实现小学数学理解的教学路径探究

实现数学理解是新课程标对小学数学的具体要求。在课堂教学中，实现数学理解能促进结构化教学的目标达成，是发展“三会”的基础。迁移、内化、转化是实现数学理解的主要特征，而在教学中迁移已知、活动探究、交流表达、引导总结、实践应用等，则是实现数学理解的有效路径。

一、数学理解的意义

（一）实现数学理解是结构化教学的目标

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，要注重教学内容的结构化。结构化教学要求教师对学科知识结构有整体把握，了解数学知识的产生与来源、结构与关联、价值与意义，了解课程内容和教学内容的安排意图。在教学中，教师要关注学生的前知识与前学习经验，引导学生进行知识与经验的迁移，新旧知识发生实质性的关联，帮助学生从未知向已知转化，达到知识的进阶，在概念“同化”的过程中，自主建构知识体系，实现数学的理解。

（二）实现数学理解是发展“三会”的基础

新课标提出课程的统领性目标：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。实现数学理解是达成这“三会”目标的基础。

1.学生在用数学眼光观察现实世界的过程中，要学会从具体情境中“剥离”信息，留下数量及数量关系，形成数学研究对象，而在这个过程中要对数量及数量关系有深入理解。如小李有4元，小张有5元，学生要在理解数量4元和数量5元的基础上抽象出4和5，在理解数量基础上理解这两个量之间的关系。如果没有数学的理解，学生就无法从情境中抽象出数学的研究对象，无法发展数学眼光。

2.学生在思考的过程中，需要对数学对象进行推理，而推理的前提是对数学的理解，如果不理解数学对象及其关系，那就无法实现数学推理。如上面学生找到4和5之间的数量关系后，就可以通过一一对应的方法进行数学推理，5比4多1等。所以说，数学眼光和数学思维都是建立在数学理解的基础上。

3.数学是以真实现实世界中不存在的数量关系和空间形式为研究对象，因此需要通过一种间接的方式表达出来，方便人们的认识，这就是数学语言。学生经推理后通过符号、数字、字母串组成数学语言表达出来，如5－4＝1，这其实就是实现数学理解后的外部表征。新课标指出，数学不仅是运算和推理的工具，还是表达与交流的语言。所以说，实现数学理解能更好地促进学生进行数学的表达与交流。

二、数学理解的特征

美国课程研究专家格兰特·威金斯提出“理解”有六种不同形式：解释、释义、运用、洞察、移情和自我认识。就实现数学理解而言，威金斯所提这六种不同形式，其实可以概括为三大特征：迁移、内化、转化。

（一）迁移

迁移是促进知识内化的基础。迁移学习理论认为，人们应用他们所知道的去建构新的学习，被解释为“所有的学习都涉及原有经验的迁移”。所以说，实现数学理解体现在原有知识向新知识的迁移，也就是未知从已知的转化。

如在学习“倍的认识”时，由于倍不是具体的量，而是两个数的关系，比较抽象，特别是对于1倍的概念，学生理解起来有一定难度。但是学生对这个内容的学习并非空白。两个数的关系在一年级的时候学生就已学习，只不过是用“谁比谁多”“谁比谁少”和“一样多”来表示，“一样多”其实就1倍。因此，在教学中教师要善于利用原有的知识“一样多”迁移到“1倍”，帮助学生建立“1倍”的概念，再从“1倍”向“多倍”迁移，让学生从未知向已知转化，自主建构学科知识体系。

（二）内化

内化即个体能把新知识与原有的知识进行融合，发展、扩大原有的认知结构，进而形成新的认知结构体系。

如学生在学习了分数运算后，能够在分数加减法与整数、小数加减法不同运算法则的基础上进一步提炼，找到三者之间的共同之处（根据计数单位来进行运算），即相同计数单位的叠加与递减，这样学生就把分数、整数和小数加减法内化为一个整体认知，思维进阶到加减法运算层面（理解运算的一致性），形成和发展了新的知识结构体系，实现了对加减法运算高阶思维的理解。

（三）转化

数学表征就是个体在数学理解的基础上，通过语言、符号、图形等数学语言把内化的思维表现出来的一种形式。表征转化模型表明，对数学概念的深入理解需要经历不同表征方式，要能够建立这些表征方式之间的联系和转化。所以，在学习的过程中教师要通过表征的转化，建立表征之间方式的联系，促进学生实现深度理解。

如在“小数的加减法”一课中，为使学生明白计算小数加减法时小数点要对齐的道理，教师要通过引导性提问，使学生在交流与对话中，从原来的如果小数点不对齐就不对了的认识，到其实就是对齐计数单位，最后到用元、角、分的知识解释说明小数点对齐的道理。这样学生从初步的认识到用计数单位表征，最后到用元、角、分这些现实生活中能看得到、摸得着的知识来解释，在转化中建立了计数单位与生活中元、角、分的关系，学生在表征相互转换中，实现对小数加减法算理的深度理解。

三、实现小学数学理解的路径

在教学中，实现数学理解的有效路径主要有：

（一）迁移已知，在关联中理解

建构主义认为，学生只有在自己原有认识结构的基础上学习和探索新知识，并将新知识与已有知识经验建立联系，形成知识的结构化，才能形成对知识的深刻理解。理解性教学的一个最大的特点就是关注学生的前知识，也就是学生已经知道了什么，这是教学的起点。只有准确把握好教学的起点，抓准新旧知识之间的联结点，才能帮助学生利用旧知关联新知，促进知识的迁移，实现理解。

如在教学“20以内进位加法”时，教师做以下复习铺垫：口算9+1+1，9+1+2，9+1+3…

师问：为什么你们算得这么快？

生答：因为前面都是9+1，正好凑成十，十加几就是几。

然后，口算9+2，9+3，9+4…

师问：为什么你们还是算得这么快？

教师根据学生的回答板书：

最后，口算9+6，9+7，9+8…

课上到此，学生就能从教师的复习铺垫中认识到“9加几”的知识，我们可以先凑成十，然后再用10加几计算。完成这样一个教学铺垫，学生自然理解为什么要用凑十法计算，及凑十法是什么。通过旧知自然迁移，新知与旧知顺利建立了意义的联系，学生获得了数感的培养，运算能力和推理意识也获得了发展。

（二）活动探究，在感悟中理解

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，要深化教学改革，强化学科实践，注重“做中学”，引导学生参与学科探究活动，体会学科思想方法。在教学的过程中，教师要让学生动手实践探究，让学生在实践的过程中学会思考，在思考中感悟，进而内化为自身的理解。

如“长方形的面积”一课的教学，教师在引导学生理解长方形面积计算方法时，采用分步操作的策略，让学生边操作边探究，最终达到对长方形面积计算方法的理解。教师先提问：大家能用自己手中的小正方形来探究老师为你们准备的长方形的面积吗？

活动一：探究1号长4厘米，宽2厘米的长方形的面积（块数够满铺）。

学生通过密铺后发现，8个小正方形正好可以把1号长方形铺完，推导出长方形的面积是8平方厘米。

活动二：小组内探究2号长是6厘米，宽是2厘米的长方形的面积（不够满铺，但是够铺长和宽）。

学生通过动手发现，小正方体不够，这时教师说：“你如果遇到困难，可以找一下别组同学帮助或合作，还可以发挥想像铺一铺。”学生通过动手探究、小组交流、独立思考和前面的操作经验后发现，虽不能铺完，但是通过铺长和宽也可以算出这里正好可以铺12个小正方形，所以它的面积是12平方厘米。

活动三：小组内探究3号长方形的面积（提示：只用一个小正方形测量）。

通过探究，学生发现虽然没有足够的小正方形，但是可以用这个小正方形量出这个长方形的长可以铺8个，宽可以铺4个，得出可以铺8×4＝32个，所以长方形的面积是32平方厘米。

活动四：只出示长方形的长7厘米和宽5厘米，没有小正方形，让学生求它的面积。

有了前面的动手操作与思考，学生更能理解用“长×宽”可以求出这里有多少个面积单位，也就是长方形的面积。

本节课的教学，教师设计了分步动手实践探究，不仅让学生明白了长方形的计算方法，还让学生理解了长方形面积计算方法的本质，即计算面积单位的个数。这个教学过程，动手实践与思考结合，让学生在实践中理解，在理解中感悟，从而完成了一次内化认识的过程，增进了学生对数学知识本质和方法的理解，有效促进了学生几何直观和空间观念的发展。

（三）交流表达，在梳理中理解

新课标指出，通过丰富的教学方式让学生在实践、探究、体验、反思、合作、交流等学习过程中，感悟基本思想、积累基本活动经验。课堂是一个讨论各种可能选择的策略和关于数学概念的不同观点的对话共同体。学生仅仅得到答案是远远不够的，他们要能够表达出自己所使用的策略，并解释出为什么这样做。交流与表达能帮助学生梳理自己的思维，在表达与倾听过程中内化认知，实现对数学知识的理解。

如在“整数、小数、分数一致性”的教学中，为帮助学生理解数认识的一致性，教师引导学生从数的读法角度进行理解，于是开展了“0.34为什么不读成零点三十四”的问题交流。

师：为什么0.34不读成零点三十四呢？

生1：0.34如果读成零点三十四，那么0.340就应该读成零点三百四十了，但是0.34＝0.340，读法却不一样，后面的0可以增加，读法一直会变化。

生2：我觉得不能读成零点三十四。0.34的3是3个0.1，不是3个十，不能读成三十四。

生3：34读成三十四是因为3在十位，表示3个十，所以读成三十四，0.34的3不在十位，所以不能读成零点三十四。

生4：34表示3个十、4个一，所以读成三十四；128有1个百2个十、8个一，所以读作一百二十八。在读数的时候，有几个百就读几百，有几个十就读几十，有几个一就读几。

师：看来读数的时候，我们既读了数位上的数字，还读了相应的……（生：计数单位）。小数的读法呢？

生5：小数点后面是几就读几，按着顺序读就可以了。

生6：小数读出计数单位也是可以的，0.34就读成零点三“十分之一”、四“百分之一”。

生7：不是不行，有点麻烦了。

生8：而且读的时候如果节奏把握不好，还容易弄混，三个十分之和三十分之一不是一回事。

师：确实读起来比较麻烦。那整数能不能跟小数统一，不读计数单位呢？

生9：也不行，读完了都不清楚是多少了。

生10：我是这样想的，小数有一个小数点，从小数点开始向右第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位，读了小数点就提醒我们数位了，不读出来也能知道数字在哪一位上。

课上，通过师生交流研讨，学生对问题有了进一步思考，有效促进了学生认知的发展。随着交流的深入，思考也随之深入，问题也梳理得越来越明朗。教师引导学生从多个角度进行知识梳理，最终理解整数和小数都是基于计数单位和单位个数来认识的，学生的符号意识也得到发展。

（四）引导总结，在建构中理解

在数学学习的过程中，学生的学习常常是零碎的，所掌握的也多是碎片化的知识。这些知识如一颗颗散落的珍珠，如果教师不能引导学生作归纳、提炼和总结，就好比没有把这些珍珠串起来，最终也变不成一条光彩夺目的珍珠项链。因此课堂教学中，教师要引导学生做出适时提炼和总结，以促使学生认识从操作层面上升到知识层面，系统整合零散的知识，帮助学生内化认识并逐步形成概念，开展知识的自我建构，最终实现数学理解。