培养推理能力 发展核心素养

［摘 要］“作一个角等于已知角”属于基本的尺规作图。通过“作一条线段等于已知线段”，学生了解了尺规的基本功能，积累了初步的尺规作图经验。但随着学习的深入，学生对尺规作角这一技能的掌握远没有达到应有的水平，且该技能的遗忘率较高。基于此，教师应重新思考如何在“尺规作角”的教学中借助尺规实现想象与操作的自然联结，以及直观感知与逻辑推理之间的无缝对接。

［关键词］尺规作角；推理能力；核心素养

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）29-0009-03

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：在用几何直观理解几何基本事实的基础上，从基本事实出发推导图形的几何性质和定理，理解和掌握尺规作图的基本原理和方法，这样的学习过程，有助于学生进一步建立几何直观，提升抽象能力和推理能力。通过尺规作图，学生可以通过直观想象呈现出最终的图形，保留作图痕迹。虽然尺规作图不要求写出作图方法，但需要分析其中的原理和蕴含的几何图形性质。尺规作图是几何证明的一种独特的呈现形式，“会画即会证”。然而，初中阶段有关尺规作图的教学经历了从“不讲理”到逐步“讲理”的过程。“不讲理”是指只需通过直观感知和合情推理完成作图，不需要进行逻辑推理和证明。比如“尺规作角”一课只要求学生作一个角等于已知角。在后续的学习中，学生可以利用所学的几何图形的性质或判定方法进行证明。这体现了教材在培养学生推理能力和发展学生核心素养方面的螺旋进阶式设计。

一、教材分析

“尺规作角”选自苏科版七年级上册第6章第2节“角”的第2课时。教材遵循学生的认知发展规律，设计了利用三角尺和量角器作一个角等于已知角的情境，引导学生借助已有知识经验进行操作。让学生利用三角尺画出特殊角，或利用量角器画出0°～180°任意角度，再通过观察、探索和交流，归纳出作一个角等于已知角的步骤。对于角平分线，教材通过折纸活动引出角平分线的定义。本节课主要有画角、作角、折角三类活动，重点展示尺规作角（含角平分线）的教学内容。

二、教学思路

本节课设计了三类操作活动：“画一个角等于已知角”“作一个角等于已知角”“折一个角等于已知角”。每个活动都要求学生思考，逐步积累知识，为下一个活动做好准备。通过不同工具完成同一个任务，有效增强学生的动手能力，激发学生“做数学”“玩数学”的兴趣，使学生积累基本的数学活动经验。

三、教学过程

问题1：角的定义是什么？如何画一个30°的角？75°呢？

追问1：用一副三角尺能画出哪些特殊的角？你是怎么画的？

追问2：这些角有什么规律可循？

追问3：你还能画出其他度数的角吗？

教学说明 通过问题引导学生探索，并进一步归纳：使用三角尺可以画出0°～180°之间15°的整倍角。让学生体验三角尺画角的局限性，为后续的不同工具作角埋下伏笔。

问题2：如图1，已知[∠AOB]，如何画一个与它相等的角？

追问1：用量角器画一个角等于已知角的步骤是什么？

追问2：作角为什么要先画一条射线？

追问3：另一条射线是如何确定的？为什么？

追问4：如果量角器没有刻度，还能画吗？画图的关键是什么？

追问5：再换一个不同大小且没有刻度的量角器呢？

教学说明 通过常用工具量角器的使用，抽象并归纳出作一个角等于已知角的关键步骤。引导学生理解画角的本质：先选定一个点（如D点）作为角的顶点；再确定一条起始边（如OD）；最后借助量角器确定终边的位置。由于两点确定一条直线，因此边的问题可转化为点的问题，且此过程不依赖于量角器的刻度。量角器被简化为辅助工具，其有无刻度或尺寸大小如何，都不影响画角。

问题3：如果不用量角器，只用直尺和圆规可以作一个角等于这个已知角吗？

追问1：关键点在量角器的哪里？量角器是一个什么图形？

追问2：能用圆规代替量角器作图吗？圆规画弧时半径如何确定？

追问3：用圆规替代量角器在已知角上画出半圆时，确定了哪些元素？

追问4：尝试用直尺和圆规画一个角等于[∠AOB]，并说出作图步骤。

教学说明 通过自主探索和合作交流，学生总结出直尺和圆规的作图方法，并深刻理解其背后的原理。具体而言，学生认识到量角器可将抽象的“数”转化为具体的“形”，而圆规可模仿量角器画弧，构造出一个无刻度的半圆（如图2），并确定关键点C、D和相关的边线OC、CD、OD，同时能够将这一结构整体平移到新的位置。

问题4：如何让“作一个角等于已知角”这一尺规作图更为简约？说说尺规作角的一般步骤。

教学说明 无须完整的半圆，只需关键一段弧，便可定点、定边（如图3），这提示了“作一个角等于已知角”其实就是对一个角进行整体平移，其本质是对半径、弧与角的大小关系的探究。

问题5：作角的问题可以如何转化？还有其他简便方法吗？

教学说明 引导学生发现作角可转化为作三角形（既可以是等腰三角形，也可以是任意三角形）。这一过程渗透了“定角即定边”的思想以及建立了图形全等的概念，使得作图的方法更具一般性。从思维优化的角度来看，作等腰三角形最为简便，故作为首选方法。

问题6：已知画在纸片上的[∠AOB]（如图4），能否将[∠AOB]分成两个相等的角？

追问1：可以度量，可以折角……请大家画出折痕，指出折痕分成的两个角为什么相等。

追问2：如图5，已知[∠AOB]，你能以[OB]为一边，用直尺和圆规作[∠BOC]，使[∠BOC=∠AOC]吗？

追问3：如图5，已知[∠AOB]，若既不度量，也不对折，你能否直接用直尺和圆规作[∠AOB]的平分线[OC]？请尝试。

教学说明 提出不同的平分角问题，旨在从多角度引导学生深入理解角平分线的概念，并让学生重新经历度量、折角、作角等操作过程，深化他们对角平分线性质的认识。随着问题的深入，尺规作为重要的作图工具自然“登场”。适时抛出开放性追问3，引发学生思考，给予他们充足的时间与空间去探索与发现。此问题亦可作为课外拓展，让学生课后深入研究。通过这样的探索，学生不仅能提升数学素养，还能培养科学探究精神和创新能力，甚至可能带来惊喜的发现（如图6至图9）。

四、教学反思

（一）理解学生，理解教材

本课属于七年级上册内容，七年级学生尚未具备严密的推理能力，仅具备初步的推理意识。对于几何图形的性质与判定，他们积累有限，常通过合情推理来感知事物的合理性。尺规作图作为几何推理的基础操作，其核心在于推理的互逆性：在有限的条件下，先设作图目标，再根据图形性质反向推理作图步骤，最后通过调整条件实现作图。学生已初步接触尺规作图，通过“作一条线段等于已知线段”的实践，体验了无刻度直尺和圆规的基本功能。在作图过程中，学生掌握了“有点必连线，有长必画弧，无长试画弧，线交得点”的作图原则，并直观认识了线段的基本元素和性质。作为第二次尺规作图学习，本课在学生尚未掌握三角形全等等高阶知识的情况下，通过观察量角器画角的过程，引导学生思考尺规在画角时的应用，深化学生对角的基本元素和性质的理解，同时使学生感知弧与角之间的基本关系，掌握尺规的作图方法。

（二）问题引领，发展推理能力

本课精心设计了画角、量角、作角、折角等一系列活动，旨在引导学生深刻理解这些几何操作的内在逻辑与原理。通过问题1至问题6的递进式设计，辅以连续追问，引导学生逐步深入探究，促进学生深度参与。本课摒弃灌输式教学和机械模仿，引导学生主动思考、自主探究，有效避免了学生因不明就里而产生的快速遗忘现象。采用“虽无说理，却暗藏推理”的教学方式，不仅为学生的后续图形学习积累了宝贵的经验，更为他们推理能力的发展奠定了坚实的基础。

（三）螺旋进阶，聚焦素养

在初中阶段，复杂作图均是基于一系列基本作图逐步构建的，其中“尺规作角”以“尺规作线”为基础，而“尺规作线”又源于“尺规作点”，层层递进。考虑到小学生思维发展尚不成熟，动手操作经验有限，七年级学生初涉复杂几何图形，面临挑战，因此本课精心设计了一系列问题，将抽象推理过程转化为直观、外显、可视化的形式，引导学生思维沿着预设支架螺旋上升。教学中，教师充分信任学生，给予他们自由发挥的空间，鼓励他们利用尺规进行“自由创作”，如尝试作角平分线。通过探索交流，学生得出了很多让人意想不到的作图方法。反馈练习环节，设计如根据三角形“两边及其夹角”或“两角及其夹边”作图等题目，让学生尽情发挥，即使他们暂时无法完全解释或证明作图成果，但也能变得更加自信。随着后续学习的深入，这些看似难以破解的问题将被图形性质一一“解锁”，这体现了螺旋式学习的优势。螺旋进阶的数学学习活动，不仅能培养学生的几何直观能力和推理意识，还能提升学生的推理能力，发展他们的数学核心素养。

综上所述，教师应深刻认识尺规作图的教育价值和重要意义，这一切应从上好“尺规作线”“尺规作角”等基本作图课开始。在教学中，教师应根据学生思维发展的不同阶段，适时提出恰当的追问，以此激发学生的问题意识与探究兴趣，培养他们的知识迁移与运用能力，提升他们的核心素养。

［   参   考   文   献   ］

[1]  中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版[M]北京：北京师范大学出版社，2022.

（责任编辑 黄春香）