不等式恒成立求参数范围问题的解题方法

［摘 要］求解不等式恒成立时参数的范围，首要策略为将参数和变量剥离，即参变分离，进而简化为求解变量所属函数的最值。然而，新高考题型多变，仅凭参变分离难以有效解决问题。文章通过多角度分析题目，归纳出隐零点法、分类讨论法、指对数切线不等式放缩法、同构法、必要性探路法等解题方法。

［关键词］不等式恒成立；参数范围；参变分离

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2024）29-0021-04

利用导数研究不等式恒成立求解参数的范围问题，是高考导数部分的重难点，要求考生具备解决复杂问题的思维能力和综合分析能力。此类问题主要考查分类讨论、函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想，以及数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养。本文以2020年高考全国Ⅰ卷第21题作为实例，由于该题无法直接运用参变分离法进行求解，故深入探讨了六种在无法参变分离时常用的解题方法，旨在为解决此类问题寻找最优策略。

一、试题呈现

（2020年高考全国Ⅰ卷第21题）已知函数[f（x）=aex-1-lnx+lna]。

（1）当[a=e]时，求曲线[y=f（x）]在点（1 ， f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若不等式[f（x）≥1]恒成立，求[a]的取值范围。

分析 本题第（1）问求解切线方程与两坐标轴围成的三角形的面积，其解法常规，故不详述。第（2）问聚焦不等式恒成立求解参数范围，此类问题在日常练习中较为常见，可先让学生尝试常规解法，如若遇阻，再考虑探索其他解决途径，以确保问题得以顺利解决。

二、解法探究

（1）略。

（2）解法1：隐零点法

点评：本题先通过分离参数，但分离后的函数比较繁杂，含有[ex]和[lnx]，因此想到根据已知条件进行适当放缩（或利用常见放缩结论），对原不等式同解变形，从而实现化繁为简。

通过探究上述问题的解决方法，我们总结出利用导数解决不等式恒成立求参数范围问题的基本途径。此举旨在帮助高考复习中的学生系统掌握各类解题方法，从而提升解题效率。

（责任编辑 黄春香）