2022年新高考函数与导数试题评析与备考建议

［摘 要］函数与导数是高考数学的必考内容。文章对2022年新高考Ⅰ卷函数与导数试题进行评析，结合近三年高考卷中的函数与导数试题，探究函数与导数高考试题的命题规律和创新点，并给出相应的备考建议。建议教师回归课标，重视培养学生的数学学科核心素养；加强对涉及多知识点或融合不同知识板块的试题的设计和训练；夯实基础并适当提升习题的难度，在变式训练中揭示数学知识的本质和解题规律；引导学生理解和运用数学思想方法，实现知识迁移，做到举一反三。

［关键词］新高考；函数；导数；评析；备考建议

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）08-0032-03

在未实行新高考政策之前，高考数学的测评需要区分文理科，即教育部考试中心会命制两套不同难度的试题，理科试题的难度稍大于文科试题。在实行新高考政策之后，高考数学的测评不再区分文理科，即文、理科生都用同样的一份试题进行测评。2022年，是全国新高考Ⅰ卷作为大多数新高考政策地区的高考试题的第二个年头，由于新高考试题的命题规律和创新点是高中数学一线教师和高中生较为关注的问题，且函数是高中数学的主线之一，贯穿于整个高中数学的始终。因此，有必要对2022年新高考Ⅰ卷函数与导数试题的命题规律和创新点进行探究并提出备考建议，为一线教师的教学提供参考。

一、2022年新高考函数与导数试题评析

（一）函数与导数的客观题评析

评析：本题属于综合题，考查函数大小比较。通过建立函数模型，利用其导函数判断函数的单调性进而比较函数大小，可通过构造函数[f（x）=ln（1+x）-x（x>-1）]和[g（x）=xex+ln（1-x）（0<x<1）]，求导后进行分类讨论判断其单调性，由此确定[a、b、c]之间的大小关系。本题的解题难点在于构造函数[f（x）]和[g（x）]，考查了分类讨论思想，要求学生有较强的数学运算、逻辑推理和数学建模等素养。

评析：本题属于基础题，综合考查利用导数判断函数的单调性、对称性、极值点、零点、切线方程等。利用极值点的定义可判断A项，结合零点的定义、 [f（x）]的单调性可判断B项，根据函数的奇偶性及平移可判断C项，利用导数的几何意义可判断D项。本题涉及的知识点较多，选项的设置具有很高的辨析度，学生容易判断选项的正误，解题难度不大，考查了函数与方程思想、数形结合思想和数学运算、直观想象等素养。

评析：本题属于综合题，难度较大，考查函数的奇偶性和对称性，解题的关键在于将题设条件转化为抽象函数的性质——奇偶性、对称性，结合原函数与导函数图象的关系，准确把握函数的性质。本题考查了数形结合思想、化归思想，要求学生有较强的直观想象和逻辑推理等素养。

题目4：（2022年新高考Ⅰ卷第15题）若曲线[y=（x+a）ex]有两条过坐标原点的切线，则[a]的取值范围是                               。

评析：本题属于基础题，考查函数的切线方程，可设出切点横坐标为[x0]，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于[x0]的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得[a]的取值范围。本题考查了函数与方程思想、化归思想以及数学运算、逻辑推理等素养。

（二）函数与导数的解答题评析

题目5：（2022年新高考Ⅰ卷第22题）已知函数[f（x）=ex-ax]和[g（x）=ax-lnx]有相同的最小值。

（1）求[a]；

（2）证明：存在直线[y=b]，其与两条曲线[y=f（x）]和[y=g（x）]共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。

评析：本题是压轴题，难度偏大，考查了函数的单调性与最值、导数运算、指数与对数的互化、等差数列的概念等知识点。第（1）问利用函数的导数对函数的单调性进行分类讨论，分别确定[f（x）]和[g（x）]的最小值，解关于[a]的方程，从而得到[a]的值。第（2）问先证明存在直线[y=b]与两条曲线[y=f（x）]和[y=g（x）]共有三个不同的交点的情况，再证明从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，设从左到右的三个交点横坐标分别为[x1、x2、x3]，证明[x1+x3=2x2]即可。解题的关键在于将证明等差数列的问题转化为求方程根的个数和公共根以及根的和差间的等量关系。本题是以极值点偏移为背景进行设计的，是典型的极值点偏移问题，考查内容以证明不等式为主，解题过程需要构造新的函数，这也是平时学生对函数与导数板块解答题训练的重点内容。但本题的不同之处在于不设置证明不等式的题目，而是要求证明直线与曲线交点横坐标和差间的等量关系（[x1+x3=2x2]或[x2-x1=x3-x2]）。

二、近三年函数与导数的考点分析

为了更加全面地分析新高考政策前后函数与导数试题的命题情况，笔者对近三年高考卷中的函数与导数试题的考点与分值进行整理，并用表1呈现了2020年高考全国Ⅰ卷（文科）、2020年高考全国Ⅰ卷（理科）、2021年新高考Ⅰ卷、2022年新高考Ⅰ卷共4份试卷的函数与导数试题的考点与分值情况。

从表1可知，近三年高考卷中的函数与导数试题有如下特点。

（一）考查重难点内容，题型稳定，但体现出创新点

根据表1所呈现的数据可知，近三年高考卷中的函数与导数选择题与填空题考查的重难点内容与2017—2019年高考全国Ⅰ卷基本保持一致，以函数大小比较，函数的切线方程，函数的单调性、奇偶性、对称性为主。函数与导数解答题在第（1）小问必考函数的单调性，第（2）小问以不等式的证明为主。但2022年新高考Ⅰ卷考查了曲线交点横坐标为等差数列的存在性证明，这是新高考政策实施以来首次将函数与导数解答题与数列结合起来进行考查，是2022年新高考Ⅰ卷在函数与导数板块的第一个创新点。从形式上看比较新颖，是试题命制的灵活性和“引导学生把握数学内容的本质”这一课程基本理念的体现，对后续高考中函数与导数解答题的命制有一定的借鉴意义。新高考卷与传统高考卷的区别是新增了多项选择题，删去选考解答题。综合性考查是多项选择题的命制特点和新高考卷对学生的能力要求，2022年新高考Ⅰ卷在函数与导数板块的第二个创新点体现在多项选择题第10题与第12题对函数的单调性、极值点、零点、对称性、切线方程、奇偶性的综合性考查上，要求学生具备较强的数学运算素养和逻辑推理素养。

（二）题量、分值、难度有上升趋势

从表1可知，2020年高考全国Ⅰ卷（文科）和2020年高考全国Ⅰ卷（理科）都是考查了“一大两小”，3道题共22分；2021年新高考Ⅰ卷考查了“一大三小”，4道题共27分；2022年新高考Ⅰ卷考查了“一大四小”，5道题共32分，题量和分值都有上升趋势。2022年新高考Ⅰ卷共计32分，超过了整份试题总分的20%，体现出新高考Ⅰ卷越来越重视对函数与导数板块的考查。2022年新高考Ⅰ卷函数与导数试题的解题运算量较大，学生容易出错，其与传统高考卷在题型上的区别在于减少了4道单项选择题，增了4道多项选择题（即用4道多项选择题代替4道单项选择题）。从题型命制的特点和解题难度来看，多项选择题的难度比单项选择题大。2022年新高考Ⅰ卷的4道多项选择题中，有2道考查了函数与导数板块，综合性较强。综上所述，2022年新高考Ⅰ卷函数与导数试题的难度比往年更大，题量、分值、难度均有上升趋势。

三、备考建议

根据上述对2022年新高考Ⅰ卷函数与导数试题的评析，结合近三年高考卷中的函数与导数试题的命制特点，笔者提出以下四点备考建议。

（一）回归课标，重视培养学科核心素养

函数与导数试题的解题要求学生在熟练掌握基础知识的前提下，能够灵活运用知识解决问题，属于“多想多算”。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》强调培养学生的数学学科核心素养，结合函数与导数板块，体现在数学抽象是将实际问题转化为数学问题的基本思想，逻辑推理是厘清条件和结论间的内在联系的载体，数学运算是解题的“童子功”，贯穿于整个数学解题过程，直观想象是提升学生数形结合能力的必备素养，数学建模是搭建函数模型的桥梁和实现数学应用的重要形式，数据分析有助于发现函数的变化规律。因此，教师在教学函数与导数板块内容时应回归课标，重视培养学生的数学学科核心素养，特别是逻辑推理、数学运算和直观想象等素养。

（二）设计多知识点联系的题目

由于2022年新高考Ⅰ卷的多项选择题强调对多知识点的考查，函数与导数解答题与其他知识的结合更加密切，如第22题考查函数与导数和数列的结合，因此教师应加强对多知识点或不同知识板块间的交叉试题的设计，指导学生进行针对性的训练，做到既能引导学生深化不同知识点间的内在联系，又能将不同板块的知识串联起来，形成知识网络，加强学生对知识点的记忆，增强学生学习数学的自信心。

（三）夯实基础，提升难度，变式训练

一线教师应重点关注新高考卷函数与导数试题的题量、分值、难度有上升趋势这一现象，在平时重视对函数与导数试题的研究。教师在新授课中要注重概念，注重夯实基础，引导学生深入理解数学概念，体会数学概念的简洁性和严谨性，依托数学概念揭示数学知识的本质，依托数学原理提炼解题规律。教师要在学生可接受的范围内适当提升习题的难度，在变式训练中揭示数学知识的本质和解题规律。

（四）运用数学思想，迁移知识，举一反三

随着新高考改革的深入和发挥高考对人才的选拔功能的迫切性需要，高考命题突显创新性，学生面对的可能是平时未曾训练过的创新性题型，进而一时无法准确找到解题思路。对此，教师可在平时的训练过程中引导学生迁移知识、举一反三。其中，化归思想、方程与函数思想、数形结合思想等有助于学生解决函数与导数试题，这就要求教师不仅要教会学生规范解题，而且要引导学生归纳总结解题过程中体现出来的数学思想方法，总结出一类问题的解题思路，真正做到举一反三。

［   参   考   文   献   ］

［1］  徐景超.探析极值点偏移证明问题的解决方法［J］.中学教学参考，2022（8）：26-28.

［2］  宗欣妍.极值点偏移问题的常见解法：以2021年高考数学新高考Ⅰ卷第22题为例［J］.中学数学月刊，2022（5）：64-66.

［3］  黎海燕.2019年高考全国Ⅰ卷函数与导数试题分析与备考建议［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2019（17）：46-50.

［4］  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订［M］.北京：人民教育出版社，2020.

（责任编辑 黄桂坚）