巧解竞赛题

摘要：本篇论文详解了江苏省金钥匙科技竞赛团体决赛中的一道竞赛题。

关键词：金钥匙科技竞赛； 巧解； 竞赛题

中图分类号：G634.7 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2012）09-101-001

金钥匙科技竞赛已经多年被列入江苏省中小学生竞赛活动项目中，每届都有100多万名选手参加。在它的团体决赛中，有这么一道竞赛题：

有O1、O2、O3、O44个相同的圆柱体，轴心在一直线上排列且固定不动。另有一个与它们相同的圆柱体OA，开始时亦与它们排列在同一直线上，圆柱体OA可以滚动，它依次滚过4个圆柱体，到达O4的右侧，如图1所示。

问：在此过程中，圆柱体OA绕自己的轴心转过多少圈？

该问题运用物理概念来解，思路会显得清晰些。将这5个圆柱体简化成5个圆，圆OA在诸圆上的滚动，可以看成是圆心OA的平动加上圆OA绕自己圆心的转动。前者可以称之为公转，后者称之为自转。

1．自转与公转的关系

如图2，以第一个圆O1为例，当圆OA滚上圆O1时，圆OA边缘上任意一点N的速度，应为圆心OA的线速度与绕OA做圆运动的线速度之和。设公转的角速度为?棕1、自转的角速度为?棕2；公转半径为2r、自转半径为r。根据题设条件，圆OA在诸圆上的运动为“只滚不滑”，圆OA边缘上任意一点N的瞬时速度应为零。

如图3所示，在圆上画一箭头OAM，在圆OA?赚、O1上画上相应的点1、1''；2、2''；3、3''。开始时两圆在1、1''，处相切；公转90°后，在2、2''，处相切,此时箭头转了180°；公转180°后，在3、3''处相切,此时箭头转了360°。可见，自转角度是公转角度的2倍。

2．公转角度

圆OA依次滚过4个圆，是沿一段段圆弧运动的。圆OA绕O1公转，必须转到与O1、O2同时相切的位置后，才能离开O1绕O2公转，即转过120°；再转到同时与O2、O3相切的位置后，才能离开O2绕O3公转，即转过60°……以此类推，在整个过程中，公转的角度依次为：120°、60°、60°、120°，和为360°，如图4所示。

3．自转角度

根据自转与公转的关系，自转角度为公转角度的2倍。则此题的答案为：360°×2=720°，即2圈。

4．应用

若OA、O1半径不等，O1的半径为2r，如图5所示。根据同样的道理：

由此得到一个普适的公式：当两轮半径之比为n时，自转的角速度是公转角速度的n+1倍,

这种既有公转又有自转的结构及其原理多用于变速箱内，称之为行星齿轮结构。用不同半径（齿数）的齿轮互相搭配，以获得不同的转速。