引参换元解题策略研究

［摘 要］引参换元是实施转化的重要手段和桥梁，通过引参换元能将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉、化分散为集中、化隐蔽为清晰。文章以圆锥曲线问题为例介绍几种常用的引参换元解题策略。

［关键词］引参换元；解题策略；圆锥曲线问题

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）17-0035-03

转化与化归思想是高考数学中常考查的思想。引参换元是实施转化的重要手段和桥梁，通过引参换元能将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉、化分散为集中、化隐蔽为清晰。如何对具体问题进行引参换元，是高中数学教师应深入探究的问题。引参换元问题没有刻板的程序、原则、公式或方法，学生常常望而生畏、无从着手，而教师对引参换元解题教学也常感到心中无底。其实引参换元解题是有规律可循的。本文以圆锥曲线问题为例介绍几种常用的引参换元解题策略。

一、静动互化策略

运动变化思想是数学的重要思想之一，在研究问题时既可以用运动观点处理静止问题，也可以用相对静止的观点处理运动问题。通过动与静的转化，加深学生对概念本质的理解，培养学生思维的深刻性；通过对动与静的关系的观察，寻找规律，培养学生思维的灵活性与广阔性。静点化动点，可将不明显的关系明确化，减少计算量；动点化静点，能将复杂的问题简单化，进一步简化计算。

［例1］求经过点[P7，203]，且渐近线为[4x±3y=0]的双曲线方程。

解：设双曲线的方程为[16x2-9y2=λ（λ≠0）]，将[P7，203]代入得[λ=-288]，所以双曲线的方程为[y232-x218=1]。

评注：本题属于常见的双曲线“共渐近线”问题——若已知所求的双曲线渐近线方程为[Ax±By=0]，那么可以引入一个参数[λ]，设所求的双曲线方程为[A2x2-B2y2=λ（A>0，B>0，λ≠0）]，它避免了焦点位置的判断。这种“化静为动”的引参策略还可以用于解决双曲线“同离心率”问题、双曲线与椭圆“共焦点”等问题，均可以大大提高解题效率。

二、多元化一元策略

将多元问题转化为一元问题是数学惯用的策略方法 。多元问题一元化是指将含有多个相关量的问题转化为只有一个变量的问题。将多元问题转化为一元问题，可使复杂的关系变得简单。

［例2］已知[z1=x+5+yi]，[z2=x-5+yi] [（x，y∈R）]，且[z1+z2=6]，求[W=2x-3y-12]的最值。

解：由[z1+z2=6]知动点[（x，y）]与两定点[（-5，0），] [（5，0）]的距离之和为6，即点[（x，y）]的轨迹是以（[-5]，0），（[5]，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，由[c=5]，[a=3]可得[b=2]，从而可知椭圆的方程为[x29+y24=1]，令[x=3cosθ]，[y=2sinθ]，则[W=2x-3y-12=6cosθ-6sinθ-12=62sinπ4-θ-2]，当[θ=-π4]，即[x=322]，[y=-2]时，[Wmin=62-2=12-62]，当[θ=3π4]，即[x=-322]，[y=2]时，[Wmax=62+2=12+62]。

评注：本题是从复数模长的几何意义“[z1]表示复平面内，点[（x，y）]到定点（[-5]，0）的距离”入手，得知点[（x，y）]的轨迹是椭圆，再引入椭圆的参数方程（[θ]为参数），将题中多元问题转化为一元三角函数的最值问题，使问题很快获解。

［例3］已知[4x2-5xy+4y2=5]，求[W=x2+y2]的最值。

解：设过原点的直线为[x=tcosθ，y=tsinθ，]代入已知得[t2（4cos2θ-5sinθcosθ+4sin2θ）=5]，

∴[t2=54-52sin2θ]，即[W=x2+y2=t2=54-52sin2θ]，

∵[32≤4-52sin2θ≤132]，

∴当[sin2θ=1]时，[Wmax=532=103] ;当[sin2θ=-1]时，[Wmin=5132=1013]。

评注：题目的条件为关于[x]和[y]的二元二次方程，难以用[x]表示[y]。但从几何角度看，[x2+y2]表示曲线上的动点到原点的距离的平方，而这距离即为绕原点的动直线与曲线的交点到原点的距离，这时可利用直线的参数方程将问题转化为一元三角函数的最值问题，实现多元问题一元化，从而轻松求解。

三、比值设参策略

比值设参策略常用于解决涉及比例或比值的问题，通过设定参数的比例关系，将复杂的数学问题化为简单的比例关系，从而简化问题的求解过程。比值设参将多变量问题中的多个变量转化为一个变量，从而使复杂的问题简单化。

［例4］如图1，已知椭圆：[x224+y216=1]，直线[l]：[x12+y8=1]，[P]是[l]上一点，射线[OP]交椭圆于点[R]，又点[Q]在[OP]上，且满足[OQ·OP=OR2]，当点[P]在[l]上移动时，求点[Q]的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

解：由[OQ·OP=OR2]知[P]、[R]、[Q]均不在原点，且[OQOR=OROP]，设[OQOR=OROP=λ]，则[λ]∈（0，1），且[OR=OQλ]，[OP=OQλ2]，

设[P（xP，yP）]，[R（xR，yR）]，[Q（x，y）]，则将各点向坐标轴投影，有[xR=xλ，yR=yλ，] [xP=xλ2，yP=yλ2，]

又因为P在l上，[R]在椭圆上，

所以有[x12+y8=λ2]，[x224+y216=λ2]，

消去[λ]得 [x224+y216=x12+y8]（[x]，[y]不同时为0），整理得[（x-1）252+（y-1）253=1]（不含坐标原点），∴Q的轨迹是中心为（1，1）的椭圆（去掉坐标原点）。

评注：本题属于求动点轨迹问题，可将等式变形后引入一个参数进行求解。对比常规做法——设点坐标，联立直线方程和椭圆方程，利用条件找等式，这种比值设参策略简化了计算。值得注意的是，消参后要查漏补缺，去掉不符合题意的点，以免所求轨迹方程有错漏。

四、交点问题曲线系解决策略

在圆锥曲线中，常常研究经过某两条曲线的交点等一系列问题，解题思路是先求出交点，再通过待定系数法求出曲线方程，但往往计算量大。交点曲线系是一个数学概念，是指通过一系列特定点的曲线。这些曲线可以用于解决各种问题，例如几何问题、优化问题等。交点曲线系提供了一种解题策略，通过构造和利用这些特殊曲线可解决几何问题、优化问题等，在需要找到经过一组特定点的曲线时，可采用交点曲线系解决策略。

［例5］证明椭圆[x220+y25=1]与双曲线[x212-y23=1]的交点在同一个圆上。

证明：∵椭圆和双曲线的方程可分别化为[x2+4y2-20=0]，[x2-4y2-12=0]，故过它们交点的曲线系方程可设为（[x2+4y2-20）+λ（x2-4y2-12）=0]，

即（[1+λ）x2+（4-4λ）y2-20-12λ=0]，[（＊）]

当[1+λ=4-4λ≠0]，即[λ=35]时，[（＊）]式表示圆[x2+y2=17]，∴椭圆[x220+y25=1]与双曲线[x212-y23=1]的交点在同一圆上。

评注：交点问题的解法不唯一，但运用曲线系理论引入一个参数求解较为简单，它在很大程度上避免了繁杂的运算。这种设参策略还可以用于解决过两直线交点的直线系方程、过直线与圆交点的圆系方程、过圆与圆交点的圆系方程等问题，但是要注意设参后新参数的取值范围。

五、定值问题设参策略

定值问题通常涉及圆锥曲线中的某些量在变化过程中，某个量的值保持不变，即为一个定值。解决这类问题的关键在于消掉所有参数，使得某个量成为一个无参的数值。在设定参数时，常用的参数包括点（可能是两个参数，注意横坐标要满足圆锥曲线方程）、角（常将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）和斜率（最常用的参数，但需要考虑斜率是否存在的情况）。

［例6］如图2，射线[y=2x（x≥0）]交椭圆[x22+y24=1]于点[A]，过点[A]作两条倾角互补的直线，与椭圆分别交于异于点[A]的点[B]和点[C]。求直线[BC]的斜率[k0]。

解：由[y=2x（x≥0），2x2+y2=4，]解得[A（1，2）]，设直线[AB]的斜率为[k]，则直线[AC]的斜率为-[k]，直线[AB]的方程为[y-2=k（x-1）]，即[y=k（x-1）+2]，代入[2x2+y2=4]，并整理得[（x-1）（2+k2）（x-1）+4+22k=0]，∵[xB≠1]，故[xB=1-4+22k2+k2]，从而[yB=2-4k+22k22+k2]，∴[B1-4+22k2+k2，2-4k+22k22+k2]，将[k]换成[-k]，即得[C1-4-22k2+k2]，[2-22k2-4k2+k2]，∴[yB-yC=-8k2+k2]，[xB-xC=-42k2+k2]，∴[k0=yB-yCxB-xC=8k42k=2。]

评注：根据本题的已知条件，易知[A]为定点，而[B]、[C]为动点，[k0]“照理”应随[B]、[C]的变化而变化，但[B]、[C]又由[AB]、[AC]确定，[AB]与[AC]倾角互补，因而只要选直线[AB]的斜率为[k]，从而[B]、[C]都可由[k]表示出来，于是[k0]也就可由[k]表示出来，如果[k0]为定值，则最终[k]自然消掉。定值问题通常需要用到设参数法，在计算过程中参数往往可以消去或解出，从而得常数值。

六、轨迹问题设参策略

轨迹问题设参策略是指先引入一个参数，使得动点的横、纵坐标建立起联系，然后根据题目的已知条件消去参数得到直接关系式，即得到所求的轨迹方程。若存在变量，且动点由多个因素共同决定位置，则设出相应位置的参数，根据题中的条件找出等量关系，用参数分别表示出动点的横、纵坐标，然后消去参数。

［例7］如图3，给出定点[（a，0）（a>0）]和直线[l]：[x=-1]，[B]是直线[l]上的动点，[∠BOA]的平分线交[AB]于点[C]，求点[C]的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与[a]的关系。

解：设[B（-1，t）]，[C（x，y）]，则[OB=1+t2]，点[C]分[BA]所成的比为[λ=BCCA=OBOA=1+t2a，]∴[x+1a-x=y-t-y=1+t2a]，消去[t]并整理得点[C]的轨迹方程为[（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0≤x≤a）] 。

当[a=1]时，轨迹方程为[y2=x（0≤x≤1）]，表示抛物线弧段；当[a≠1]时，轨迹方程为[x-21-a2a1-a2+y2a21-a2=1（0≤x≤a）]。所以，当[0<a<1]时，轨迹为椭圆弧段；当[a>1]时，轨迹为双曲线一支上的弧段。

评注：在解决轨迹问题时，如果动点[P（x，y）]的坐标关系不易找到，也没有其他相关条件可用，就需分析出与动点相互影响、相互决定的变化因素，合理引进参数来建立动点坐标间的关系，消去参数即可得动点的轨迹方程。常引用的参数有边参数、角参数、斜率参数、点参数、比参数等。

通过上述例子，我们可以深刻地体会到：换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。在很多圆锥曲线问题中，已知与未知之间的联系并不明显，而且题型多种多样，在无法利用常规思路进行解题或是解题过程过于烦冗时，可以考虑引参换元，为已知与未知“牵线搭桥”，当然，在解题时要考虑引入参数的取值范围。引参换元策略灵活多样，它不但在圆锥曲线问题中有广泛的应用，而且在研究方程、不等式、数列、三角函数等问题中都有广泛的应用。在解答这些问题时，要对有关式子、条件特征进行观察，分析已知条件的用处，从而针对性地选择引参换元解题策略。

［   参   考   文   献   ］

[1]  邹青.活用参数，简求圆锥曲线问题[J].高中数理化，2022（21）：62-63.

[2]  杨威灵，方志平.借用换元引参巧解数学竞赛试题[J].高中数学教与学，2019（17）：43-45.

[3]  余建国.合理选择参数，简化运算：以圆锥曲线问题为例[J].新世纪智能，2019（6）：33-34.

[4]  孙雷鸣.求解圆锥曲线中定值问题的若干策略[J]. 中学教学研究，2022（9）：60-61.

（责任编辑 黄春香）