求线段比最值问题的方法研究

［摘 要］初中数学中，求线段比最值问题难度较大，学生在解答的过程中可能会遇到一些困难。文章结合几个例题，分析探讨求线段比最值问题的方法，旨在帮助学生突破解题难点，发展学生的思维能力。

［关键词］线段比；最值；初中数学

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）05-0018-04

近几年，中考数学试题中不断出现关于线段比最值问题，这类问题难度较大，学生解答普遍有些困难。解决此类问题可以用弦与直径的关系、锐角三角函数的边角关系、直角三角形斜边与直角边的大小关系、二次函数的最值性质等。

一、利用“直径是圆中最长的弦”求线段比的最值

当图形中几个点到一定点的距离相等时，则这几个点在以定点为圆心的圆上，此时可以作出辅助圆，并利用“直径是圆中最长的弦”求得线段比的最值。

［例1］如图1所示，等腰直角[△ABC]的斜边[AB]下方有一动点[D]，[∠ADB=90°]，[BE]平分[∠ABD]交[CD]于点[E]，则[CECD]的最小值是 。

分析：如图2所示，取[AB]的中点[O]，连接[OC]、[OD]、[AE]。由[OA=OB=OC=OD]，得[A]、[C]、[B]、[D]四点共圆，往证点[E]是[△ABD]的角平分线的交点，再证明[CE=CA]为定值，当[CD]是直径时，[CECD]的值最小。

解：如图2所示，取[AB]的中点[O]，连接[OC]、[OD]、[AE]。∵[∠ACB=∠ADB=90°]，[OA=OB]，∴[OC=OD=12AB]，∴[A]、[C]、[B]、[D]四点共圆，∵[CA=CB]，∴[∠CBA=∠CAB=45°]，∴[∠CDA=∠CBA=45°]，[∠CDB=∠CAB=45° ]，∴[∠CDB=∠CDA]，∴[DE]平分[∠ADB]，∵[BE]平分[∠ABD]，∴点[E]是[△ABD]的角平分线的交点，∴[AE]平分[∠BAD]，∴[∠BAE=∠DAE]，∵[∠CAE=∠CAB+∠BAE=45°+∠BAE]，[∠CEA=∠EDA+∠EAD=45°+∠DAE]，∴[∠CAE=∠CEA]，∴[CA=CE=定值]，∴当[CD]的值最大时，[CECD]的值最小，∴当[CD]是直径时，[CECD]的值最小，最小值[=ACBA=22]，故答案为[22]。

评注：当两个直角三角形的斜边重合时，这两个直角三角形的四个顶点一定在同一个圆上，但是直角顶点的位置并不确定。本题通过作出辅助圆，利用“直径是圆中最长的弦”求得线段比的最小值，体现了辅助圆的价值。

二、利用一元二次方程根的判别式求线段比的最值

当线段的长作为一元二次方程的未知数时，这个一元二次方程一定有实数根，由此可以确定根的判别式一定大于或等于0，这样就建立了关于未知系数的不等式，通过求不等式的解集，获得未知系数的最值，从而求得线段比的最值。

［例2］如图3所示，在Rt[△ABC]中，[∠A=90°]，[AB=AC]，点[D]在[AB]上，点[E]在[AC]上，且[AD=CE]，连接[DE]，求[DECD]的最小值。

分析：设[AB=AC=1]，由等腰直角三角形的性质得出[BC=2]，设[AD=CE=x]，则[AE=BD=1-x]，过点[D]作[DF⊥BC]于[F]（如图4），则[△BDF]是等腰直角三角形，得[BF=DF=22BD=22（1-x）]，[DE=AD2+AE2=2x2-2x+1]，[CF=BC-BF=22（x+1）]，[CD=DF2+CF2=x2+1]，得[DECD=2x2-2x+1x2+1=2-2x+1x2+1]，设[2x+1x2+1=y]，整理得[yx2-2x+y-1=0]，得[y]的最大值为[1+52]，即可得出[DECD]的最小值。

解：设[AB=AC=1 ]，∵[∠A=90°]， [AB=AC ]，∴[△ABC]是等腰直角三角形，[∠B=45°]，∴[BC=2AB=2]，设[AD=CE=x]，∴[AE=BD=1-x]，过点[D]作[DF⊥BC]于[F]，如图4所示，则[△BDF]是等腰直角三角形，∴[BF=DF=22BD=22（1-x）]，[DE=AD2+AE2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1]，[CF=BC-BF=2-22（1-x）=22（x+1） ]，[CD=DF2+CF2=22（1-x）2+22（x+1）2=x2+1 ]，∴[DECD=2x2-2x+1x2+1=2-2x+1x2+1]，设[2x+1x2+1=y]，整理得[yx2-2x+y-1=0]，∵[x]为实数，∴[Δ=（-2）2-4y（y-1）≥0]，即[y2-y-1≤0]，∴[1-52≤y≤1+52]，∴[y]的最大值为[1+52]，∴[DECD]的最小值为[2-1+52=5-12]。

评注：本题求线段比的最小值的过程中运用了多重知识，首先是假设线段[AB]、[BD]的值，并表示出[DF]与[CD]的长，然后将问题转至一元二次方程根的判别式，由[x]为实数建立一个一元二次不等式。该方法本质是解一元二次不等式，这需要运用二次函数、一元二次方程和二次根式的相关知识。

三、利用锐角三角函数的边角关系求线段比的最值

锐角三角函数反映的是直角三角形边与边的关系，因为垂线段最短，所以将斜三角形边与边的比转化为直角三角形边与边的比，就可以找到斜三角形边与边的比的最小值。

［例3］如图5所示，点[D]为等边三角形[ABC]内一点，且[∠BDC=120°]，则[ADBD]的最小值为 。

分析：如图6所示，将[△BCD]绕点[C]顺时针旋转60°得到[△ACE]，连接[DE]，过点[A]作[AH⊥DE] 于点[H]。证明[∠AEB=60°]，则[AHAE=32]，根据[ADBD=ADAE≥AHAE]求解即可。

解：如图6所示，将[△BCD]绕点[C]顺时针旋转60°得到[△ACE]，连接[DE]，过点[A]作[AH⊥DE]于[H]。∵[CD=CE]，[∠DCE=60°]，∴[△DCE]是等边三角形，∴[∠EDC=∠DEC=60°]，∵[∠AEC=∠BDC=120°]，∴[∠AED=60°]，∵[BD=AE]，∴[ADBD=ADAE]，∵[AH⊥DE]，∴[AD≥AH]，∴[ADBD≥AHAE]，∵[∠AHE=90°]，[∠AEB=60°]，∴在Rt[△AHE]中，[AHAE=sin∠AEH=sin60°=32]，∴[ADBD≥32]，∴[ADBD]的最小值为[32]。

评注：本题用旋转法将等边三角形中的“星形”线段[DA]、[DB]、[DC]转化到同一个三角形[ADE]中，同时也得到[∠AED=60°]，利用“垂线段最短”的几何性质得到[ADBD的最小值是AHAE]，最后利用60°角的正弦值求得线段比的最小值。不难发现，利用锐角三角函数的边角关系也是求线段比最值的策略之一。

四、利用“弓形高”求线段比的最值

当定角对定边时，可以得到一个辅助圆，在辅助圆中，从弓形各点向弦作垂线段，其中过弓形中点所作的垂线段最长，据此可以求得线段比的最大值。

［例4］如图7所示，在[△ABC]中，[∠C=90°]，点[D]是[BC]边上一动点，过点[B]作[BE⊥AD]交[AD]的延长线于点[E]。若[AC=2]，[BC=4]，则[DEAD]的最大值为       。

分析：过点[E]作[EF⊥BC]于[F]，推出[△ACD ]∽[△EFD]，根据相似三角形的性质得到[DEAD=EFAC]，当[OE⊥BC]时，[EF]有最大值，根据勾股定理得到[AB=25]，由垂径定理得到[BF=12BC=2]，求得[EF=5-1]，即可得到结论。

解：如图8所示，过点[E]作[EF⊥BC]于[F]，∵[∠C=90°]，∴[AC]∥[EF]，∴[△ACD ]∽[△EFD]，∴[DEAD=EFAC]，∵[AE⊥BE]，∴[A]、[B]、[E]、[C]四点共圆。设[AB]的中点为[O]，连接[OE]，如图9所示，当点[E]是[BC]中点时，[EF]的值最大，此时[E]、[F]、[O]共线，∵[AC=2]，[BC=4]，∴[AB=AC2+BC2=22+42=25]，∴[OE=OB=5]，∵[OE⊥BC]，∴[BF=12BC=2]，∴[OF=OB2-BF2=5-4=1]，∴[EF=OE-OF=5-1]，∴[DEAD=EFAC=5-12]，∴[DEAD]的最大值为[5-12]，故答案为[5-12]。

评注：本题[∠C=∠AEB=90°]，且都对着同一边[AB]，出现了定角对定边的现象，所以可以把辅助圆作出来，因为[BC]固定，所以弓形[BC]也固定，从弓形[BC]上各点向弦作垂线段，其中垂线段最长，实际上也就是弓形高，这是求得[DEAD]的最大值的关键。

五、利用二次函数最值法求线段比的最值

在求线段比的最值的问题中，当两条线段是相似三角形的对应边时，可以转化为另一组对应边的比，另一组对应边通常是一组水平线段的比或一组竖直线段的比。其中线段的长可以用点的纵坐标的差或横坐标的差表示，从而建立二次函数关系式，利用二次函数最值的性质解决问题。

［例5］如图10所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线[y=ax2+bx+c]与[x]轴交于点[A（-3，0）]，[B（1，0）]两点，与[y]轴交于点[C（0，3）]，点[P]是抛物线上的一个动点。（1）求抛物线的表达式；（2）当点[P]在直线[AC]上方的抛物线上时，连接[BP]交[AC]于点[D]，当[PDDB]的值最大时，求点[P]的坐标及[PDDB]的最大值。

分析：（1）运用待定系数法，将点[A（-3，0）]，[B（1，0）]，[C（0，3）]代入[y=ax2+bx+c]，即可求得抛物线的表达式；（2）运用待定系数法可得直线[AC]的表达式为[y=x+3]，过点[P]作[PE]∥[x]轴交直线[AC]于点[E]，设[P（t，-t2-2t+3）]，则[E（-t2-2t，-t2-2t+3）]，可得[PE=-t2-2t-t=-t2-3t]，由[PE]∥[x]轴，得[△EPD ]∽[△ABD]，进而得出[PDDB=PEAB=-t2-3t4=-14t+322+916]，再运用二次函数最值的性质即可求得答案。

解：（1）∵抛物线[y=ax2+bx+c]与[x]轴交于点[A（-3，0）]，[B（1，0）]两点，与[y]轴交于点[C（0，3）]，∴[9a-3b+c=0，a+b+c=0，c=3，]解得[a=-1，b=-2，c=3，]∴该抛物线的表达式为[y=-x2-2x+3]。

（2）设直线[AC]的表达式为[y=kx+n]，则[-3k+n=0，n=3，]解得[k=1，n=3，]∴直线[AC]的表达式为[y=x+3]，过点[P]作[PE]∥[x]轴交直线[AC]于点[E]，如图11所示，设[P（t，] [-t2-2t+3）]，则[E（-t2-2t，-t2-2t+3）]，∴[PE=-t2-2t-t=-t2-3t]，∵[A（-3，0）]，[B（1，0）]，∴[AB=1-（-3）=4]，∵[PE]∥[x]轴，∴[△EPD ]∽[△ABD]，∴[PDDB=PEAB]，∴[PDDB=-t2-3t4=-14t+322+916]，∵[-14<0]，∴当[t=-32]时，[PDDB]的值最大，最大值为[916]，此时点[P]的坐标为[-32，154]。