例谈数学思想方法的应用

摘要：数学思想方法是科学的思想方法，具有一般性和普遍适应性。数学思想方法是数学知识的精髓，是数学内容的灵魂，是数学活动的指导思想和普遍适用的方法，它能使学生领悟数学的真谛，学会数学的思考和处理问题，是学习知识、发展智力和培养能力相结合的法宝，它是学生未来发展的重要基础。

关键词：数学思想方法； 案例

中图分类号：G633．6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2012）09-022-002

本文通过对《数学课程标准》、有关数学思想方法文献资料研究，以及对自己的教育实践的总结，表明了进行数学思想方法的教学研究是很有意义的，并且通过具体例子谈了初中数学思想方法的应用。

所谓数学思想方法,就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论(概念、定理、公式、法则等)的本质认识。

心理学认为：“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义”，即可使新知识能够顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。学生学习了数学思想方法，就能够更好地理解和掌握教学内容。

下面就具体例子谈一下数学思想方法的应用。

案例1 下图是一个长16米、宽8米的长方形园地，其中充满1米宽的小路，如果你沿着小路的中心，从内部出发，走完这条小路，要走多远？

分析 这块园地面积很容易计算[16×8＝128(平方米)]，而你走完这条小路的长度看来不容易计算。因此，如果能在“长度”和“面积”之间建立对应关系，计算长度的问题就可以化归为计算面积问题。如何实现这种期望？

你看过排球赛吗？当场外服务员用很宽很宽的拖把为运动员清楚场地的汗水时，服务员每走1米，被清除的场地面积很容易计算。设想，拖把宽1米，你用这种拖把去清除园地的面积时，你每走1米，被清除的地面恰为1平方米。而园地面积等于128平方米……

这时，思维被“接通”了，像电似的，一瞬间被“接通”了。你可以“理直气壮”地说，走完这条小路要走128米！这里是化归的数学思想方法的具体体现。

案例2　鸡兔同笼，笼中有头50，有足140，问鸡、兔各有几只？

解：设笼中有x只鸡，y只兔，根据题意得

解得x=30y=40

答：笼中有30只鸡，20只兔。

分析：通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。解决应用题问题是方程的数学思想方法的具体体现。

每只鸡有两只脚，每只兔有4只脚。这是问题中不言而喻的已知成分。对问题中的已知成分进行变形：“一声令下”，要求每只鸡悬起一只脚(呈金鸡独立状)，又要求每只兔悬起两只脚(呈玉兔拜月状)。那么，笼中仍有头50，而脚中剩70只了。并且，这时鸡的头数与足数相等，而兔的足数与兔的头数不等——有一只兔，就多出一只脚，现在有头50，有足70，这说明有兔20只，有鸡30只。

以上是通过变形成分来寻找化归方法的。

案例3

在一元一次方程解法的基础上，学习二元一次方程组的解法，用的就是化归思想。在这里，化归思想是通过消元法实现的——用消元法减少一元，至于用“加减消元法”或是“代入消元法”这里是不管的。二元一次方程组的教学，不仅要学生学会两种消元方法，更重要的是让学生深刻理解这两种不同的方法其实质是一样的，都是在化归思想(消元思想)指导下进行的。这样，当讲三元一次方程组时便水到渠成。

整个化归过程可归结为：

上述各例说明，用化归思想解决问题的过程可归结为：

比如，在教学不等式的解法时，可以对比一元一次方程解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1，这些步骤是一样的，当然，要特别比较化系数为1时两者的不同之处。这里又体现的是类比的数学思想方法。

启发学生思考能否转化为形式上与其类似的方程来解。由x-2=3联想到形式上与其类似的a=3。

由此进一步联想到绝对值的意义，于是方程x-2=3可转化为x-2=3或x-2=-3。故x1=5,x2=-1。

启发学生思考能否借助其几何意义(在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。)来解此方程。因为，“一个数a的绝对值，就是数轴上表示与原点距离”，如果把小x-2看作a，则由a=3知，a在数轴上表示与原点距离等于3的点(如图)。于是由x=a+2可知与x相应的点的位置。

当然也可以联想到x-2=3表示x是数轴上与2的距离等于3的点。这就是数形结合的数学思想方法的具体体现。

方程是函数的特殊情况，若用函数知识解决它。事实上方程x-2=3可看作函数y=x-2的值等于3时，求对应的自变量的值。用图象法或列表法均可得到解决。这就是函数思想方法的具体应用。

知识的发生过程无不伴随着数学思想方法的产生，因此，概念的形成过程、结论的推导过程、规律的揭示过程，都是进行数学思想方法渗透的契机。

数学思想方法是数学知识的灵魂。一个好的教师应善于发现课本中知识内容背后所隐含的“软件”部分——数学思想方法，诱导学生领会并逐步运用这些数学思想方法。

参考文献：

[1]肖柏荣，潘娉姣.数学思想方法及其教学示例，江苏教育出版社，2000年10月

[2]马明，马复等.中学数学思想方法选讲，中国教育出版社1994年9月

[3]沈文选.中学数学思想方法，湖南师范大学出版社，1999年4月