数学思想方法在中学地理教学中的应用探析

摘 要：中学地理教学渗透数学思想方法是适应基础教育改革和地理学科发展、促进学生发展的应然要求。在中学地理教学中，数学思想方法具有获取和处理地理数据、表达和解释地理事象、归纳和演绎地理规律、分析和解决地理问题的独特功用和优势。中学地理教学应用数学思想方法应以大概念为统领，注重思维逻辑的链接；以知识融合为基础，强化学科间的关联；以问题解决为导向，掌握探究世界的科学方法。实践证明，在中学地理教学中渗透数学思想方法，既凸显出地理学科的综合性，也是提升地理教学质量的新途径。

关键词：中学地理；数学思想方法；跨学科融合教学

中图分类号：G633.55       文献标识码：A       文章编号：1005-5207（2023）10-0003-06

*资助项目：昆明市教育科学十四五规划课题“‘五育融合’下中学跨学科项目化学习的实践研究”（ZY2022043）。

推进跨学科综合教学是我国基础教育改革的重要方向和中小学新课程标准调整的重要内容。2019年，中共中央、国务院在关于深化基础教育教学改革的举措中提出要“探索基于学科的课程综合化教学”。目前，在现实教育教学过程中仍然普遍存在学科间割裂、学科整合不够的问题，导致学生在面对真实世界和情境时难以融合运用各学科知识综合分析、解释和解决问题，究其原因在于教师跨学科教学意识和方式缺失、跨学科能力不足、跨学科内容整合度不够、跨学科思维和技巧方法缺乏。如何进行跨学科教学是当今基础教育改革面临的重要课题，基于学科的跨学科教育实践是实现学科“大融合”的基础和关键环节。为此很多教育科研人员和一线教师都进行了有益尝试，《普通高中地理课程标准（2017年版2020年修订）》中提到要“注重地理学科与其他学科的融合”，本文探讨在中学地理教学中渗透数学思想方法的必要性、可能性、功用和策略，以期促进地理和数学学科教学的有机融合。

一、中学地理教学运用数学思想方法的必要性和可行性

1.必要性

就地理学科的发展而言，定量分析是现代地理学发展的重要方向和趋势，定量化方法是现代地理学重要的方法论基础。现代地理学采用定性和定量相结合的方法对各种地理现象加以系统研究，以更好地解释其内在机制和运行规律，并分析和预测未来演变，从而更好地为社会、经济和人类发展服务。定量化可以用精确的判断来弥补定性描述地理事象的不足，可以用抽象且反映本质的数学模型刻画和推导具体的、复杂的地理现象和地理规律，可以通过对过程的模拟和预测替代仅对现状的说明和分析［1］。20世纪60年代兴起的计量运动对地理学的发展产生了深刻的影响，数学、计算机技术的应用极大地解决了地理“大数据”的存储、系统分析和智能化等问题，为解决复杂的地理问题提供了强有力的支撑，也是GIS技术等地理信息技术的重要基础。在中学地理教学中渗透数学思想方法可为学生以后深入学习和地理研究提供可持续性基础。

就学生发展和人才培养而言，跨学科交叉融合是发展核心素养的新途径，有利于发现新的探究方向、思路和方法，有助于激发创新活力［2］。数学是其他学科进行系统研究和开拓新理论的有效工具，应用数学知识分析地理问题、探究地理规律，既可增强学生综合分析地理问题的能力和地理实践力，又可培养其数学抽象、数学建模的能力和高阶思维能力。例如，通过查阅文献的方式获取昆明城区面积、人口变化和各产业产值的数据，利用数学统计方法进行科学统计分析，通过数学运算、构造数列、取对数等数学手段将其转化为各种需要的数据（如人口增长率、城区面积增长率），并绘制成各种统计图表，使数据可视化；通过分析了解城区面积变化率、城区人口变化率以及各产业比重变化等地理要素之间的关联程度；通过统计图对比昆明建成区面积变化和城区人口数量变化的一致性，分析昆明市城市化的合理性，同时根据资料并结合实际调查，分析变化不一致年份出现的原因及影响；通过最小二乘法，算出城市化水平与非农业生产活动的线性回归方程［3］，根据回归方程可预测今后昆明市城市化水平和非农业比重的变化。通过让学生完整参与整个探究过程，创新了地理教学中研究、探讨问题的方法，使得学生在地理实践中对城市化知识有更加深刻的理解。

另外，借助数学知识和逻辑推理可有效减少机械刷题，减轻记忆负担，提高学习效率，契合“双减”精神。例如，在等值线图中计算任意两点的值差（如等高线图中两地的高差和陡崖高度问题）只需要借助不等式同向相加的性质就能很好地避免记忆各种繁琐公式。

2.可行性

数学与地理有着天然的“不解之缘”，在人类文明早期，数学主要是研究地表事物和现象的。数学是自然科学的语言，是研究自然规律的基本工具，对于具有自然科学属性的自然地理而言，数学的工具性和重要性不言而喻，这在中学地理有关时间的计算、最短航距、等值线的特征、地图比例尺、降水量的统计等知识中都有重要体现。“人文科学更应该奔向自然科学”，就是希望人文科学重视自然科学的科学逻辑严谨性和数学等方法论的运用［4］，人文地理借助数学思想方法能有效地探究地理要素之间的关系、地理要素的时间演化规律等问题。自然地理和人文地理要素的时空状态都是基于特定地理空间、时间而言的，经纬度是地理学中应用的基本空间语言，经纬度—时间体系构成了讨论地理事件空间分布及分析其之间关系和随时间变化状况的空间—时间语言，任何地理事象的空间和时间位置都可以用数学化的四维坐标系（x，y，z，t）来描述［5］，加之将地理属性进行数学化处理后，可以用几何和函数等数学语言、数学模型对地理要素分布、地理要素间的联系、地理要素演变规律进行刻画与分析。因此，中学生具备必要的数学基础和思维能力，利用数学思想方法探究地理问题是可行的。

二、中学地理教学中数学思想方法的运用领域

1.获取和处理地理数据

地理事象可以用地理数据表征，包括空间数据和属性数据。在地理实践过程中通常难以获取地理对象的所有数据，需要针对地理对象的特征采用合理的抽样方法获取样本数据，以保证样本数据能科学、准确地反映总体状况。例如，要了解游客对云南民族村旅游产品的需求，可采用简单随机抽样的方式进行现场访问；要获取某晴日的太阳高度变化数据，可采用系统抽样的方式在相等时间间隔进行测量；要调查昆明西山植被高度与水热条件、土层深度的关系，需要根据不同海拔的植被类型采用分层抽样的方法进行。地理数据为地理事实和抽象的数学之间搭建起了桥梁，地理数据经过数学化处理后通过统计整理、计算和数学分析可获得某些地理特征或规律，如利用方差等统计数值特征，利用坐标图等可视化统计图或数学相关分析反映地理事象的分布、变化或关系。通过获取和处理地理数据的过程，可有效培养学生的地理实践力和数学运用等关键能力。

2.表达和解释地理事象

首先，地理学中很多概念是可以用数学来定义的，如用二面角的平面角定义经度，用线面角定义纬度和太阳高度，用集合定义等值线或等值面，用韦恩图表示自然资源、自然灾害的概念和特性等。其次，有些地理事物、地理现象和地理规律可用简洁、精准的数学式表达，如正午太阳高度的计算公式、时间的相关计算、人口自然增长率等。这些表达式可通过构建一定的数学模型进行推导得出，并能够解释相关的许多地理事物或现象。例如，太阳直射点的移动规律可通过五点法作图绘制出的正弦函数表示，相关联的很多地理现象和规律又可比照三角函数的性质（值的分布、单调性、周期性、对称性）进行解释：Y轴正半轴表示太阳直射北半球、Y轴负半轴表示太阳直射南半球；增区间表示太阳直射点向北移动、减区间表示太阳直射点向南移动；太阳直射点回归运功的最小正周期为一回归年；关于轴对称（夏至日、冬至日）的两个日期太阳直射在同一半球同一条纬线，关于中心对称（春分日、秋分日）的两个日期太阳直射在不同半球纬度相同的纬线等（图1）。这为理解和解决昼夜长短、正午太阳高度、日出日落方位等问题提供了便利。另外，借助数学知识和思维可帮助学生理解和解释地理事物或现象，例如，等太阳高度线呈同心圆分布以及等值线的分布与地理实体之间的转换可以用数学中的投影和三视图进行呈现和解释。

3.归纳和演绎地理规律

归纳法和演绎法是研究、推导地理规律和地理原理的常用方法，也是数学中基本的逻辑方式。借助数学思维方法采用归纳法和演绎法可丰富地理探究的手段、拓展探究的广度及深度。例如，利用数学归纳法可得到时区中央经线经度的计算公式。再如，根据正午太阳高度的计算公式H﹦90°-｜φ地-φ直｜（规定地表任意一点φ地和太阳直射点的纬度φ直北半球为正，南半球为负；φ地表示空间—纬度，φ直表示时间—季节）演绎推导正午太阳高度的空间和时间变化规律：当｜φ地-φ直｜=0°时，即φ地=φ直 时H取得最大值，由此可知，地表离太阳直射点越近或太阳直射点离地表某地越近，正午太阳高度越大；φ直固定，即时间确定时， H﹦90°-｜φ地-φ直｜表示 H关于φ地函数（绝对值函数，可写成分段函数的形式），进而可从一次函数的视角研究正午太阳高度的空间（纬度）变化规律，并根据函数表达式绘制出二分二至日正午太阳高度的纬度分布图；φ地固定，即地点确定时， H﹦90°-｜φ地-φ直｜表示 H关于φ直函数，进而可从一次函数的视角研究正午太阳高度的时间（季节）变化规律，并且可根据数学中的分类讨论思想分热量带绘制出正午太阳高度的年变化图。利用数学归纳法、演绎法和传统定性分析相结合的方法更加有利于学生探究地理问题和培养学生的高阶思维能力。

4.分析和解决地理问题

利用数学思想方法解决地理问题在中学阶段主要表现为两方面：①直接运用数学思想方法分析地理问题，常见的有地理计算、地理图表分析等；②采用构建数学模型的方式解决地理问题，常用于较复杂的地理情境、较深入的地理探究和地理实践中。从数学视角解决地方时的计算、太阳高度的计算、经纬度定距、比例尺、地理估算等问题能让思维更开阔、问题更简化，如利用分类讨论思想分析不同纬度地区正午太阳高度的变化幅度问题会让人豁然开朗。地理图表实质是将地理数据进行数学化图像表达，其中往往隐含着丰富的地理知识，用数学视角审视这些图表有助于挖掘出丰富的信息和规律，可通过运用函数、导数、数列、线性规划、概率与统计等数学知识分析图表中的最值、极值、拐点、变化趋势、变化率等特征并联系、映射地理现象来实现。

运用数学建模的方式探究、解决地理问题是高层次的思维活动，也是地理和数学跨学科有机融合的上佳方式和较为精彩的内容，对于创新地理探究方法和思维有着重要意义。不同的地理问题可通过选择合适的数学知识建模处理（表1），例如，分析两个地理要素的相关性及关联程度可用相关系数知识构建反映两者数量关系的数学（线性回归）模型，对于指数型、幂函数型、对数型等非线性关系的地理要素可通过取对数、整体代换、倒数代换等方式将其转化为线性关系构建线性模型。

三、中学地理教学中运用数学思想方法的路径

1.以大概念为统领，注重思维逻辑的链接

大概念是能反映知识结构、学科本质和核心思想方法的概念，具有抽象性、概括性、普遍性、统摄性、可迁移性等特点，在整个知识体系和概念体系中居于上位［6］。大概念根据概括程度从高到低可分为哲学大概念、跨学科大概念和学科大概念等层级。哲学大概念抽象程度和概括程度最高，它将客观世界看作一个整体和系统，为我们提供基本的世界观、价值观、方法论和认识论，指导我们的思想观念和思维活动；跨学科大概念是各个学科共通的大概念，它建立了学科之间的联系，有利于打破学科之间的界线，也为学科链接和融合提供了思维纽带和逻辑结点；学科大概念联结学科内的基本概念，融通学科内知识，揭示学科基本规律及探究世界的基本思维方法。大概念的层级关系有利于自上而下厘清问题逻辑线路，为跨学科融合扫清思维障碍和提供方法路径。以太阳高度的教学为例，要深入探究其变化规律应以“世界是运动变化的”这一基本宇宙观、“运动变化是有规律的，规律是可认识的”这一认识论、“我们要尊重规律，善用规律改造世界”这一价值观以及“从特殊到一般，从一般到特殊”这一方法论的哲学大概念为逻辑起点和思维指引，然后以“对应、关系、变化”和“归纳法、演绎法”等跨学科大概念为纽带找出与太阳高度、正午太阳高度（变化）相关的因素，并用“函数是刻画现实世界中运动变化现象最基本的数学语言和工具”等数学大概念对相关地理要素构建函数模型进行表征（即用函数表征“地理分布”“地理联系”“地理过程”），最后用函数图像、函数的性质（定义域、值域、单调性、对称性、周期性）、函数类型等数学基本概念探究太阳高度、正午太阳高度的变化规律（图2）。