高中数学拔尖生提出问题能力的培养路径

［摘 要］文章主要从三个方面探究高中数学拔尖生提出问题能力的培养路径，旨在为高中数学教师培养数学拔尖生，为高校输送更多的拔尖创新人才提供参考与借鉴。

［关键词］拔尖生；提出问题能力；培养路径

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）08-0001-04

2018年，教育部联合其他部门发布的《关于实施基础学科拔尖学生培养计划2.0的意见》强调：培养基础学科拔尖人才是高等教育强国建设的重大战略任务。党的二十大报告指出，全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才。由此可见，国家已将拔尖创新人才培养提升到治国、强国的战略高度。作为教师，我们肩负着培养拔尖创新人才的重任，因此要积极响应国家的号召，探索并实践培养拔尖创新人才的最佳路径。提出问题是开启优秀学生心智大门的钥匙，提出问题能力并非自然而然地形成和提高的，而是需要教师进行培养。本文主要对高中数学拔尖生提出问题能力的培养路径进行探究。

一、创设问题情境，采取多样化解题策略，为学生提出问题打下基础

在高中数学教学中，教师应创设问题情境，开展多样化的解题训练，使学生牢固地掌握所学知识，强化学生对数学思想方法的熟练运用，同时教会学生从不同角度去审视问题，使学生脑海中存储的知识被充分调动，从而找到解题的突破口，为学生提出问题打下基础。

［例1］设抛物线[C：y2=2px（p>0）]的焦点为F，点[D（p，0）]，过F的直线交[C]于[M、N]两点，当直线[MD]垂直于[x]轴时，[MF=3]。

（1）求[C]的方程；

（2）设直线[MD]、[ND]与[C]的另一个交点分别为[A、B]，记直线[MN]、[AB]的倾斜角分别为[α、β]。当[α-β]取得最大值时，求直线AB的方程。

分析：本题的核心问题是倾斜角[α、β]有何关系？它们的联系途径是什么？如何求[α-β]的最大值？求[α-β]的最大值与求直线[AB]的方程有何关联？初始阶段，教师首先要教会学生如何发现问题、提出问题；其次要结合范例，引导学生从题干中寻找变量之间的关系，进而提出思考问题的方向，让学生明白为什么要这样设计，这样设计对解决问题有何帮助，进而让学生找到解题的方法。

解：（1）抛物线的准线方程为[x=-p2]，当直线[MD]与[x]轴垂直时，点[M]的横坐标为[p]，此时[MF=p+p2=3]，所以[p=2]，所以抛物线[C]的方程为[y2=4x]。

（2）［方法一］（最优解）：设[My214，y1]，[Ny224，y2]，[Ay234，y3]，[By244，y4]，直线[MN：x=my+1]，

由[x=my+1，y2=4x，]可得[y2-4my-4=0]，[Δ>0]，[y1y2=-4]，[kMN=y1-y2y214-y224=4y1+y2]，[kAB=y3-y4y234-y244=4y3+y4]，直线[MD：x=y214-2y1·y+2]，代入抛物线方程可得[y2-4y214-2y1·y-8=0]，[Δ>0]，[y1y3=-8]，所以[y3=2y2]，同理可得[y4=2y1]，所以[kAB=4y3+y4=42（y1+y2）=kMN2]。

又因为直线[MN]、[AB]的倾斜角分别为[α、β]，所以[kAB=tan β=kMN2=tanα2]。

若要使[α-β]最大，则[β∈0，π2]，设[kMN=2kAB=2k>0]，则[tan（α-β）=tanα-tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤121k·2k=24]，当且仅当[1k=2k]，即[k=22]时，等号成立，所以当[α-β]最大时，[kAB=22]。设直线[AB]的方程为[x=2y+n]，将其代入抛物线方程可得[y2-42y-4n=0]，[Δ>0]，[y3y4=-4n=4y1y2=-16]，所以[n=4]，所以直线[AB]的方程为[x=2y+4]。

［方法二］（直线方程点斜式）：由题可知，直线[MN]的斜率存在，设[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]，[A（x3，y3）]，[B（x4，y4）]，直线[MN：y=k（x-1）]，由 [y=k（x-1），y2=4x，]得[k2x2-（4k2+4）x+4k2=0]，[x1x2=4]，同理[y1y2=-4]。直线[MD]：[y=y1x1-2（x-2）]，代入抛物线方程可得[x1x3=4]，同理[x2x4=4]。代入抛物线方程可得[y1y3=-8]，所以[y3=2y2]，同理可得[y4=2y1]，由斜率公式可得[kAB=y4-y3x4-x3=2（y2-y1）41x2-1x1=y2-y12（x2-x1）=12kMN]。

（下同方法一）若要使[α-β]最大，则[β∈0，π2]，设[kMN=2kAB=2k>0]，则[tan（α-β）=tanα-tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤121k·2k=24]，当且仅当[1k=2k]，即[k=22]时，等号成立，所以当[α-β]最大时，[kAB=22]，设直线[AB]的方程为[x=2y+n]，代入抛物线方程可得[y2-42y-4n=0]，[Δ>0]，[y3y4=-4n=4y1y2=-16]，所以[n=4]，所以直线[AB]的方程为[x=2y+4]。

［方法三］（向量法）：设[My214，y1]，[Ny224，y2]，[Ay234，y3]，[By244，y4]，设[P（t ，0）]，若[P、M、N]三点共线，由[PM=y214-t，y1]，[PN=y224-t，y2]，所以[y214-ty2=y224-ty1]，化简得[y1y2=-4t]，反之，若[y1y2=-4t]，可得直线[MN]过定点[（t，0）]，因此，由[F、M、N]三点共线，得[y1y2=-4]，由[D、M、A]三点共线，得[y1y3=-8]，由[N、D、B]三点共线，得[y2y4=-8]，则[y3y4=4y1y2=-16]，直线[AB]过定点（4，0）。

（下同方法一）若要使[α-β]最大，则[β∈0，π2]，设[kMN=2kAB=2k>0]，则[tanα-β=tanα-tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤121k·2k=24]，当且仅当[1k=2k]，即[k=22]时，等号成立，所以当[α-β]最大时，[kAB=22]，所以直线[AB]的方程为[x=2y+4]。

点评：通过上述解题训练，虽然在一定程度上培养了学生提出问题的能力，但还远远达不到拔尖人才的培养要求。因此，教师在训练学生解题能力的同时，还应引导学生对题目结论和解题过程进行质疑，比如“这个公式为什么是这样的？”“有没有其他的解决方案？”等，促使学生进行深度思考，让学生融会贯通，开阔视野。另外，教师还应汇总不同的解法，让学生从中选出最优解法。例如例1第（2）问的方法一，寻找直线[MN、AB]的斜率关系，由基本不等式求出直线[AB]的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解法，也是通法；方法二是常规设直线方程点斜式，由于直线方程的假设与方法一不同，导致解方程组运算难度加大，并且还要考虑直线的斜率是否存在，只有直线斜率存在的情况才可以这样假设；方法三通过设点，由三点共线寻找纵坐标关系，从而快速发现直线[AB]过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法。

二、拆解重构试题，师生互动交流，提升学生提出问题的认知水平

在课堂教学中，教师可以通过对试题进行拆解重构，为学生营造发现问题的氛围，鼓励学生大胆提出问题。古人云：“学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进。”课堂上，教师要给学生解惑，首先要让学生乐于提问，要为学生创设提出问题的情境，激发学生的好奇心，使学生产生提出问题的欲望，从而提升学生提出问题的认知水平。

［变式题1］已知抛物线[C]：[y2=2px（p>0）]的焦点为[F]，[A]为抛物线上一点，[O]为坐标原点，[△OFA]的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为[6π]。

（1）求抛物线[C]的方程；

（2）已知点[B（-1，0）]，设不垂直于[x]轴的直线[l]与抛物线[C]交于不同的两点[M]、[N]，若[∠MBO=∠NBO]，证明直线[l]过定点并写出定点坐标。

分析：这是例1的变式题，属于基础题，难点在于第（2）问。教师可让学生先自主研究并提出问题，再师生交流或生生交流，寻找解题方法。本变式题提出问题的大致方向有：[∠MBO=∠NBO]与直线[l]有何关系？能构建什么数学式子？ 例1是求直线方程，而本变式题是证明一条直线过定点，它们有何相同之处？

解：（1）因为[△OFA]的外接圆与抛物线的准线相切，所以[△OFA]的外接圆的圆心到准线的距离等于半径，因为外接圆的周长为[6π]，所以外接圆的半径为3，又圆心在[OF]的垂直平分线上，[OF=p2]，所以[p4+p2=3p4=3]，解得[p=4]，所以抛物线[C]的方程为[y2=8x]。

（2）设直线[MN]的方程为[y=kx+b]，[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]，

由[y2=8x，y=kx+b，]得[k2x2+（2kb-8）x+b2=0]，[Δ=64-32kb>0]，则[kb<2]，

所以[x1+x2=-2kb-8k2]，[x1x2=b2k2]，因为[∠MBO=∠NBO]，所以[kBM+kBN=y1x1+1+y2x2+1=0]，即[kx1+bx1+1+kx2+bx2+1=0]，化简得[2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b=0]，所以[2kb2k2+（k+b）-2kb-8k2+2b=0]，所以[b=-k]，所以直线[MN]的方程为[y=k（x-1）]，恒过定点（1，0）。

点评：通过对试题的拆解重构，让学生在已有认知的基础上大胆地提出问题。此题根据已知条件[∠MBO=∠NBO]，将问题转化为[kBM+kBN=0]，即可得到直线方程中[k]与[b]的关系，进而得到“直线恒过定点”这一结论。通过此类变式训练，可有效提升学生提出问题的认知水平。

［变式题2］已知抛物线[C：x2=2py（p>0）]的焦点为[F]，抛物线上一点[Am，12（m<0）]到点[F]的距离为[32]。

（1）求抛物线的方程及点[A]的坐标；

（2）设斜率为[k]的直线[l]过点[B（2，0）]且与抛物线交于不同的两点[M]、[N]，若[BM=λBN]且[λ∈14，4]，求斜率[k]的取值范围。

分析：本变式题是例1和变式题1的综合与提升，意在提高学生发现问题和解决问题的能力。本题的教学重点是提出与解决以下相关的问题。

1.如何利用圆锥曲线的几何性质构造出与参数有关的等式或者不等式？（向量[BM=λBN]与参数[k]有何关系）

2.解决求参数的取值范围问题的核心是什么？

解：（1）由抛物线定义可知，[AF=12+p2=32]，解得[p=2]，所以抛物线[C]的方程为[x2=4y]。

将点[Am ，12（m<0）]的坐标代入抛物线方程得[m=-2]，所以点[A]的坐标为[-2，12]。

（2）由题意知直线[l]的方程为[y=k（x-2）]，设点[M（x1，y1）]，[N（x2 ，y2）]，

由[y=k（x-2），x2=4y，]得[x2-4kx+8k=0]，[Δ=16k2-32k>0]，可得[k<0]或[k>2]，

由韦达定理可得[x1+x2=4k]，[x1x2=8k]，又[BM=λBN]，即[（x1-2，y1）=λ（x2-2，y2）]，所以[y1=λy2⇒λ=y1y2]，因为[x21=4y1]，[x22=4y2]，则[λ=x1x22∈14，4⇒x1x2∈-2，-12⋃12，2]，