动态平衡问题的三种常用解答方法

［摘 要］文章着重介绍三种解决动态平衡问题的常用方法：图解法、解析法及整体与隔离法。图解法利用直观图形，帮助学生理解力的平衡；解析法借助数学工具实现精确求解；整体与隔离法则在多物体或多力情境中，通过灵活转换视角简化求解。这三种方法各具特色，相互补充，为学生解决动态平衡问题提供了全面的解答思路和方法指导。

［关键词］动态平衡问题；解答方法；高中物理

［中图分类号］    G633.7        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）29-0054-03

动态平衡问题是高中物理的一大难点，涉及物体在多种力作用下运动状态的变化过程，此过程中各个力相互制约，形成动态平衡。解决动态平衡问题的关键在于理解力的平衡和动态变化原理，以及运用恰当的解题方法。

引起变化与平衡的主要因素有两种：一是多个物体间相互作用，二是多个力同时作用于某一物体或系统。在高考等测试中，常见的动态平衡问题有三力平衡、多力平衡和多物体平衡。解决这些问题，常采用图解法、解析法及整体与隔离法三种方法。下面笔者将详细解析这三种方法。

一、图解法

图解法通过画出示意图，将抽象复杂的物理量关系或物理过程简化为直观图形，帮助学生更好地理解问题本质，找出关键的物理量。图解法适用多物体、多力作用的问题，其在三力平衡问题中应用最多。

面对三力平衡问题，首先需要明确研究对象并画出受力示意图。其次，将三个力的矢量首尾相接构成一个封闭三角形。最后，检查该三角形是否满足“任意两边之和大于第三边”。若满足，则三个力平衡；若不满足，则三个力不平衡。通过观察不同情境下力的矢量三角形，可直观理解各个力大小与方向的变化。此种方法不仅简单易懂，而且能够有效避免复杂的数学运算，从而提高解题效率。

［典例1］如图1所示为某独轮车与光滑圆柱体的截面图，两挡板[OA]、[OB]可绕[O]点转动，[∠AOB=60°]且保持不变，初始时[OB]与水平方向的夹角为60°。保持[O]点的位置不变，使两挡板沿逆时针方向缓慢转动至[OA]水平。在此过程中关于圆柱体的受力情况，下列说法正确的是（ ）。

A.挡板[OA]对圆柱的作用力一直增大

B.挡板[OA]对圆柱的作用力先增大后减小

C.挡板[OB]对圆柱的作用力一直增大

D.小车对圆柱的作用力先减小后增大

分析：分析圆柱的受力可知，当保持[O]点的位置不变，两挡板逆时针缓慢转动至[OA]水平时，圆柱在自身重力、两个挡板弹力作用下维持动态平衡。此三个力中，两力夹角始终不变，第三个力的大小和方向也始终不变，满足矢量三角形条件。因此，可根据三个力画出矢量三角形，并利用其外接圆辅助分析结果。

解：以圆柱为研究对象，对其进行受力分析可知其受到重力[G]和两个挡板的弹力[FNA]和[FNB]，重力和两弹力组成闭合三角形，画出该三角形的外接圆（如图2）。当两挡板沿逆时针缓慢转动至[OA]水平时，两个挡板对圆柱的弹力的夹角始终不变，圆柱所受重力[G]的大小和方向也始终不变。从图中画出的两个弹力的变化情况可以看出，挡板[OA]对圆柱的作用力[FNA]先增大后减小，挡板[OB]对圆柱的作用力[FNB]逐渐减小。

评析：在使用图解法解决三力平衡问题时，应合理假设力的方向和大小，并依据题目条件进行验证。同时，需注意力的矢量性，确保力方向准确。

二、解析法

解析法通过建构数学模型，根据物理原理和公式，建立物体受力与运动状态的关系，将物理问题转化为数学问题。然而，运用代数运算、三角函数、相似与全等、微积分等数学手段，探究物体运动状态变化的规律，进而解决问题。

面对多力平衡问题，首先需要明确研究对象的运动状态和受力情况；然后利用牛顿第二定律或其他相关公式，建立物体受力与运动状态之间的关联方程。此方程常含未知数；最后需通过代数运算或微积分等数学方法求解方程，以确定未知数的大小。在解方程的过程中，需要注意各个力的矢量性，确保力的方向处理正确。

［典例2］如图3所示，[A]、[B]为某阳台竖直墙壁上凸出的两个固定钉子，小王通过一段细线跨过[A]、[B]悬挂一吊篮（吊篮不与墙壁接触）。因为[A]、[B]不等高，故重新调整钉子[B]于[C]处，[A]、[C]等高且[C]在[B]的正下方，重新悬挂上原来的细线，整个细线始终处在同一竖直平面内，不计细线与钉子的摩擦，则下列说法正确的是（ ）。

A.调整后细线的张力大小比调整前要小

B.调整后细线的张力大小比调整前要大

C.调整后细线对两个钉子的总作用力大小比调整前要小

D.调整后细线对两个钉子的总作用力大小比调整前要大

分析：首先根据力的平衡条件和平行四边形法则分析调整前后细线的张力变化，然后列出细线对钉子的作用力的表达式，最后结合数学知识进行分析。

解：如图4所示，设吊篮与细线在调整前后的交点分别为[O]、[O′]，[OB]与[AC]交于点[D]；调整前细线在[B]点对钉子的拉力为[T1]，[∠AOB=α]；调整后细线在[C]点对钉子的拉力为[T2]，[∠AO′C=β]。细线与钉子是跨接关系，因此细线上各处张力大小相等。根据力的平衡条件和几何知识可知：

[AO=DOAO=CO2T1cosα2=G2T2cosβ2=G]

根据上述各式，可求得：

[T1=G2cosα2T2=G2cosβ2]

根据题意可知细线总长度不变，所以[△ABO]与[△ACO′]的周长相等，根据几何知识可知[α>β]，所以有[T1>T2]，所以调整后细线上的张力大小要比调整前的小，故选项A正确，B错误。

因为吊篮在调整前后均处于静止状态，所以根据平衡条件可知，两段细线对吊篮的合力始终等于吊篮的重力[G]，[G]不变，因此两段细线对吊篮的合力也不变，即两段细线上的张力的合力不变，所以调整前后细线对两个钉子的总作用力大小不变。故选项C、D错误。

评析：利用解析法解决多力平衡问题，需熟练掌握牛顿第二定律、力的合成与分解、向心力公式等物理原理，以及代数运算、微积分等数学方法，并注意力的矢量性，正确把握力的方向。解析法虽对物理原理的理解要求较高，但能有效培养数学思维和解决问题能力。

三、整体与隔离法

整体与隔离法细分应属两种方法，即整体法和隔离法，适用于解决多物体的动态平衡问题。在实际应用中，这两种方法往往是结合使用。

整体法将多个物体视为一个整体进行分析，特别适用于那些不涉及系统内部相互作用的问题。此方法能简化问题，避免对每个物体进行单独分析。通过分析整体的运动状态和受力情况，可迅速揭示解决问题的关键。

隔离法则侧重于将涉及的物体逐一隔离，进行单独分析，特别适用于处理系统内部相互作用的问题。通过隔离物体，可以深入探究物体间的相互作用及力的影响，有助于理解物体间的相互制约和平衡关系，进而找到解决问题的线索。

［典例3］如图5所示，两质量相等的小球[A]、[B]用长度为[L]的细线相连，另一长度也为[L]的细线一端连接小球[A]，另一端拴接在天花板上的[O1]点，小球[B]穿在光滑的竖直杆上，竖直杆上端与天花板交于[O2]点，[O1]、[O2]两点间的距离也为[L]。初始时两球均静止，现对小球[B]施加一竖直向上的作用力[F]，使其缓慢沿杆向上移动到[O2]点，在此过程中，细线上的拉力分别记为[TO1A]、[TAB]，杆对[B]的弹力记为[NB]，则小球[B]移动过程中，下列说法正确的是（ ）。

A. [TO1A]先减小后增大

B. [TAB]先减小后增大

C. [NB]先减小后增大

D. [F]的大小始终不变

分析：本题属于多物体的动态平衡问题，需要运用整体与隔离法，首先以小球[A]、[B]为整体进行分析，然后单独分析两个小球的受力情况。在用隔离法分析单个小球的平衡状态时，可使用图解法。

解：如图6所示，以小球[A]、[B]为整体进行受力分析，设细线[O1A]与竖直方向的夹角为[θ]，细线[AB]与竖直方向的夹角为[α]，当小球[B]在外力作用下缓慢沿杆向上移动时，夹角[θ]先减小后增大。

以小球[A]、[B]为整体进行受力分析，有：

[NB=TO1Asinθ]，

可知[NB]先减小后增大，故选项C错误。

从开始状态到夹角[α]增加至90°的过程，有：

[F=mg-TAB′cosα]，

其中[TAB′=TAB ]，[TAB]在减小，[cosα]在减小，则[F]不会始终不变，所以选项[D]错误。

现用隔离法分别分析小球[A]和小球[B]的受力。

如图7所示，将小球[A]所受的力平移构成矢量三角形，其中重力的大小和方向始终不变，当[θ]逐渐减小、[α]逐渐增大时，另外两个力都在减小，当[α=90°]时，[TAB=0]，此时[TO1A=mg]。之后[θ]逐渐增大，[α]从90°减小到60°。

如图8所示，将小球[B]所受的力平移构成矢量三角形，根据上面分析可知[TO1A]逐渐减小，[TAB]逐渐增大。

综上可知，[TO1A]一直在减小，[TAB]先减小增大，所以选项A错误，选项B正确。

评析：在选择整体法或隔离法时，需根据问题的特点和条件判断，多数情况下应结合两种方法分析。选择合适的方法，有助于更好地理解物体的受力与运动规律，从而找到解决问题的线索，并培养逻辑思维能力和问题解决能力。

总之，解决动态平衡问题需灵活选用图解法、解析法及整体与隔离法等方法。教师应引导学生真正掌握这些方法，并灵活应用，从而提升学生的问题解决能力和逻辑思维能力，培育学生的物理学科核心素养。

［   参   考   文   献   ］

[1]  饶华东.“动态平衡问题”六大解题方法[J].教学考试，2020（22）：24-27.

[2]  刘杭州，宋书婷.选对方法   速解动态平衡问题[J].数理化学习（高中版），2021（4）：51-53.

[3]  胡道成.领悟共点力平衡思想    品味三力动态变化题[J].中学生理科应试，2022（1）：30-33.

[4]  程昕蕾.共点力作用下动态平衡模型的处理方法[J].中学物理教学参考，2022（24）：60-62.

（责任编辑 黄春香）