借助直观明算理 关联比较通算法

两位数乘两位数的笔算在小学乘法计算教学中起着承上启下的作用。理解和掌握两位数乘两位数“乘的顺序和积的书写位置”，是进一步学习多位数乘法笔算的基础。这是学生第一次接触分两层记录的乘法竖式，教师要引导学生借助动手操作和直观表象明确分层记录的原理，掌握算法模型。

一、直观操作，感悟算理

本节课以学生亲身参与过的“捐书”活动为问题情境，借助直观的点子图，引导学生在解决两位数乘一位数问题的基础上，运用转化思想自主解决两位数乘两位数的问题。

首先，笔者以“14×12”为例，引导学生借助学习单自主探究两位数乘两位数的计算方法。学习单上有3条探究提示：①想一想，结合以前学过的知识思考怎样计算14×12;②画一画，尝试把自己的计算方法在点子图上表现出来;③写一写，用算式记录你计算的过程。学生自主探究后，呈现出以下几种方法：一是“14×6=84，84×2=168”;二是“14×4=56，56×3=168”;三是“14×10=140，14×2=28，140+28=168”。接着，笔者组织学生讨论：这3名学生的口算过程不一样，请认真观察，他们在算法上有没有相同的地方呢？学生经过充分交流，达成共识：3种方法都是先把12分成两个数，再与14相乘，像这样把12分成一位数或者整十数去乘14，是把新的计算问题转化为我们已经会解决的计算问题，且容易口算。笔者顺势指明：这3种方法都是先把两位数乘两位数的新知，通过“分”的方法转化成旧知（两位数乘一位数、两位数乘整十数），再把结果“合”在一起，以解决问题，这就是转化思想。

以上教学，借助点子图的直观模型引导学生通过分一分、画一画、写一写等活动，发现计算的道理，让学生的思维轨迹在点子图中可视化，使学生在体验算法多样化的同时，发现不同方法的共同点——先把点子图分成几份，再合起来算出总数。“先分后合”的思路恰好是乘法竖式计算的基本思路，这样教学，在渗透转化思想的同时，能使学生理解两位数乘两位数的算理。

二、数形结合，循理入法

1.理解算理

少数学生在自主解决“14×12”的问题时，尝试列竖式计算。笔者恰当地利用这一有价值的生成性资源，鼓励选用笔算方法的学生结合点子图（图略）讲解计算思路：把12分成10和2，先用2乘14得到28，即算出点子图下面两行的点子数量;再用10乘14得到140，即算出点子图上面10行的点子数量;最后用28加140得到168，即12个班一共捐了168本书。笔者进一步引导：他的笔算思路与刚才3种口算思路中的哪一种是一样的？观察他的竖式和第三种口算方法，你能找到两种算法之间的联系吗？这样教学，能使学生在多种口算方法中找到与竖式计算思路一致的方法，把口算步骤和笔算步骤一一对应，沟通竖式中每一层计算与口算过程、点子图表示之间的联系，理解竖式算法的原理。

2.循理入法

为强化学生对算理的理解和对算法的掌握，笔者追问：竖式中的28和140是怎样一步一步计算出来的呢？竖式中的每一步，你能在点子图中找到相应的部分吗？学生在小组内讨论并进行全班展示后，笔者结合动态的点子图（如下图），让学生充分体验竖式中每一步计算的合理性，沟通每次乘积与点子图之间的关联。<E：＼2020排版新＼教育教学＼2022＼4＼2022-4内文＼Image＼image13.png>

通过在点子图上找到竖式四次相乘所对应的结果，学生进一步巩固了算理，认识到列竖式计算的过程就是“先分后合”、计算一共有多少个计数单位的过程。

以上教学，笔者利用数形结合，有效沟通了图形表征、算式表征和计算方法之间的联系，使学生对两位数乘两位数的笔算方法达到理通法自明的学习效果。

3.以理驭法

为强化算法，突破难点，笔者启发学生思考：笔算时先用12个位上的2分别和14个位、十位上的数相乘，乘积28写在了第一层;再用12十位上的1和14相乘，也是从个位乘起，即“1”乘4得到“4”，这个“4”为什么要写在十位上呢？对这一问题的分析与解答，让学生明晰了“乘积表示几个十就在十位上写几，乘积表示几个百就在百位上写几”的道理。借助十进制和位值制的相关知识，学生深刻理解了竖式中第二层乘积个位上的数省略不写的道理，突破了学习难点。

三、沟通联系，“法”“理”融合

1.文化渗透，关联不同方法

在学生初步掌握两位数乘两位数的笔算方法后，笔者利用微课介绍“铺地锦”“画线法”“视窗法”等有趣的乘法计算方法，引导学生对点子图、“铺地锦”、乘法竖式三者进行动态转化，并让学生利用“铺地锦”的方法再次计算“14×12”，感悟竖式算理与“铺地锦”算理是相同的。

数学文化的渗透架起了古代数学与现代乘法竖式之间的桥梁，为学生生动地呈现了乘法竖式的发展脉络，使学生认识到多种方法的内在联系，体会到数学的简洁美。

2.纵向对比，促进知识结构化

课尾，笔者拓展延伸：对比“14×2、14×12、112×14”，若把多位数乘一位数的乘法竖式看作“一层计算”，那么多位数乘两位数的乘法竖式中有几层计算？以此类推，多位数乘三位数的乘法竖式中会有几层计算，每一层分别在算什么？这样呈现乘法笔算的知识脉络，引导学生通过纵向对比感悟乘法竖式的本质，能强化学生对算理、算法的理解，促进学生头脑中知识的结构化。

（作者单位：王鹄，襄阳市襄州区教育教学研究中心;陶娴娴，襄阳市襄州区实验小学）

责任编辑  刘佳