数形结合思想在高中函数教学中的运用分析

作者简介：雷星（1988～），女，汉族，陕西商洛人，陕西省商南县高级中学，研究方向：数学教学。

摘 要：数形结合思想就是将数字、等式等相对抽象的数学概念转换为图形等具体形象，从而更利于学生对数学的理解。高中数学中，函数部分占据了重要的地位，因此教师在教授函数知识点时尤其要注重数形结合，从而降低函数学习的难度，帮助学生理解和吸收函数的内容。基于此，文章在简单介绍了数形结合的内容和重要性后，指出现阶段高中函数数学中数形结合思想运用的状况，重点阐述了数形结合思想的具体应用以及策略。

关键词：数形结合；数学；高中函数；运用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8918（2023）06-0060-04

一、 引言

高中数学中的函数部分比较抽象，需要学生重点理解和吸收。如果教师仅依靠口述或者文字，那么学生就会很难理解，对函数的学习浮于表面。而数形结合思想将函数的虚拟问题转换为清晰可见的图形，帮助学生建立图形概念，并且可以通过图形将生活中的内容联系起来建立更加清晰的数学模型，从而促进学生深层次吸收函数内容，掌握函数学习的规律，帮助学生建立学习数学的信心，提升学生的数学成绩和学习效果。

二、 数形结合思想在高中函数数学中的概述

（一）数形结合思想的概念

数形结合思想，顾名思义指的是将数学中抽象的数字、符号或者等式等内容以图形或者曲线的形式直观地表现出来，实现数学函数学习的化繁为简，促进学生对函数内容的深度理解。

数形结合思想重要的是建立数字和图形的转换思维。利用图形解决数学函数问题确实会更加高效便捷，但是学生进行数形转换需要较高的数学基础和数学素养。高中学生的数学能力会存在一定的差距，有的学生计算能力和逻辑能力有限，因此要想数形结合思想利用得好，就需要进行刻意练习，不断强化数学基础。而教师在教学过程中要着重反复强调数形结合，从而帮助学生深化对数形结合的认知。

（二）数形结合思想在高中函数教学中的重要性

1. 深化学生对函数的认知

高中数学中，函数属于重要的组成部分，也可以说起到了基础性的作用。因此，学生在数学学习中，要格外注重函数的学习。但是，函数内容相对虚拟，需要学生具备较强的逻辑思维能力。函数问题如定义、奇偶性、不等式、三角函数等如果只用文字描述，学生会对函数产生相对模糊的概念，不具备具体性和清晰性。因此，要在函数问题中引入图形这一工具，从而将抽象问题转变为直观的内容，将复杂变为简单，便于学生更为深刻地理解函数问题，在脑海中构建出数学模型，促进对数学问题的应用，做到举一反三。

2. 提升学生的解题速度和正确率

数形结合思想作为解决数学函数问题的一种有效手段，可以很大程度上提升学生的解题速度和正确率。数形结合将函数转换为图形，使得问题变得更为具体，将复杂的文字语言转化为直观的图形语言，从而可以帮助学生更快获取有效的信息，排除一些无用的信息，掌握图形中的规律，得出更为准确的答案。另外，在利用数形结合思想解答函数问题时，也可以将图形问题转换为学生可以清晰理解的等式或者数量关系，两者的相互转换，使得学生可以更加快速深入地理解函数问题。学生在运用数形结合思想解决函数问题时，需要具备较为细致的观察力、较强的逻辑思维能力，以及仔细分析题目保证图形绘制无误，因此数形结合思想的应用也可以培养学生的数学核心素养，提升学生的数学学习效率。

3. 提升教师的教学效果

高中数学教师在进行教学时首先需要考虑的就是如何通过较为浅显的数学语言帮助学生理解较为深刻的数学问题，保证学生的数学学习效果。从这一角度看，教师引入数形结合思想是必要的途径和手段。数形结合本身就是相互转换的，看到函数问题可以转换为图形问题，看到图形问题也可以转换为函数问题，从中选择出更容易理解的方法。因此，在面对函数问题时，可以通过建立数形之间的相互联系、相互证明以及相互补充，从而充分保证学生对数学题目的理解。高中数学教师在教学过程中要注重培养学生的数形结合思想，帮助学生理解数学问题的含义、逻辑以及解题思路，从而培养学生的思考能力，提升教学效果。

三、 数形结合思想的应用现状

数形结合思想是高中函数学习的重要手段，但是在其应用过程中会有一些问题。而问题主要集中在两个方面，即教师和学生。

（一）教师问题

在高中函数的实际教学中，大部分教师对学生数形结合思想的培养都颇为重视，但是学生在应用过程中出现达不到教学目标的现象，而造成这一结果的原因有以下几个方面。

1. 高中数学教师的经验不足

教师都是通过考试加面试进入学校的，近年来更多年轻化的教师参与教学，加上高中的教学对教师本身的要求就偏高，教师的经验不足，对学生的学习情况了解不足或者教学经验不够，都容易产生数形结合效果不明显的情况。

2. 教学方式不当

数学本身就是比较抽象的，函数问题尤是。因此，教师要选取学生容易理解和接受的方式进行教学，但是具体的教学方式需要教师在实践中进行探索，这中间会产生一定的误差。

3. 教师对教材内容的准备不足

教师在讲解函数问题前，要进行备课，这需要教师做到充分理解教材中的内容，但是存在有的教师抱着对教材内容已经很熟悉了，于是就忽略了备课这一习惯。教材的内容可以长时间使用，但是一些具体的实例是在不断变化的，教师在备课中，要注意学生的学习特点，教学有侧重。

4. 教师本身不具备数形结合思想

教师的教学水平会直接影响学生的学习质量，而在教学中存在极个别教师本身就不具备数形结合思维，这也难以培养学生的数形结合思想。

（二）学生问题

1. 学生的逻辑和推理能力不足

数学学习本身就注重逻辑和推理能力，而函数的学习尤其注重，这就对学生的数学基础提出了较高的要求。部分高中学生对函数的定义、转换或者应用缺乏足够的掌握力，而对函数的认知也相对较弱，在实际的应用中难以做到很好的数形结合。

2. 学生的构图能力不足

数形结合思想的关键就是将数字语言转化为图形语言，有的学生因为计算能力较差，虽然能绘制出图形，但是会出现一定的偏差，难以为解题提供正确的依据。

四、 数形结合思想在高中函数数学中的具体应用

高中函数对数形结合思想的应用主要体现在函数的求值、函数的单调性以及三角函数和其融合应用等方面，因此要强化这些模块的数形结合思想。

（一）数形结合思想在函数求值方面的应用

函数的求值问题在函数学习中占据了重要的部分，其包括函数值的个数、范围以及极值等，要想快速解决这些问题，就要用到数形结合思想。在具体的函数求值问题上往往会涉及较多的数字、变量或者符号，如果只用文字进行理解，往往会给学生造成理解上的困难。反之，将其结合图形，则会直观简单很多。因此教师在讲解函数求值相关问题时，需要引入图形，并且要注意绘制图形的准确性。

例如，教师在解答“y=｜x+3｜-｜x-2｜”的最大值和最小值时，需要充分掌握绝对值的解题规律。要想解出该题的正确答案，就需要分情况进行讨论。依据绝对值的应用特征，也就是要考虑绝对值的零点问题。并且依据这一零点，将该问题分成三段，逐一讨论、分析之后得出最大值和最小值。

首先，考虑当两个绝对值内均为正值，即不变更符号的情况，可以得出当x+3≥0，x-2≥0时，则x≥2，该数值的最大值为5。

其次，考虑当两个绝对值均为负值，即全部变更符号的情况，就可以得出当x≤-3时，该等式的最小值为-5。

最后，探讨中间部分，其中一个变号，另一个不变号的情况，即“y=（x+3）+（x-2）”，由此得出在-3<x<2时，图形呈现一条线段，即y=2x+1。

将三段情况探讨之后就可以将所有的点连接起来，从而得出该函数的最大值和最小值。

分段讨论函数的求值问题是函数求值中经常遇到的问题，学生需要对这些问题进行分析，反复练习，形成思维惯性。当在函数中看到绝对值、平方或者不等式等问题时，可以第一时间察觉出题者的意图，直接用数形结合的思想来解决这一类问题，做到举一反三，从而尽快解决求值问题，提升解题的效率和保证其正确性。

（二）数形结合思想在函数单调性方面的应用

数学函数的学习是一个长期的过程，从小学到高中是一以贯之的。其实早在初中数学学习中，学生就接触过关于函数单调性的问题。函数在某一区间内随着变量的增大而逐渐增大，则称为单调递增；而在某一区间内随着变量的增大而逐渐减小，则称为单调递减。在初中接触的是较为简单的函数单调问题，而在高中函数的学习中则会相对比较复杂，会出现分区间进行讨论的情况。而要考查不同区间的函数单调问题，则可以通过画图的形式直观展示出来。

例如，在研究最简单的二次函数“f（x）=x2”时，教师可以画出其图形。

首先，看到关于平方的问题，就要进行关于零点问题的讨论。

如果x≥0，也就是在y轴的右侧部分可以看到y随着x的增大而不断增大。用符号语言进行表述，当x≥0，我们可以得到f（x1）=x21，f（x2）=x22，那么当x1<x2时，则会出现f（x1）<f（x2），我们也就可以说函数f（x）=x2在x≥0的区间是单调递增的。

如果x<0，也就是在y轴的左侧部分可以看到y随着x的增大而不断减小。用符号语言进行表述，当x<0，我们可以得到f（x1）=x21，f（x2）=x22，那么当x1<x2时，则会出现f（x1）>f（x2），我们也就可以说函数f（x）=x2在x<0的区间是单调递减的。

针对函数单调性的考查，可以帮助学生更快地理解函数数值的大小对比，并且理解函数之间的关系，直观展示出函数的运动变化情况，从而帮助学生更好地理解函数的变化。并且学生在理解函数单调性的基础上，还可以进一步理解关于函数的对称性、奇偶性等内容，可以将这些函数问题做到充分的融合理解，从而建立一个整体的数学概念模型，提升学生的学习效率。

（三）数形结合思想在三角函数方面的应用

三角函数作为高中数学重点考查的内容，加上学生在高中之前并未接触过该学习内容，所以三角函数也是学生数学学习的难点，需要做到重点突破。三角函数涉及的内容很多，如正弦函数、余弦函数、正切函数等，每种函数都有其对应的函数图形，并且三角函数也会在基础的函数图形上加以变换，这就使得学生需要掌握其变换规律，做到举一反三，灵活运用。

针对三角函数的学习，教师应该首先引导学生学会绘制最基础的三角函数，如正弦函数，明确其定义域、值域、上下平移或者左右平移等内容。在学生掌握最基础的三角函数内容后，再加以升级如讨论函数的周期性、三角函数之间的相互转换等内容。

例如，“已知函数y=Asin（αx+θ），其中α>0，｜θ｜<2π”，教师通过提问画图就可以得到该函数的最大值和最小值分别为4和-4，通过作出轴对称图形，可以得到一条对称轴就是x=2，而且振动幅度，即A为-4，而其最小的正周期通过计算也可以得出为16。由这些数据可以得到α=π8，教师再通过引导将（6，0）代入坐标系中，从而得出θ为π4，从而又得出函数y=-4sinπ8x+π4。

三角函数的数形结合对学生的数学基础具有较高的要求，并且其中涉及的公式和定理内容很多，学生除了需要熟记其转换的规律，还要掌握其图形变换的特点，从而通过给出的信息，绘制出正确的图形，进而充分理解三角函数。