深度学习理念下的几何定理教学设计与思考

［摘 要］深度学习是一种基于理解的学习，它着眼于学习者高阶思维的发展。定理是几何中的重要板块，几何定理教学是学生形成演绎推理能力的重要途径。文章以“边边角”为例探讨深度学习理念下的几何定理教学设计。

［关键词］深度学习理念；几何定理教学；边边角

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）20-0004-03

一、深度学习的定义

郭元祥教授认为，深度学习是学生在教师引导下，对知识内在结构进行逐层深化的学习和对学习过程的深刻参与和投入［1］。冯锐、杨红美等人认为，深度学习强调知识的主动理解而非被动记忆，强调对知识的批判性思考而非一味地接受，强调新旧知识之间的关联而非孤立存在，强调知识的迁移应用［2］。何玲与黎加厚认为，深度学习是指学习者在理解的基础上，批判性地学习新思想和新知识，将它们与原有的认知结构相融合，同时在众多思想间建立联系，将已有的知识迁移到新的情境中，做出决策并解决问题的学习［3］。简而言之，深度学习是一种强调学生主体性，让学生主动探究，深度加工不同信息的学习方式，它不仅关注知识的获取，更注重知识的应用和迁移。

二、“边边角”在全等判定定理学习中的价值

全等判定定理作为基本的事实性定理，不仅是学生思维的起点，更是使学生掌握分类思想、特殊化思想、转化思想等数学思想的关键章节，同时也是学生合情推理能力和演绎推理能力同步发展的重要基础。

对于全等判定定理学习中的“两边一角”情况，当角为两条边的夹角时，可通过尺规作图，并应用定义说明三角形全等。而对于角是一边的对角这一情况，教材通过木棍操作举出反例，说明满足边边角对应相等的两个三角形不一定全等。在学习了“HL”判定定理后，学生会对之前关于“两边一角”（SSA）是否能判定三角形全等的理解产生认知冲突。这时需要我们重新审视这个“SSA”，让学生深入学习“不一定全等”的本质，思考什么时候满足“SSA”的两个三角形会全等，“HL”对两个三角形全等的判定又起着什么样的作用。教师应带领学生研究这些问题，从而达到让学生深度学习的目的。

三、深度学习理念下的“探究‘边边角’在任何条件下证明三角形全等”教学设计

（一）问题引入，引发认知冲突，建构新知

问题1：三角形全等的定义是什么？

问题2：通过前面的学习，你们知道证明两个三角形全等的判定定理有哪些吗？

问题3：一个锐角三角形和一个钝角三角形是否全等？

师生一起归纳总结三角形全等的定义及判定定理，并指出：不同类型的三角形不全等。

问题4：课本第39页（人教版八年级上册）通过木棍移动抽象出几何图形，如图1所示，B、C、D都在同一直线上，且[AC=AD]。[△ABC]和[△ABD]是否能够全等？为什么？

追问1：满足“边边角”的两个三角形一定不全等吗？

追问2：[∠ACB]与[∠ADB]的数量关系如何？[∠ACB]与[∠ADB]满足什么数量关系时[AC]与[AD]会重合？重合又能说明什么？

师生共同归纳“SSA”反例中不全等的两个三角形是不同类三角形，总结满足“SSA”的两个三角形不是一定不全等而是不一定全等，“HL”是其中一种全等特例。

设计意图：通过问题串，引发认知冲突，产生理解；引导学生作图，通过作图，加深学生对“HL”基本模型的印象。

（二）合作探究，主动理解，逐步深化

问题5：除“HL”这种情况表明满足“SSA”的三角形全等外，是否还存在其他情况使得两个三角形全等呢？可以从哪些方向来探究满足“SSA”的两个三角形全等？

师生活动：学生小组合作探究，由全等三角形必须是同类三角形，可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三类。教师引导学生观察如图2所示的相等角的类型，引导学生进一步分类。

设计意图：从直角三角形这一特殊图形到一般三角形，培养学生从特殊到一般的思想；使学生通过合作探究产生不同类别的补充，培养学生的分类思想。

问题6：在前面学习的5个判定定理中，是按照什么方法进行探究的呢？整个探究过程我们首先要做什么？

设计意图：引导学生类比，帮助学生寻找探究方法和步骤；让学生学会用已学知识作为学习新知的前提，学以致用，进行迁移。

问题7：已知[△ABC]，请根据分类作出[△DEF]，使[DE=AB]，[EF=BC]，[∠A=∠D]，猜想你所作的三角形是否全等，并用三角形全等判定定理验证你的猜想。

1.两个三角形均为锐角三角形的情况

此时作图如图3所示，图形唯一且经过裁剪后发现重合，由此猜想这两个图形全等。

验证如下：

已知，如图4所示的锐角[△ABC]和锐角[△DEF]中，[AB=DE]，[BC=EF]，[∠A=∠D]，求证：[△ABC ]≌[△DEF]。

证明：如图4，过点[B]作[BM⊥AC]交[AC]于点[M]，过点[E]作[EN⊥DF]交[DF]于点[N]，先通过“AAS”证[△ABM ]≌[△DEN]得[BM=EN]，再通过“HL”证[Rt△BCM ]≌[Rt△EFN]得[∠C=∠F]，最后通过“AAS”证得[△ABC ]≌[△DEF]。

2.两个三角形为直角三角形的情况

（1）相等的角为锐角（如图5、图6）

此时作图唯一且可重合即全等，仔细观察所画图形可以发现有四个已知条件，即两角两边。图5利用“AAS”或“HL”定理即可判定全等，图6利用“AAS”或“ASA”或“HL”定理即可判定全等。

（2）相等的角为直角（如图7）

图7就是我们学过的满足“HL”的三角形全等。

3.两个三角形为钝角三角形的情况

（1）相等的角为锐角（如图8-1、图8-2）

此时作图如图8-1和图8-2所示，发现作图不唯一，有两种情况。将图8-2分成两种图形得到图9-1和图9-2。猜想图8-1与图9-1全等，图8-1与图9-2明显不全等。

（2）相等的角为钝角（如图10）

此时作图唯一也重合即全等。

对于上述两种猜想，全等情况验证的辅助线如下：图8-1与图9-1辅助线作好如图11，图10辅助线作好如图12。

两个证明过程同锐角三角形一样，都是经过“AAS”和“HL”以及“AAS”三次全等证明得到的。

设计意图：通过小组合作，补充所有情况；通过作图加强几何直观，体会每种情况是在作图前提下得到的，给出探究几何问题的有效方法——作图；通过作图培养学生的合情推理能力和逻辑推理能力。

（三）归纳总结，提高解决问题的能力

问题8：在对满足“SSA”证全等的这几种情况进行验证的过程中，你有何感悟？

师生活动：学生小组交流发现证明方法基本一样，而且都是作高线作为辅助线，师生共同归纳总结结论。

结论1：满足“SSA”的情况，可通过作垂直构造直角三角形，转换成直角三角形进行证明。

问题9：在本节的任务探究过程中，你还能得到什么结论？

结论2：两个三角形为锐角三角形或者直角三角形时满足“SSA”必然全等。

结论3：两个三角形为钝角三角形时，满足“SSA”且相等边所对角为钝角的必然全等。

追问：通过直角三角形直角所对的边相等，和钝角三角形钝角所对的边相等的情况以及大边对大角原理，思考这两种类型还可以有什么样的结论？

结论4：满足“SSA”且最长边或最大角对应相等的两个三角形全等。

设计意图：通过问题8，让学生理解作高是验证“SSA”的关键，也让学生知道核心图是直角三角形，并再次感悟从特殊到一般再从一般到特殊的数学思想。问题9是本节探究的一个结果归纳，旨在培养学生分析归纳问题的能力。

四、深度学习理念下几何定理教学的思考

（一）培养作图意识，加深对几何定理的理解

图形是探究几何问题的有效载体，教师应引导学生将文字语言转化为图形语言，化抽象为直观，借助图形合理猜想，培养学生的作图意识和直观想象素养；通过图形加强学生对几何定理条件与结论的区分，加深学生对几何定理的理解。本课案例中，在论证前，教师引导学生类比前面所学的三角形全等判定定理先行作图，培养学生的作图意识，引导学生应用数形结合思想，使学生深刻理解几何定理。

（二）教师着力引导，使学生实现深度学习

几何定理教学中，教师若直接给出几何定理，学生很难准确记忆与应用。如何让学生更好地理解几何定理，实现深度学习呢？在几何定理教学中，教师应着力引导。教师可借助问题串引导学生进行知识学习，或结合生活情境引入几何定理，使学生能自然而然地接受定理，对几何定理进行初步理解。除要理解事实性定理外，还要深入理解几何定理本身，对此教师应引导学生自主探究，经历几何定理的形成过程。在学习几何定理之后，由于几何定理之间的关联性较强，学生对几何定理产生认知冲突，这就需要让学生二度消化，深度学习，加深对几何定理的认识。教师甚至可以进行单元设计，使知识系统化、结构化，从而使学生实现深度学习。

（三）引导建立几何基本模型，促进迁移应用

基本图形是解决几何综合问题的突破点，在复杂图形中能抽取出熟悉的基本图形，或通过作辅助线将新图转化为已学过的基本模型，并应用相应几何定理解决问题，就可化繁为简、化难为易。在几何定理教学中，基本图形的构建往往有相似定理之“8”字型和“A”字型，转化为“一线三等角”模型等。本课案例中，满足“SSA”的基本图形如图1，可通过作辅助线转化为我们已学过的“HL”基本模型，从而解决其论证问题。而此模型以及辅助线作法也为后续解决几何分类问题和知识迁移问题做了铺垫。

总之，在深度学习理念下的几何定理教学中，教师应引导学生自主探究，充分发挥学生的主观能动性，让学生会分析、会作图、会论证、会建构模型、会归纳总结、会应用。同时，又作用于新知识的学习，从而实现深度学习。

［   参   考   文   献   ］

［1］  郭元祥.深度学习：本质与理念[J].新教师，2017（7）：11-14.

［2］  曾明星，李桂平，周清平，等. 从MOOC到SPOC：一种深度学习模式建构[J].中国电化教育，2015（11）：28-34，53.

［3］  何玲，黎加厚.促进学生深度学习[J].现代教学，2005（5）：29-30.

（责任编辑 黄春香）