重视动手操作 促进能力提升

［摘 要］动手操作能有效激发学生的学习兴趣，发展学生的思维，提升学生的创新能力和应用能力。文章聚焦核心素养，以“勾股定理的应用——最短路径问题”为例，探讨在初中数学教学中如何借助动手操作，助推学生能力提升。

［关键词］动手操作；能力提升；勾股定理；最短路径问题

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2024）29-0012-04

在初中数学教学中，核心素养的培养需要注重动手操作。动手操作，涵盖观察、实验、探索及应用等环节，对培养学生的创新意识和应用能力至关重要。

传统教学多注重讲授和解题，学生大多被动接受知识，缺乏实践机会。而通过动手操作，学生不仅能加深对数学知识的理解，还能有效锻炼观察能力、分析问题能力和解决问题能力。因此，教师应鼓励与引导学生动手操作。例如，在课堂上通过引导学生进行实际测量、图形绘制，帮助学生有效把握数学概念和方法。

一、案例描述

“勾股定理的应用——最短路径问题”一课的教学重点是将立体图形展开为平面图形，以构建直角三角形，进而利用勾股定理求解；教学难点是深化学生对转化思想、方程思想、数形结合思想等的理解，提升其几何直观能力，并培育其模型观念。在教学中，笔者引导学生以圆柱、长方体及“将军饮马”模型为载体将立体图形转化为平面图形，从而求解最短路径。

（一）任务一：探讨圆柱的最短路径

［例1］如图1，有一圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子到B点，正好B点在A点的正上方，已知油罐的底面周长为12米，高AB为5米，则所建梯子最短需要多少米？

问题1：我们已学过平面内两点之间线段最短，那么在圆柱中如何确定两点间的最短路径呢？

学生活动：根据题目要求，在预先准备好的圆柱模型上标出A、B点的位置，并尝试在圆柱模型上画出可能的路径。

问题2：请采用合理的方法测量各条路径的长度。

学生活动：尝试将绳子沿着所画路径放置，随后拉直绳子，以测量其长度。（由于在曲面上绘制的曲线弯曲程度不同，即使起点和终点均为A、B两点，所得长度也不尽相同。学生由此发现曲面不好画图）

问题3：为了便于作图，能否将曲面转换为平面？应如何操作？

学生活动：将圆柱的侧面展开，把曲面转化为平面，利用“两点之间，线段最短”求得最短路径。以图1为例，沿着AB所在的直线将圆柱剪开，得到如图2所示的平面图，连接[AB']，[AB']就是最短路径。

问题4：油罐能否展开？如果不能，该如何计算最短路径？

学生活动：通过观察发现油罐无法直接展开，因此可采用“化曲为直”的策略，通过构建直角三角形，并利用勾股定理来计算作为最短路径的斜边长度。

通过以上操作，学生对“求圆柱中的最短路径”有了初步的感知。若能多次操作，学生定会对这一知识理解得更加透彻。

问题5：如果点B的位置改变，如图3所示，又会有什么变化？

变式1：如图4，一个圆桶儿，底面周长为30 cm，高为8 cm，则一只小蚂蚁从底部点A沿圆桶表面爬到顶部B处，则小蚂蚁所爬的最短路径长是__________________。

教学总结：学生通过动手操作验证了如图5所示的展开图方法，即无论点如何变化，都能将曲面展开为平面，进而构建直角三角形，并利用勾股定理求解最短路径。

（二）任务二：探讨棱柱的最短路径

［例2］如图6所示为一个长、宽、高分别为10 cm，6 cm，12 cm的长方体，在其顶点A处有一只蜘蛛，它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物。你能帮它找到最短路径吗？画出展开图并说明理由。

学生活动：分组操作，按照不同的方式绘制展开图，寻找最短路径，并通过计算比较，找出最终答案。

A组代表发言：我们小组按照不同的方式绘制了6张展开图，其中有3张展开图的内容是重复的，如图7所示，所以我们认为可利用的最短路径展开图共有3张。

B组代表发言：我们组只绘制了两张最短路径展开图，如图8所示。

学生通过观察与讨论，提出了一个猜想：原长方体模型可能不同（这些模型一部分由学生亲手制作，同组内尺寸统一；另一部分则来源于生活用品的包装盒，尺寸各异）。随后，学生将展开图复原，发现：对于底面为正方形的特殊长方体，其最短路径的展开图仅有两种。

教学总结：通过发现问题、提出疑问、动手操作及验证猜想，学生总结出一般长方体的前后、左右、上下各组面分别相同，因此解答此类问题时只需从前后、左右、上下各组中选取一个面，即可绘制出所有相关的最短路径图，通常为3张。如果是底面为正方形的长方体，因为有4个面相同，所以能绘制的最短路径图只有2张。

（三）任务三：利用“将军饮马”模型求解立体图形中的最短路径

［例3］如图9所示，圆柱形玻璃杯高为5 cm，底面周长为12 cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离是______。（杯壁厚度不计）

这道题对学生来说相当有难度。在没有动手操作前，有学生认为直接连接AB，即可得出最短路径，虽然有学生不赞同这种做法，但也不知道从何下手，很迷茫。

学生活动：当教师提示学生把圆柱模型看成玻璃杯子时，学生迅速否定了直接连接AB的做法，并开始深入思考：“如何才能把点A和点B置于同一个平面内？”经过动手操作、小组讨论与验证，一名学生分享了他的方法：“我在模型内壁贴了一张薄纸，再把这张薄纸翻出来，这样点A和点B就在同一个平面内，通过连线即可找到最短路径（如图10）。”

教师追问：“‘翻出来’这个动作运用了哪些数学知识？还能把点A翻到里面去吗？”

学生回答：“运用了轴对称，可以作A点的对称点来实现。”

有了以上的知识积累，再让学生完成以下巩固练习。图11是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中长[AB=80 cm]，高[AD=60 cm]，水深[ED=40 cm]，在鱼缸内水面上紧贴内壁[P]处有一鱼饵，[P]在水面线[EF]上，且[EP=60 cm]。一只小虫想从鱼缸外的[D]点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁[P]处吃鱼饵，小虫爬行的最短路径长为______。

通过动手操作，学生成功找到了如图12所示的[D'P]这一最短路径。

教学总结：通过动手操作与巩固练习，学生逐步将知识内化，提升了数学思维能力，实现了深度学习的目标。

二、作用分析

（一）深化学生情感体验

心理学家皮亚杰指出：“活动是认识的基础，智慧从动作开始。”要使学生深刻理解并熟练运用数学知识解决问题，仅凭看、听是远远不够的，唯有引导学生亲自动手操作，方能达到预期的教学效果。本节课通过任务形式，为学生提供了动手操作的机会，使学生在自主探究与合作交流中找到解决问题的方法。在整个操作过程中，学生始终保持积极、活跃的状态，思维在不断碰撞。通过不断尝试、探索与验证，学生找到了解决问题的方法，悟出了解题的思想，并获得了愉悦感和成就感。不同层次的学生均能在操作过程中有所收获，这使他们在面对复杂问题时变得更加自信。这样的教学践行了“因材施教”理念。总之，根据教学内容适当地开展动手操作活动，是吸引学生注意力，激发学生学习兴趣，以及让学生产生学习成就感的有效途径。

（二）培养学生空间观念

《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调，学生通过空间物体或图形等相关知识的学习，应能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象并表达物体的空间方位和相互之间的位置关系；空间观念有助于理解现实生活中空间物体的形态与结构，是形成空间想象力的经验基础。可见，空间观念的培养是培养学生空间想象力和创造力的基础，缺乏空间观念，发明创造将无从谈起。

动手操作要求学生动手、动眼、动脑、动口，促使学生处于积极思维的状态，这对于学生掌握知识、认识规律、培养空间观念、提高能力具有极为重要的作用。因此，动手操作是培养学生空间观念的有效途径之一。例如，在任务二中，一些学生因制作特殊长方体模型，而只能绘制2张最短路径图。在这一过程中，学生通过反思归纳了相关原因。在利用圆柱、长方体求最短路径时，学生依托动手操作积累了基本活动经验，领悟了转化思想，提升了空间想象力，并建立了数学模型。因此在完成提高题时，学生能够丢掉学具模型这一“拐杖”，凭借丰富的知识储备，展开空间想象，准确绘出展开图。由此可见，动手操作在学生的日常生活经验和系统的理论知识之间架起了一座桥梁，有利于培养学生的空间观念。

（三）提升学生探究性学习水平

探究性学习旨在创设模拟科学研究情境，引导学生自主、独立地发现问题，并通过实验、操作、调查、表达与交流等活动，获取知识、技能，培养情感。动手操作能使学生摆脱死记硬背，亲历知识生成过程，掌握解决问题的基本策略。以任务三为例，学生从模型中发现不能直接连接AB找到最短路径，于是提出新问题：如何将点A与点B放置于同一个平面内？为了解决这个问题，学生在模型内壁贴上一层薄纸，然后将其翻出，使点A与点B在同一个平面内。在此过程中，学生明白了“翻”即运用轴对称知识找到点B的对称点，从而更深入地理解知识，实现了“知其然且知其所以然”。此外，学生在动手操作过程中还推导出利用轴对称找出点A的对称点作图更为简便。总之，动手操作能促进学生主动思维，提升学生的探究性学习水平，培养学生的数学思维能力。

三、策略方法

在初中数学教学中，教师鼓励和引导学生动手操作是非常重要的。以下是一些策略和方法。

（一）创设情境，激发操作欲望

通过创设情境，让学生对数学学习产生兴趣，进而激发学生的操作欲望。例如，在讲解几何图形时，教师展示各种不同的图案，让学生体悟不同风格的创意和美感，激发学生的创造力和想象力。这样，学生在操作过程中能更好地理解几何概念，如基本图形、组合图形、动态图形的变换，为日后灵活应用几何知识奠定坚实的基础。

（二）创造实践机会，促进主动参与

在初中数学教学中，教师应引导学生主动参与动手操作活动，让学生通过实践理解和掌握数学知识。例如，在教学“坐标系”这一内容后，让学生绘制本校地图，并分享给亲友。这样，学生既巩固了坐标系知识，又提高了测量与绘图技能，同时加深了对学校地理环境的认识。

（三）借助科技实践，培养思维能力和创新能力

科技实践活动强调学生动手动脑。教师可组织科技实践活动，如纸桥承重制作，引导学生观察、制作，亲身体验和实践所学知识。在实践活动中，学生需运用三角形稳定性原理，精心设计并构造能承受一定重量的纸桥，不断思考如何解决问题、改进作品。这样的活动有利于培养学生的思维能力和创新能力，使学生在探索与创新中不断成长。

（四）多样化教学方式引导动手操作

在初中数学教学中，教师应采用多样化的教学方式，如项目式学习、小组合作学习、探究性学习、手工制作及模拟实验等，以便更好地引导学生动手操作。例如，在“概率”教学中，教师可采用小组合作学习的方式，引导学生进行投币实验，之后再通过分析和总结来理解概率的意义和性质。

总之，在初中数学教学中引导学生动手操作至关重要。上述策略与方法能有效激发学生的学习兴趣与主动性，帮助学生克服思维障碍，深入理解抽象的数学概念和原理，感悟数学思想，习得数学方法，培养空间观念，提升解题能力，进而促进学生综合能力的提升。

［   参   考   文   献   ］

[1]  韦秋梅.初中数学“空间观念”的认识与培养[J].中学课程辅导（教师通讯），2018（10）：167-168.

[2]  鲍建生，章建跃.数学核心素养在初中阶段的主要表现之四：空间观念[J].中国数学教育，2022（17）：3-8.

[3]  郑大明.“数学眼光”的基本表现及其评价：基于数感、量感、形感的思考[J].小学教学参考，2021（29）：3-6.

［4］  中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

（责任编辑    黄春香）