基本假设和现代科学传统。”

朱浩楠相信，学生学过的模型和方法都可能随着时间的推移而逐渐淡出记忆，但在思想上获得的启迪和成长会内化并融入他们的认知结构，进而拓宽他们的视野，重塑他们的思维方式。比如，有的学生在借助微分动力系统建立的生态模型中发现，当捕食者被猎杀，被捕食者种群增长速度并没有上升，从而在探究过程中领悟到不能仅凭直觉或基本规律轻易得出结论。还有的学生参与了以数学建模为载体的哲学思想实验，在多元观点的交锋与碰撞中培养了批判性思维，还逐渐练就了透过表象看本质的能力。

学生的每一次进步与成长，都是朱浩楠珍视的礼物，这也成为激励他一往无前的不竭动力。他未来最真挚的愿望，便是期待高中数学建模能够如同星星之火，燎原四方，为更多学生照亮未来成长的广阔天地。