“运用Excel软件拟合函数分析身高、体重、鞋码关系” 活动设计与研究成果

信息技术助推学生素养提升的活动设计与实施案例

本项目是指围绕立德树人根本任务，利用信息技术工具或手段，全方位、多渠道集中展示学校在德育、智育、体育、美育、劳动教育等方面提升学生综合素养的教育成果，将学生综合素养和实践养成相结合，让学生素养提升全方位融入学校“五育”为代表的各教育环节。

本项目征集的内容包括以提升学生素养为目标的课堂教学以及课外活动成果，涵盖德育、智育、体育、美育、劳动教育的相关学科课堂教学，以及以学校、班级或学校各类社团为单位的各种节日纪念日活动、仪式教育活动、校园节（会）活动、团（队）活动等学生教育活动成果，成果以精品专题纪录片的形式呈现。

教学内容及解析

1.教学内容

本活动主要结合高中数学选修第三册第八章《成对数据的统计分析》的知识，采用数学建模实践活动的方式，利用问卷星软件收集本校高中生身高、体重、鞋码的数据，运用Excel软件中的功能，绘制散点图、拟合函数、计算决定系数R2，从而建立适当的函数模型解决实际问题：根据身高或体重预测本班学生的鞋号。

活动形式：校本课程“数学建模研究学习与实践”。

参与人员：指导教师；校本课程中报名调查小组的同学。

建议课时：3课时。第1课时通过组内讨论确定选题，明确所需的数据，明确分工任务，探讨研究的可行性，撰写开题计划；第2课时，编辑问卷，利用问卷星发放问卷，初步整理数据；第3课时，利用Excel软件处理数据，绘制散点图、拟合函数、计算决定系数R2，从而建立适当的函数模型，预测数据检验函数模型，并在第3课时课后完善研究报告。

2.内容解析

数学建模是运用数学知识解决现实问题的一种方式，本调查小组选择人的身高、体重、鞋号之间的关系这个在生活中与自身息息相关的问题进行研究。

提出问题：鞋和我们的生活息息相关，那么，鞋码和我们的身高存在着什么样的关系？它们之间的关系是不是存着数学关系呢？人的身高和体重是否存在着一定的关系？这个关系可以量化吗？

由于个人脚长与体重主要由身高决定，所以可以选身高作为自变量，脚长不好测量，于是由鞋号来衡量。鞋号与性别也有一定的关系，所以需要分组研究。

收集数据：确定好研究变量后收集本校高二年级学生的身高、体重、鞋号的数据，为确保数据的平衡性，决定收集男生、女生的数据各110份，去除极端数据后，各有100份数据供小组成员分析。

数据分析：利用Excel软件绘制散点图，去除残差较大的异常点，通过散点图猜想数据拟合的函数，分别尝试Excel软件中提供的函数模型，结合Excel软件计算出的决定系数R2分析函数的拟合程度，体会不同函数的拟合效果，选择最优的函数模型。

模型应用：研究的最终目标是可以为本班学生购买鞋子提供尺码的数据支持。

教学目标和目标解析

1.活动目的与意义

运用所学知识解决实际生活中的问题，发现情境中的数学关系，运用学习过的知识，合理运用信息技术进行数据分析，创造性地建立函数模型，并把模型应用到实践中。从实践中检验如何改进对数据的处理，使所建立的函数模型预测更精准，具有实际应用意义。小组成员通过分组、合作等形式，根据方案的时间安排有序地展开活动，体验实践的完整过程，并在每次实践后，总结分析数据，合理去除异常点，利用决定系数R2，综合考虑各种因素的影响，最终选择最适合的函数模型，并用实际数据检验分析模型的满意度。

2.活动知识目标

①了解一元线性回归模型的含义，理解两个变量之间随机关系的一元线性回归模型的作用与意义；了解残差在线性回归与非线性回归问题中的作用及意义；了解一元线性回归模型参数；会结合题意求一元线性回归方程；会用决定指数R2分析模型拟合的效果情况。

②体会数学的应用价值，培养运用图像、数学符号表达题意，应用转化思想解决数学问题的能力。

③通过对现实情境问题的分析，收集有效数据，运用信息技术自主建立函数模型，分析函数拟合程度，选择最优的函数模型。培养分析解决问题、动手实践、运用信息技术处理数据、误差分析等方面的能力。

3.数学学科素养

①数学抽象：从实际情境中抽象出一般规律。

②逻辑推理：将实际问题转化为数学问题，分清已知条件与所求问题，逐步求解问题的答案。

③数学运算：利用公式及Excel软件计算数据，分析数据。

④数学建模：整理实际数据，绘制散点图，数形结合，选择趋势线，通过决定系数R2分析函数的拟合程度，选择最优函数，从而进行数据预测。

4.信息技术素养

①信息意识：通过实际收集数据、分析数据提升信息敏感度和对信息价值的判断力，能根据需要解决问题的需要，自觉、主动地寻求恰当方式获取与处理信息；通过函数的拟合效果分析，采用有效策略对信息内容准确性、指向性做出合理判断，合理删除极端数据，对信息可能产生的影响进行预期分析，为解决问题提供参考；在合作解决问题过程中，能与团队成员共享信息，实现信息最大价值。

②计算思维：应用Excel软件处理数据、抽象特征、建立函数模型、合理组织数据；通过判断、分析与综合各种信息资源，运用合理算法形成解决问题方案；总结利用计算机解决问题过程与方法，并迁移到与之相关其他问题解决之中。

③数字化学习与创新：在实际分析、处理数据的过程中培养有效地管理学习资源，创造性地解决问题，从而完成学习任务的能力，提升形成创新作品的能力，适应数字化学习环境，养成相应学习习惯；掌握数字化学习系统、学习资源与学习工具功能和用法，并用来开展自主学习，协作完成任务。

④信息社会责任：在思考、辨析、解决问题的过程中，逐渐形成正向、理性的信息社会责任感。

教学重难点

教学重点：将实际问题转化为数学问题，利用信息技术处理数据，选择和建立合适的函数模型，并应用建立的模型解决实际问题。

教学难点：一是学生缺乏完整的数学建模活动经历，没有头绪，因此指导教师要做好方法指导，设计活动记录表完成活动日志，引导学生顺利开展数学建模实践活动。首先是在选题阶段，应该鼓励学生自主选题，选择自己兴趣最高、自信最强的课题；其次是指导教师要给予充足的参考素材，其中历届学姐、学长做过的成功案例的报告就是最好的材料，学生们可以感受到这个选题是自己切实可以完成的，从而增加信心。在此基础上，指导教师再指导学生怎样选题，引导学生从生活中发现问题、提出问题。二是函数模型的选择，学生数据分析能力有限，合理应用Excel软件可有效帮助学生处理数据，对拟合效果进行评价。

教学过程设计

1.课前准备工作

（1）了解数学建模活动

活动预热：教师为学生提供学姐学长做过的成功案例报告，学生通过自主阅读，了解数学建模的简单步骤，再开展圆桌讨论，初步选定研究方向。

设计意图：通过阅读可以提高自主研读的能力，并且通过对同年龄学生的数学建模论文阅读，可以起到激励作用，增强自己写数学建模论文的信念。研究讨论的过程使学生敢于坚持真理、敢于修正错误的科学精神得到弘扬。

（2）知识储备

学习Excel软件中与本节课有关的数据处理功能—排序、文本更改为数值、画散点图、模拟趋势线公式、求决定系数R2等，了解统计的常识，如决定系数R2的大小与拟合效果的关系。

（3）确定选题

研读教材，对教材中提供的例题进行分析，在生活中寻找相应的且可以独立完成的研究课题。

2.第1课时：研读教材确定选题

师：生活中有很多变量有相关关系，本次活动我们就来研究一个这样的问题。

环节1：研读教材。

先自主阅读教材，再由指导教师对重点内容重点讲解，分析教材中例题的内容，分析解决问题的基本方法。

环节2：明确选题。

师：同学们提出鞋号是现实生活中和自身息息相关的一个问题，大家都知道身高、体重会对脚长有影响，本小组就可以收集数据，用数学的方法分析一下其中的关系，并且最终可以通过身高、鞋号去预测脚长。

结论：脚长不便于测量，各自也不一定清楚自己的脚长，因此统计鞋号是一个比较适合的方式。同时，性别对鞋号也有影响，一般来说，男生的鞋号要比女生的鞋号大。所以，最终确定收集100名男生、100名女生的身高、体重、鞋号的数据来进行分析。

设计意图：小组研讨的方式营造出的是师生平等、自主研讨、民主学术的气氛，开放式的研讨方式，为学生的创新思维提供了广阔的天地。

3.第2课时：编辑问卷，利用问卷星发放问卷，初步整理数据

环节3：编辑问卷。

发放问卷的方式可以采用纸质问卷，也可以利用问卷星发放。由于收集的数据数量较大，如果采用纸质的问卷录入数据到电脑中比较浪费时间，同学们提议采用问卷星来发放问卷。由于可能有异常数据，所以男、女生各收集100份以上的数据。

环节4：整理数据。

在收集好分卷后，整理数据，在Excel软件中，整理数据格式，对填写不规范的数据进行修改，初步去除异常数据，将数据都设置成“数值”，以便进行进一步的散点图绘制。

设计意图：通过问卷调查，让学生经历数据收集、整理、分析的过程，增强学生的动手能力，培养学生数据分析素养、信息意识素养。

4.第3课时：处理数据并建立适当的函数模型，预测数据检验函数模型

环节5：绘制散点图、选择函数模型。

应用Excel软件的功能绘制散点图，通过散点图猜想数据拟合的函数，通过Excel软件计算出函数解析式和决定系数R2，尝试线性模型、指数模型、对数模型、幂函数模型等，最终选择最适合的函数模型。

学生可能面对的困难：不了解可以应用这么多种函数，不清楚应该去除哪些异常点。

破解办法：应用Excel软件中提供的线性模型、指数模型、对数模型、幂函数模型与拟合函数（如图1），学生无需进行大量的计算，就可以快速、直观地看出哪个函数最适合。

设计意图：函数模型的选择是数学建模过程中的重要环节，哪个模型更贴合实际，哪个模型更便于高中生理解，学生在选择模型、优化模型的过程中，能够不断提升数学建模能力。而借助信息技术，可以避免反复计算，在模型选择中起到了很好的辅助作用。

环节6：检验函数模型。

用建立的函数模型求出收集数据的预测值，并与实际值进行对比。

学生可能面对的困难：不清楚检验函数模型的具体操作方法和步骤，对参考标准不明确。

破解办法：当两个变量间存在相同或相反的变化趋势时，就可以用线性模型描述，但这种关系受其他许多因素的影响，这些影响因素会产生随机误差。

对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测值，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析。通过残差发现原始数据中的异常数据，判断建立模型的拟合效果。为了提升拟合效果，在去除这些异常数据时，要结合散点图，通过图像分析哪个点偏离的程度最大，去掉残差最大的那些点，但在观察图像时，只能去除掉残差非常大的点。为了提升拟合效果，在去除异常点时，可以借助Excel软件中计算出的决定系数R2，更清晰直观地观察出模型拟合精确度的变化。

设计意图：合理应用Excel软件可以大大地减少计算量，快速精准地绘制图像，提升残差分析的速度，提升函数选择的速度，提高统计工作中实际操作的效率。