数学物理方法教学中“串联式”方法探索

［摘 要］数学物理方法课程是数学和物理的桥梁，在理工类本科教育中极为重要。长期以来，数学物理方法都背负着“难教、难学”的评价，亟须通过教学改革改变现状。课程组结合多年来针对大气科学本科生的教学实践，以解决问题为导向，提出了“串联式”教学方法，在教学实践中显著提升了数学物理方法课程的教学质量和效果。

［关键词］数学物理方法;串联式;问题导向;教学改革

［中图分类号］ G642 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 2095-3437（2022）09-0125-04

数学物理方法是高等院校理工科专业学生的一门重要基础课，是在高等数学、大学物理等课程基础上开设的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法和工具。数学物理方法所涉及的范围非常广泛、内容极为丰富，其物理背景直接来源于自然现象和工程技术中的实际问题[1]。这些物理学、力学、工程学、大气科学等学科中的实际问题，经常会提出大量的偏微分方程，反映了描述系统的未知函数关于时空变量的导数及其之间的制约关系，同时刻画了物理现象和过程的基本规律。

该课程是以物理、工程技术和其他科学中出现的偏微分方程为主要研究对象，主要介绍求线性偏微分方程精确解方法的一门数学基础课程[1]，在大学基础课和专业课程中起到承前启后的桥梁衔接作用。通过本课程的学习，学生应知道如何将各种物理问题翻译成数学的定解问题，并了解、掌握求解定解问题的若干方法，如行波法、分离变量法、傅里叶变换法、拉普拉斯变换法、数值差分法等，为学习以后的专业课，以及从事专业相关的科研和业务工作奠定基础。

新时代对高等教育人才培养提出了新的要求，数学物理方法课程的教学也要适应时代变化，体现新时代的特色。对此，已有许多教师探索了适应新时代人才培养需求的教学改革，譬如引入实际专业问题、开展专业创新实验、改革考试机制等，在有限学时内实现理工各专业教学目的，形成了培养新工科人才和应用型人才的新模式[2]，结合新工科教育理念，从教学内容、教学方法、考核模式等方面提出了改革措施[3]，合理利用多媒体技术等新的教学手段[4]，侧重计算机仿真的数学物理方程教学探索[5]。这些改革举措为我们开展新时代数学物理方法教学提供了有益的借鉴。

一、存在的问题

笔者在广东海洋大学（以下简称“我校”）承担数学物理方法课程的教学任务已4年，教授的学生包括大气科学、数学等专业学生400余人。在教学实践中，笔者发现该课程的教学存在以下两个较为典型的问题。

（一）基础不牢，难学难教

高等院校教育教学改革过程中，因专业结构调整以及宽口径人才培养的需要，本科专业人才培养方案不断调整和优化，理论课程被压缩学时已成为较为普遍的现象[6]，于是在新的时期就出现了较多教学内容和较少课内学时的矛盾。而数学物理方法的课程特点就意味着，若学生没有较为深厚的物理知识背景和较为丰富的数学知识积累，则很难在较短的课时内掌握该课程的核心内容，这也导致本课程被大家公认为大学本科阶段教和学难度最高的课程之一[7]，“难教、难学”的评价在学生中广泛流传。这就导致学生在学习的过程中入门难度较大，学习劲头不足。我校数学物理方法课程仅有56个学时，亦凸显了此问题。

（二）内容碎片，各自孤立

我校数学物理方法课程的教学内容虽然不是太多，且尽量不涉及复变函数等知识，只是在基础物理和高等数学范畴内介绍三类基本方程及其经典解法。三类基本方程各自描述了一类物理现象或过程，而且经典的数学物理方法（如行波法、分离变量法、积分变换法、数值差分法等）又是针对不同的定解问题，有一定的独立性。因此，在授课过程中，就有不少学生反映课程内容呈现碎片化，似乎各成一个体系，孤立地存在。这对于学生掌握数学物理方法的整体理论体系并有针对性地将其应用到实际案例中是极为不利的。即便是在较为注重基础的期末考核中，也会出现学生张冠李戴，把不适用的求解方法套用到某个具体的定解问题中的现象，导致一步错步步错、结果与正确答案南辕北辙。究其原因就是学生没有把各类方法有效地贯通起来，而仅仅是孤立地去学习或记忆单个方法，忽略了它们之间的连接。

二、教学改革尝试

针对以上存在的问题，为了改善目前的教、学现状，适应新时代的人才培养要求，在有限的学时内，既保持原有的教学内容框架，又能体现“以本为本、体系教学”的特点，笔者在课程教学过程中进行了一些教学改革的探索，以期提升数学物理方法课程的教学质量和效果。

（一）精心设计“入门第一课”

承担过本科教学的教师都知道，作为“入门第一课”，绪论教学在整个课程教学中极为重要，是必不可少的教学环节。从教师的角度来说，绪论课对教师的要求很高，包括专业能力、教学水平、个人仪表和风范等方面的要求[8]；而从学生角度来说，绪论课也是学生最先接触的部分，应使学生在较短时间内对课程有个整体的认识，了解课程背景、课程内容、重点难点、考核要求等。因此，绪论课是真正的“入门第一课”。数学物理方法素有“难教、难学”的评价，我校开设的数理基础课程也无法保证学生具备足够扎实的数理基础，因此能否上好这至关重要的“入门第一课”，直接决定了学生是否有信心完成本课程的学习。笔者在绪论课的教学实践中采取了一些举措，来提升绪论课的上课效果。

1.增加学时，打牢基础

在课程教学大纲中，绪论部分一般为2个学时。本次课改，为了加强绪论课的地位、提升学生学习本课程的信心和兴趣，笔者将绪论部分学时增加了1倍，达到4个学时。除了对传统的课程架构、内容、要点、考核等进行介绍，还花更多时间用于复习高等数学的一些背景知识，对微分、积分、级数、常微分方程求解等进行了系统性的回顾。虽然只是对这些知识进行概览性的介绍，但足以在学生心目中搭建起高等数学的理论架构体系，使学生了解自己学习基础中不太扎实的地方，也知道该如何进行针对性的复习。通过这样的方法，打牢学生的数学基础，为后续学习奠定基础，使学生有信心完成课程。

2.明确地位，提升信心

本课程在数学和物理中的桥梁作用、在基础课和专业课之间的桥梁地位是毋庸置疑的，这需要教师在绪论课上加以强调。而更值得一提的，或许也是更为有用的一点是这门课程还是国内许多高校和科研院所的考研专业课之一，涉及专业如海洋科学、大气科学、物理学、工程学等。我校学生大多有考研的志向，考研工作是历年来学校工作的重中之重。因此，笔者在课堂上对国内相关高校和科研院所将数学物理方法定为考研专业课的情况进行了综述，并挑选了一些院校考研大纲，概括性地为学生做了介绍。很显然，这是一个很多学生都比较关注的话题，在课后依然有许多学生咨询相关信息。通过这种方法，增强了学生对这门课程的重视程度，学生了解了考研所涉及的考试要点，做到心中有数，显著提升了学习这门课的决心。

3.问题导向，提高兴趣

本课程之所以被认为“难教、难学”，很大一部分原因就在于数学公式的推导太多了，这是事实。然而，数学物理方程毕竟不是纯粹的数学问题，它是有明确的物理背景的，因此在绪论课中就要明确本课程学习过程中应当以实际问题为导向，把解决问题作为最终的目的，而数学公式的推导只是达成此目的的手段，再结合接下来要介绍的“串联式”教学手段搭建起整体的课程内容框架，将学生对本课程的认识提升到更高层次。站在课程整体架构之上来看，学生目光就不再仅仅盯着数学公式了，而是明白了“解决问题”才是这门课的终极奥义。学生此时再去看那些公式，就不会有那么强烈的排斥心理了，知道这只是解决问题的过程而已，学习的兴趣也就得到了提高。

（二）串联教学法的探索与实践

在实际的教学过程中，笔者经常给学生画如图1所示的以求解问题为导向的流程示意图。通常情况下，我们所面对的是“原问题”，想要求解之，得到“原解”，此直接求解过程我们称之为“Solution A”。如果“Solution A”比较难，或者没有头绪，或者无法求解，那么我们就要换个思路，采用间接求解的方法，这就是由“原问题→Flow1→像问题→Solution B→像解→Flow2→原解”所描述的迂回的求解思路。图1可以用来描绘本课程中许多的内容，教师可根据不同的内容进行不同的解读。以下就按照解决问题的顺序、思路展开讨论。

1.问题导向，串联实际（原问题）

实际的工程、技术、科学等问题，通常需要转换为物理问题，然后利用物理原理翻译为数学问题，进一步求解该数学问题，再将得到的数学结果翻译成物理问题，即讨论所得结果的物理意义。如图1所示，“原问题”指的是实际的工程、技术、科学问题，经过理想化假设、物理归纳、数学翻译（Flow1），得到数学语言描述的定解问题（“像问题”），求解定解问题（Solution B）得到数学解（“像解”），再结合物理背景对数学解进行物理上的解释和说明（Flow2），从而给出原问题的解（“原解”）。这个流程就明确了“问题导向”，将求解定解问题Solution B作为解决问题的途径而非目的。学生通过对此流程图的解析，也可以将“问题导向”作为学习本课程的根本遵循，不再孤立地看待数学物理方法，而是将其与实际问题串联起来，这样就使学习的意义更加清楚了。

2.物理描述，数学翻译（Flow1）

得益于前人如牛顿等的贡献，我们得以在经典世界内探讨和分析许多实际问题。在教授物理描述时，教师通过与学生的课堂互动，综合回顾、概览教授了经典物理中的物理现象、物理规律、物理模型等，如牛顿第二定律、能量守恒定律、热传导定律、胡克定律等，列举和介绍提出这些定律的大师，将经典物理中与本课程有关的碎片化内容“串联起来”，顺便带领学生进行了科学史的了解和学习。而教学数学翻译也因学生掌握了物理规律，显得简单多了。因为数学物理方程就是物理规律的数学表达，它反映的是此点此时刻的物理量与其临近点和临近时刻物理量之间的联系，体现在数学上就是常微分或偏微分方程，这些方程能够描述一大类广泛物理现象的共性。

3.泛定方程，初边条件（像问题）

很多学生在掌握了物理规律的数学翻译之后，可以很轻松地给出某一特定物理现象的数学方程，如波动方程、热传导方程、泊松方程。而基于“问题导向”，在实际的问题中，系统内部的物理规律可以用这些方程来描述（称为泛定方程），但这些微分方程一般有无穷多个解，在求解具体问题时还需要一些定解条件，这些定解条件就是对系统时间和空间的约束。比如，系统的初始状态，需要初始条件给出；系统在边界上的情况，则需要由边界条件给出。因此，泛定方程和初边值条件一起时，才能给出对一个具体问题的完整的数学描述。了解了它们之间的关系，学生才不会把泛定方程、定解条件视为零散的知识点，而是把定解问题作为一个整体，串联着泛定方程、定解条件，以及与之相对应的具体问题。

4.对症下药，方法为王（Solution B）

数学语言描述的定解问题的准确给出无疑是非常重要的，它是我们使用数学物理方法进行求解的基础。有了定解问题，我们就可以根据具体的情况选择合适的方法对其进行求解，此过程可称之为“对症下药”。这里仅举三例，使用图1分别阐释之。

行波法，亦称为特征变换法，其思路也可以用图1来描绘。对于双曲型方程，进行自变量变换（特征变换，Flow1），将方程化简，对简化的方程求通解（Solution B），然后对通解进行自变量的逆变换（Flow2），得到原方程的通解，再结合定解条件给出精确解。对于无限长弦振动的初值问题，通过此方法得到达朗贝尔公式，描述了初始扰动在空间无限传播形成的“行波”。

分离变量法，又称为傅里叶级数法，是解数学物理方程定解问题最常用和最基本的方法之一。它能够求解相当多的定解问题，特别是对一些常见区域（有限区间、矩形域、圆域、长方体、球面、圆柱体等）上的混合问题和边值问题。其基本思路也可以用图1来描述，原问题是待求定解问题，通过变量分离（Flow1），变为常微分方程定解问题（本征值问题，“像问题”），求解本征值问题及其他常微分方程（Solution B），得到“像解”，然后进行变量分离的逆过程，合并起来、线性叠加（Flow2）、确定系数得到原问题的傅里叶级数解。对于有限长弦振动的初边值问题，通过此方法得到驻波解，描述了无穷多列驻波的叠加效果，与行波法遥相呼应。