直观想象视角下2023年高考新课标Ⅰ卷数学试题的分析

［摘 要］2023年高考新课标Ⅰ卷数学试题立足核心素养，重视考查理性思维，强化考查考生在真实情境中运用数学知识解决问题的能力和直观想象素养。文章分析2023年高考新课标Ⅰ卷数学试题关于直观想象素养的考查，并提出建议：教师在教学过程中应重视引导学生把握知识之间的内在联系，体会数形结合思想的应用价值，培养学生的直观想象素养。

［关键词］2023年高考；新课标Ⅰ卷；直观想象素养

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）05-0031-04

一、研究背景

2020年10月13日，中共中央、国务院印发了《深化新时代教育评价改革总体方案》，明确指出：稳步推进中高考改革，增加试题开放性，改变相对固化的试题形式，减少死记硬背与“机械刷题”现象。基于此，高中数学教师需要扎根数学学科核心素养，对高考试题做进一步的分析，从而优化课堂教学设计，促使学生能够用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界，真正体现数学学科育人的价值。

二、直观想象素养概述

直观想象素养是解决数学问题所需的重要素养，表现为学生在解决数学问题时能够构建出相关的数学模型。高考数学试题关于直观想象素养的考查，对学生提出了以下要求：能根据已知条件画出正确的图形，能根据图形想象出事物的直观形象；能有效分析图象中各元素之间的关系；能将图形进行拆分、组合；能够运用图象发现、思考和表达出问题的本质。

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。研究者常通过“几何直观”与“空间想象”两个核心概念对直观想象素养进行研究。直观想象素养要求学生能够在分析事物的基础上，对物体的空间形态、位置关系与运动规律进行想象；能够运用几何直观和空间想象思考问题、解决问题，具有把握事物本质的能力。

三、2023年高考新课标Ⅰ卷数学试题分析

2023年高考新课标Ⅰ卷贯彻落实了新课标的精神，除强调考查立体几何、解析几何、函数等相关知识外，还注重考查直观想象素养。

（一）强调基础知识，注重直观模型构建

2023年高考新课标Ⅰ卷数学试题注重考查学生的基础知识，以及学生构建直观模型的能力。学生需要掌握几何模型的基础知识，了解问题背景，才能通过分析相关条件构建正确的直观模型，从而解决问题。

［例1］（2023年高考新课标Ⅰ卷数学第18题）如图1所示，在正四棱柱[ABCD]-[A1B1C1D1]中，[AB=2]，[AA1=4]。点[A2，B2，C2，D2]分别在棱[AA1]，[BB1]，[CC1]，[DD1]上，[AA2=1]，[BB2=DD2=2]，[CC2=3]。

（1）证明：[B2C2]∥[A2D2]；

（2）点[P]在棱[BB1]上，当二面角[P-A2C2-D2]为[150°]时，求[B2P]。

试题分析：此题条件简洁明了，内涵较为丰富，考查学生对空间直角坐标系的建立，向量平行、向量的数量积等概念的掌握程度，以及空间想象能力。（1）由题中所给的条件可知，不妨以[C]为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，根据向量坐标相等与直线位置之间的关系进行证明；（2）由于点[P]是动点，通过借助参数[λ（0≤λ≤4）]将动点问题转化为代数问题即可解决。设[P（0，2，λ）（0≤λ≤4）]，利用二面角法向量之间的夹角关系，建立方程组求出参数[λ]即可。

本题的解题关键在于把握直线与直线、平面与平面之间的位置关系及其背后蕴含的数量关系，借助几何直观形成解题思路。

［例2］（2023年高考新课标Ⅰ卷数学第6题）过点（0，-2）与圆[x2+y2-4x-1=0]相切的两条直线的夹角为[α]，则[sinα=]（ ）。

A. 1 B. [154] C. [104] D. [64]

试题分析：此题条件简洁明了，逻辑清晰，充分考查切线性质、倍角公式、余弦定理、两点间距离公式、两直线夹角等概念，直线与圆的位置关系，以及空间想象能力。学生如果能根据题目中所给条件建立点、直线与圆的位置关系的直观模型，从两补角之间正弦值相等出发，意识到求[sinα]即求[sin∠APB]，根据两点间距离公式及圆心到切线的距离等于圆的半径，求出线段[BC]与[PC]的长度（如图3），就能很快地得出答案为B。

（二）数形结合建立模型，探索解题思路

数和形是数学中两个最主要的研究对象，它们有着十分密切的联系，两者相互转化、相互渗透。用“形”观察“数”的大小关系是一种直觉判断，“能否想到用图形观察”“用什么样的图形观察”“如何运用图形进行观察”对数学问题的解决至关重要。2023年高考新课标Ⅰ卷数学试题注重考查数形结合思想的运用。

［例3］（2023年高考新课标Ⅰ卷数学第15题）已知函数[f（x）=cosωx-1（ω>0）]在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则[ω]的取值范围是                 。

试题分析：此题考查学生对于函数概念、函数与方程的转化的掌握程度，以建立几何模型和借助几何模型解决问题的能力。此题考查关于函数零点的个数问题，而不是大小或函数最值等问题，并且函数[f（x）=cosωx-1（ω>0）]在区间[0，2π]内有3个零点，也就是说[cosωx=1]在区间[0，2π]内有3个不同的实数根。因为题中所给函数具有周期性，单纯从“数”的角度解决问题难度较大，所以可以从“形”的角度判断根的大致分布情况。不妨令[t=ωx]，当[t∈0，2ωπ]时，[y] = [cost]的图象与[y=1]的图象（如图4）有3个交点，即满足条件[4π≤2ωπ<6π]，故[2≤ω<3]。

此题的难点在于如何通过已知条件寻找根与系数之间的关系，并通过建立几何模型探索解题思路。数形结合为解题找到了突破口。掌握y=[cost]的图象与[y=1]的图象之间的关系，通过简单的运算即可得到答案。

［例4］（2023年高考新课标Ⅰ卷数学第11题）已知函数[f（x）]的定义域为[R]和[f（xy）=y2f（x）+x2f（y）]，则（ ）。

A. [f（0）=0]              B. [f（1）=0]

C. [f（x）]是偶函数    D. [x=0]为[f（x）]的极小值点

试题分析：本题[ABC]选项均可以采用代入数值的方法进行求解。

当[x=0]，[y=0]时，[f（0）=0·f（0）+0·f（0）=0]，故选A。

当[x=1]，[y=1]时，[f（1）=1·f（1）+1·f（1）=2f（1）]解得[f（1）=0]，故选B。

当[x=-1]，[y=-1]时，[f（1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=0]，解得[f（-1）=0]。令[y=-1]，[f（-x）=f（x）+x2f（-1）=f（x）]，故选C。

对于D选项，可从以下两个方面进行分析：

方法一：寻找特殊函数

当[f（x）=0]时，满足条件[f（xy）=y2f（x）+x2f（y）]，此时函数图象为一条过原点且平行于[x]轴的直线，此时函数没有极值点。

方法二：构造函数

根据题中所给的函数[f（xy）=y2f（x）+x2f（y）]，当[x]和[y]均不为0时，对函数[f（xy）=y2f（x）+x2f（y）]两边同时除以[x2y2]，得到式子[f（xy）x2y2=f（x）x2+f（y）y2]，容易联想到对数函数[f（x）=lnx]。又因为[f（x）]是偶函数，受到对称性的影响，可以假设[f（x）x2=lnx（x≠0）]，则[f（x）=x2lnx，x≠0，0，x=0，]对函数进行求导后，根据函数单调性可以画出函数图象（如图5），由图象可知，此时[x=0]时，函数[f（x）]有极大值点。

此题的难点在于如何将抽象函数与具体函数建立联系，借助函数图象对函数的性质进行分析。

（三）利用空间想象探寻问题本质

事物的本质往往隐藏在事物的背后，它不仅需要我们从数学模型、几何直观上认识和把握事物的本质，还要求我们从生活中汲取相关经验，从而在脑海中形成与问题情境相对应的大致图象。2023年高考新课标Ⅰ卷数学试题注重考查学生利用空间想象探寻问题本质的能力。

［例5］（2023年高考新课标Ⅰ卷数学第12题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）。

A. 直径为[0.99 m]的球体

B. 所有棱长均为[1.4 m]的四面体

C. 底面直径为[0.01 m]，高为[1.8 m]的圆柱体

D. 底面直径为[1.2 m]，高为[0.01 m]的圆柱体

试题分析：本题兼顾考查了生活常识与数学几何知识，体现了数学原理和方法与生活常识相统一。本题难度适中，但方式较为新颖，突出了素养导向，且贴近生活实际。

此题的难点在于如何根据图象信息找到几何立体图形之间的数量关系，借助立体几何形成具体解题思路。

因为球的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内（如图6），故A正确。

因为正方体的对角线比四面体的棱长要长（如图7），但正方体的棱长比四面体的棱长要短，因此可以尝试将四面体的每条棱与正方体每个面的对角线相重合（如图8），故B正确。

由于所给圆柱体的直径很小，相较于正方体来说，可以近似将该圆柱体作为一条线段进行分析（如图9）。正方体的对角线长为[3m]，且[3<1.8]，因此该圆柱体无法放入正方体中，C错误。

对于D选项，由于此题涉及的位置关系较为复杂，因此可以在画出简图后，形成清晰的解题思路。该圆柱体的高很小，可将其近似看成一个圆形，观察其直径与正方体的对角线之间的关系。由题中所给信息可知，正方体的对角线长为[3m]，且[3>1.2]，因此有可能将其放入正方体中，D选项正确。但该圆柱体只能“近似”看成一个圆形（如图10），并不能简单地忽略它的高度，因此还需要进行更细致的分析。本题将“圆柱体”放入“正方体”，不妨对一般情况进行研究。

当以正方体的对角线为轴放置圆柱体，圆柱体的底面与正方体三个面相切时，圆柱体的高有最大值，此时圆柱体的底面所在的平面截正方体得一个底面为等边三角形，各个侧面均为全等直角三角形的三棱锥（如图11）。

因此，要想求出所放入圆柱体高度的最大值，需要知道点[A]到底面[JHI]的距离，不妨假设点[A]到底面[JHI]的距离为[h]，[AI]长度为[a]，[JI]长度为[b]，圆柱底面半径为[r]，所放入圆柱体的高度的最大值为[H]（如图12），由平面HIJ的截面（如图13）可知，各条线段之间具有以下关系：

[b=2a]

[b=23r]

[VA-IJH=13h·S△IJH]

[VA-IJH=VJ-AIH=13a·12a2=16a3]

[H=3-2h]

解得[H=3-22r]。根据题目中所给条件可知，[r=0.6] m，将值代入求解，可得[H≈0.03>0.01]，所以该圆柱体能够放入棱长为1的正方体中。

由本题可知，在几何直观的基础上，利用事物的一般性质，由一般到特殊，进而把握知识的本质联系，为构建模型解决问题提供了根本保障。