基于整体观的单元起始课教学设计与思考

基于整体观的单元起始课教学要突出知识的结构性和系统性，帮助学生构建整个单元的“导览图”，明晰单元学习框架和研究路径，强化单元新知与已有认知的内在关联。正比例函数是学生在初步认识函数概念的基础上学习的最简单的初等函数。本节课的教学如何为后续更多复杂函数的学习奠基呢？

一、宏观把握，突出目标的整体性

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：函数的教学要通过对现实问题中变量的分析，建立两个变量之间变化的依赖关系，理解用函数表达变化关系的实际意义；要借助在平面直角坐标系上描点，理解函数图象与表达式的对应关系，以及函数与对应的方程、不等式的关系，增强几何直观；要学会用函数表达现实世界事物的简单规律，经历用数学的语言表达现实世界的过程，提升学习数学的兴趣，发展应用意识。

本单元的研究内容是一次函数，教材首先编排的是正比例函数内容，这是学生学习特殊函数的第一阶段。《正比例函数》作为起始课，教师要从三个维度确定教学目标，引导学生整体感知函数学习的基本框架：一是整体感知初中阶段函数模型的研究对象（一次函数→二次函数→反比例函数）；二是整体体验函数的研究方法（依托实际建模→分析与归纳→辨析与运用）；三是整体构建函数的一般研究路径（定义→图象→性质）。

二、循序渐进，突出内容的整体性

本节课的学习要从一般函数的表现形式过渡到具体函数的研究内容，引导学生明确从特殊到一般的函数研究方法，逐步形成函数的一般研究路径。

1.巧用教材，聚焦函数研究对象

在自主建构函数模型环节，笔者呈现了如下基于教材问题1改编的题目，巧妙引出初中阶段函数的研究对象。

京沪高铁全长1318km，2011年至今已开通运营十多年，累计发送旅客约13亿人次。设列车的平均速度为300km/h，请思考以下问题。

（1）京沪高铁列车行驶过程涉及哪些量？其中哪些是变量？

（2）哪两个变量之间是函数关系？试说明理由，并写出函数解析式。

（3）我国正在研发的超级高铁列车行驶全程所需时间t（单位：h）与行驶速度v（单位：km/h）之间有何数量关系？

以上问题具有进阶性，能帮助学生体会函数关系的多样性及变量与常量的相对性。笔者按照寻找变量→分析关系→建立模型的步骤，逐步引导学生解决问题，认识两个变量之间的对应规律。在此基础上，笔者引入其他实例，让学生感受现实世界中运动变化的普遍性和规律性，如圆的周长[l]随半径[r]的变化而变化（[l=]2πr）、正方形的面积S随边长[x]的变化而变化（[S=x2]）等。通过分析这些实例中的数量关系，学生列出了形如[y=kx]，[y=kx+b]，[y=ax2+bx+c]，[y=kx]四种类型的函数解析式，为后续函数解析式的分类、概括打下基础。

2.以生为本，明晰函数概念体系

抽象与概括是数学概念形成的关键环节。在分析函数特征环节，笔者先引导学生观察他们列出的函数解析式（[S=x2]，[y=300t]，[Z=1318-300t]，[l=]2πr，[t=1318v]，[m=7.9V]，[T=-2t]，[Z=1318-y]），分析它们的相同点和不同点。然后，笔者组织学生对函数进行分类，说出分类依据，并给每一类函数命名。有的小组按照等号右边是整式还是分式，将它们分为整式函数和分式函数；有的小组按照等号右边是单项式还是多项式，将它们分为单项式函数和多项式函数；还有的小组按照自变量的次数，将它们分为一次函数、二次函数和“负一次”函数。在学生汇报的基础上，笔者引导学生巩固了整式、分式、单项式、多项式的概念，形成了正确的分类方法：先按照等号右边是整式还是分式将其分为整式函数和分式函数，再将整式函数按照自变量的次数分为一次函数和二次函数。学生通过自主探究，不仅明确了特殊函数的分类以解析式特征为标准，还增强了分析、归纳、抽象、概括的能力。最后，笔者从一次函数入手，引导学生比较、分析“[y=300t]，[Z=1318-300t]，[l=]2πr，[m=7.9V]，[T=-2t]，[Z=1318-y]”6个解析式的异同。对于相同点，学生发现这些解析式都可以看成[y=kx+b]的形式，由此归纳出一次函数的概念。对于不同点，学生发现解析式[y=300t]，[m=7.9V]，[l=]2πr，[T=-2t]形式更特殊，它们的常数项[b]等于0，即函数[y]与自变量[x]是正比例关系，由此明确了正比例函数的概念及正比例函数是特殊的一次函数。后续，学生可类比一次函数的定义方式，预测二次函数、反比例函数的形式特征，以构建相对完整的函数概念体系。

三、关注知识衔接，归纳函数的一般研究路径

1.自主探究，生成函数知识结构

本环节，笔者设计了三个问题，帮助学生明确函数概念的本质，深入理解正比例函数与一次函数的关系。

首先，笔者出示问题1：下列关系式［①[y=-0.1x]，②[y=2x2]，③[y=x3]，④[y=3x]，⑤[y=3（x-1）]，⑥[y2=4x]］中，哪些是一次函数？学生快速判断出①③是一次函数，⑤去括号后得到的[y=3x-3]也是一次函数。笔者追问：这些一次函数中，哪些是正比例函数？比例系数是多少？学生发现①③是正比例函数，比例系数分别为-0.1和[13]。笔者继续追问：⑤中[y]是[x-1]的正比例函数吗？学生将[x-1]当作一个整体，发现[y]与[x-1]是正比例关系，因此，[y]可以看作[x-1]的正比例函数。类似地，学生还判断出②是二次函数，④是反比例函数等。通过对比和辨析，学生发现了一次函数、二次函数、反比例函数的表象特征，初步构建了函数的知识结构。

然后，笔者出示问题2：下列问题［A.每本书的厚度为0.5cm，一摞书的总厚度[h]与数量[n]的关系。B.圆的面积[S]与半径[r]的关系。C.某人一年（12个月）的总收入[W]与月平均收入[q]的关系。D.买某种作业本所需的钱数[y]（元）与数量[x]（本）的关系］中，变量之间的关系不是正比例函数的是（    ）。这个问题旨在培养学生将实际问题抽象为函数模型的能力。学生自主探究，分别得出各选项中变量之间的函数解析式，确定了答案B。

最后，笔者引导学生完成问题3，即举出生活中一次函数的例子，进一步体会一次函数应用的广泛性。结合学生列举的正比例函数[y=2x]，笔者引导学生深入研究。基于教材上一节内容，学生知道描述函数的方法不仅有解析式法，还有列表法、图象法。笔者引导学生尝试列表、画图象，并观察表格和图象，从数和形两个角度分析函数的性质，自主归纳函数的特征。这个过程为学生后续深入学习一般一次函数的图象、性质等奠定了基础。

2.从整体视角出发，归纳函数研究路径

小结环节，笔者引导学生回顾学习过程，总结本节课研究函数的基本路径，积累研究函数的经验。学生通过交流、总结，形成如图1所示的研究框架。

图1呈现了函数的研究对象、研究内容和研究方法，学生由此形成了单元学习的“导览图”。同时，学生归纳出“情境引入变量—明确对应关系—绘制函数图象—探究函数性质”的具体研究路径。

（作者单位：襄阳市实验中学教育集团）