例析轨迹思想在解“点线运动问题”中的应用

点线运动问题一直是数学高考的热点和难点题型，因其可以以高中数学多个知识内容为背景设题成为热点，而难在点线是变化的，我们难以把握它们的运动规律。若能善于运用轨迹思想，则可快速探明问题的求解策略和有效应对方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。下面结合具体实例，谈谈轨迹思想在解“点线运动问题”中的应用。

一、常规方法和轨迹思想PK——轨迹完胜

例1.（2018北京卷）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x-my-2=0的距离。当θ，m变化时，d的最大值为（    ）

A.1       B.2       C.3       D.4

思路1：常规方法，利用点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，求解点到直线距离的最大值。

解法1：由题意得d==，

利用辅助角公式和正弦函数性质，当sin（α-θ）=-1时.

dmax=1+≤3，故d的最大值为3.

思路2：轨迹思想，点P的运动轨迹为单位圆，利用圆的几何性质将问题转化。

解法2：由图得，点P的坐标为（cosθ，sinθ），而cos2θ+sin2θ=1，所以点P的运动轨迹方程为x2+y2=1，直线x-my-2=0过定点A（2，0），

从图像可直观地得到：动点到直线的最大距离为直线与x轴垂直时，即OA+圆的半径

故d 的最大值为 OH+1≤OA+1=2+1=3，选C。

点评：本题我们利用动点P坐标、直线的恒定关系，抽象出动点P在单位圆上运动的轨迹特征，直线过定点A的轨迹特征，再借助圆的几何性质，将问题进行转化，从而破解θ，m两个变量对本题带来的解题障碍。轨迹思想与常规方法相比，利用几何图形直观感知，避免了复杂的运算，化难为易，化繁为简;能让学生更易理解、更快、更准地解决问题;充分体现数形结合思想的妙用，更好地激发学生对数学的研究兴趣;培养了学生对数与形之间的联系理解和转换的思维能力。

例2.在ΔABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知a=2，b+c=4，则ΔABC面积的最大值为    .

思路1：常规方法，是用正余弦定理与基本不等式相结合得到三角形两边乘积的最值，从而得到三角形面积的最值。

解法1：b+c=4，+2bc=16，b+c=4≥2，bc≤4

cosA===-1

SΔABC=bcsinA=bc=，bc≤4

SΔABC=≤，当且仅当b=c=2时，取等号。

思路2：轨迹思想，由已知条件a=2，b+c=4和椭圆定义，可知点A的轨迹可以看成是在长轴为2，短轴为的椭圆。设点A的纵坐标为yA 即三角形的高，ΔABC的面积为S=BC·yA。当点A到BC的距离最大时，ΔABC的面积最大，即点A在D点位置时。

解法2：如图所示，由已知条件a=2，b+c=4和椭圆定义，点A的运动轨迹方程为+=1，当点A运动到运动到D点时，此时三角形BC边上的高取得最大值OD=，BC=2，则ΔABC的面积达到最大，最大值为。

点评：解三角形中的最值范围问题有多种解法，本题利用轨迹思想将解三角形与圆锥曲线结合，通过轨迹图形直观感知，结合问题和图形的特征，数形结合得到快捷解决问题的方法。轨迹思想与常规方法相比，简化运算，事半功倍。

通过以上问题，我们发现在点线运动问题中，所有的动点或变量元素都是在一个固定的运动特征下运动的，即动点轨迹是固定的。而在设定题目时，一些题会将动点的运动特征在题目中告知考生。但一些题目则会将这一特征隐藏起来，让学生自己去研究发现。但不管如何，只要考生能发现动点的轨迹特征，得到轨迹方程或轨迹图形，进而借助轨迹图形，将问题进行转化，简化运算，即可轻松解题。

二、轨迹思想在数学解题中——大显身手

例3.（2021新高考1卷，多选题）已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，-sinβ），P3（cosα+β，sinα+β），A（1，0），则（    ）

A.

=

B.

=

C.·=·

D.·=·

考查意图：本题以三角形式与向量坐标为载体，考查向量运算和三角函数运算，以及学生推理能力的核心素养。常规解法可使用向量坐标运算对四个选项进行计算判断，但计算量较大，计算易混淆出错费时费力。若我们抓住四个点的坐标特征将其转化为运动轨迹，那我们就可以较直观判断和简单计算出结果，有效地避开繁杂的计算。

解：如图所示，根据三角函数的定义可知，P1，P2，P3的运动轨迹方程x2+y2=1，cosβ=cos（-β），-sinβ=sin（-β），得P2（cos（-β），sin（-β）），点P1，P2，P3分别为角α，-β，α+β的终边与轨迹图形的交点。

A中，可得

=

=1，得A对。

B中，可得点A到P1，P2的距离不一定相等，得B错。

C中，可得·=

cos∠AOP3=cos（α+β），·=

cos∠P1OP2=cos（α+β），  得C对。

D中，可得·=

cos∠AOP1=cosα，·=

cos∠P2OP3=cos（α+2β）， 得D错。故答案为A、C。

点评：在本题求解过程中，我们注意到动点P1，P2，P3的恒定关系特征，利用轨迹思想，抽象出动点在单位圆上运动的轨迹特征，再借助向量模，数量积的定义，可轻松解题。

例4.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是侧面BB1C1C内的一个动点（不包含端点），若点E满足D1E⊥CE，则BE的最小值为       .

常规解法：根据空间向量互相垂直的性质，结合空间两点间的距离公式、三角换元辅助角公式进行求解。

解：如图建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），D1 （0，0，2），B（2，2，0）设E（x，2，z），x∈[0，2]，z∈[0，2]，=（X，2，Z-2），=（X，0，Z）

因为⊥CE，所以·CE=X2+Z（Z-2）=0，即x2+（z-1）2=1

BE==，因为x2+（z-1）2=1

所以可令X=cosθ，Z=1+sinθ，代入上式，得BE===其中tanα=2，α∈（0，），所以BE≥，因此BE的最小值为-1。

但该解法对学生的思维能力、基础知识综合运用要求较高，学生不易理解和找到解题的思路。我们可以抽象出动点E在平面运动的轨迹，利用平面图形快速找到BE的最小值。

由前解，在得到E点的轨迹方程x2+（z-1）2=1后，我们可得到E点的运动轨迹是以CC1的中点为圆心M，半径为1，在平面BCC1B1上的半圆。建立平面直角坐标系，得到M（0，1）、B（2，0）、N（0，2），由图可得当连接BM时，BM与圆相交与E，此时BE的距离最小，BM==，BEmin=-1。同时连接NB，当E点与N点重合时， BE达到最大值，最大值为BEmax==2。

点评：在本题求解过程中，我们注意到动点E满足D1E⊥CE的恒定关系，利用这种恒定关系，我们可以通过空间坐标知识研究出动点E的运动轨迹，利用轨迹思想，抽象出动点在球上运动的轨迹特征，再借助立体几何和平面几何是知识，可轻松解题。只要学生能将E的运动轨迹转成平面的半圆，那学生就可以直观地判断出BE的最小值和最大值。

总之，轨迹思想在解决点线运动问题时，充分利用了研究对象的几何特征，创建轨迹模型与代数的联系，从而获得研究对象轨迹方程或轨迹图形。即可构建多个知识模块的联系与融合，为解决问题提供简捷思路，且方法巧妙。提升了学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模等学科核心素养。这符合高考“多想少算”解题策略。

责任编辑  徐国坚